2021年高考數(shù)學模擬訓練卷73(含答案解析)

2021年高考數(shù)學模擬訓練卷(73)

一、單項選擇題(本大題共12小題，共60.()分)

1.己知集合4={x|x(x-2)=0},B={%eZ\x2<1},則4UB等于()

A.{-2,—1,0,1)B.{-1,0,1,2)

C.[-2,2]D.{0,2}

2.復數(shù)2+i的共軌復數(shù)是()

A.2-iB.-2-iC.i-2D.i+2

3.雙曲線蘭-乃=1的離心率為______

169

A.；B.|

43C.-5D.-5

4.已知直線2%-4y+9=0的傾斜角為a,則s譏2a=()

A-1B-i

C.10D.；2

5.某網(wǎng)店2018年7月至11月的銷售額與支出額如折線圖所示(其中利潤=銷售額-支出額)，則下

列說法錯誤的是()

B.在這5個月中，該網(wǎng)店11月份月利潤最高

C.在這5個月中，該網(wǎng)店月利潤的中位數(shù)為70

D.在這5個月中，該網(wǎng)店的總利潤為400萬元

6.已知命題p：3x06[0,?r],使得sing<a,命題q：對VxG3],+1>a,若pAq為真命題,

則。的取值范圍是()

A.(0,i)B.(0,3)C.(l,pD.(1,3)

7.已知數(shù)列{0}的首項為7,且廝=[即-1+3(n22),則=()

AA-193

?64

8.一個錐體的三視圖如圖所示,

A.V6

B.3

C.2V2側(cè)視圖

D.4

9.已知函數(shù)/(%)=Msin(s%+9)(M>0,3>0,|列V的部分

俯視圖

圖象如圖所示，其中4（2,3）（點A為圖象的一個最高點）,

8(一|,0),則f(20)=()

A.—3

10.在正方體中，。為AC的中點，則異面直線AD】與OCi所成角的余弦值為（）

A-IBTC-TD?管

11.過拋物線/=4y的焦點尸作直線,交拋物線于P1G1，%）,P2（%2，y2）兩點，若為+丫2=6，則

IP1P2I=()

A.5B.6C.8D.10

12.已知函數(shù)/(%)=ln(x-1),5(x)=p若fQi)=g(%2)，則-的取值范圍是

A.日,+8)B.[1,4-00)C.[2,+oo)D.[e,+8)

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知向量落石滿足五J.9，|||=1，|2a+b|=2V2，則

14.（2尢-》4展開式中的常數(shù)項是

15.在學校國慶文藝晚會上，有三對教師夫婦參加表演節(jié)目，要求每人只能參加一個單項表演節(jié)目.

按節(jié)目組節(jié)目編排要求，男教師的節(jié)目不能相鄰，且夫妻教師的節(jié)目也不能相鄰，則該6名教

師表演的節(jié)目的不同編排順序共有種.（用數(shù)字填寫答案）

(x—2y—2<0

16.若x,y滿足約束條件x-y+120,則z=4x+3y的最大值為

(y<0

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.△4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設當sin(A+C)=cos??

(I)求sinB；

(II)若△力BC的周長為8,求△4BC的面積的取值范圍.

18.已知三棱錐P-ABC(如圖1)的展開圖如圖2,其中四邊形ABCD為邊長等于企的正方形，AABE

和4BCF均為正三角形.

圖1圖2

(1)證明：平面P4C1平面4BC;

(2)若M是PC的中點，點N在線段PA上，且滿足PN=2M4,求直線MN與平面PAB所成

角的正弦值.

19.從某技術公司開發(fā)的某種產(chǎn)品中隨機抽取200件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值(記為Z),由

(1)公司規(guī)定：當ZA95時，產(chǎn)品為正品；當Z<95時，產(chǎn)品為次品.公司每生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品，

若是正品，則盈利90元；若是次品，則虧損30元，記f為生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品的利潤，求隨機變

量f的分布列和數(shù)學期望；

(2)由頻率分布直方圖可以認為，Z服從正態(tài)分布N(%C2),其中〃近似為樣本平均數(shù)無d近似

為樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表).

①利用該正態(tài)分布，求P(87.8<Z<112.2)；

②某客戶從該公司購買了500件這種產(chǎn)品，記X表示這500件產(chǎn)品中該項質(zhì)量指標值位于區(qū)間

(87.8,112.2)內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù),利用①的結(jié)果，求E(X).

附：12.2.若Z?N?,/),則p(〃—a<z<”+。)=0.6827,-2。<Z<〃+2o)=

0.9545.

20.已知橢圓C：圣+，=l(a>b>0)的右焦點為F(2,0),過點尸的直線交橢圓于M.N兩點且MN

的中點坐標為(1,?).

(1)求C的方程；

(2)設直線，不經(jīng)過點P(0,b)且與C相交于A,B兩點，若直線PA與直線尸8的斜率的和為1,

試判斷直線，是否經(jīng)過定點，若經(jīng)過定點，請求出該定點；若不經(jīng)過定點，請給出理由.

21.已知/(%)=工7+。久?

(I)若函數(shù)f(x)在C，+8)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；

2

(□)若船1，x2G[l,e],使/(打)21(犯)-￡1成立，求實數(shù)a的取值范圍.

22.在直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為為參數(shù)，0€[0,丹)，以坐標原點

。為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知圓C的圓心C的極坐標為(25),半徑為

2,直線/與圓C相交于M,N兩點.

(/)求圓C的極坐標方程；

(〃)求當W變化時，弦長|MN|的取值范圍.

23.已知f(x)=|x-a|+\x-^|(a>0),

(I)求證f(x)>2；

(11)當@=1,求解不等式/(%)>x2-X.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：解：A={x|x(x-2)=0}={0,2},

B={xGZ\x2<1}={-1,0,1),

則4UB={-1,O,1,2},

故選：B.

分別求出集合A、B,根據(jù)并集的定義計算即可.

本題考查了并集的定義，考查集合的運算，是一道基礎題.

2.答案：A

解析：

本題考查復數(shù)的基本概念，是基礎題.

直接利用共施復數(shù)的概念得答案.

解：復數(shù)2+i的共軌復數(shù)是2-i.

故選：A.

3.答案：A

解析：解：雙曲線過一片=1的a=4,b=3,c=5,可得離心率為：-=

169a4

故選A.

利用雙曲線方程求出離心率，漸近線方程，然后求解即可.

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查計算能力.

4.答案：B

解析：

本題主要考查了直線的斜率，同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角的正弦函數(shù)公式的綜合應用，考查

了轉(zhuǎn)化思想是，屬于基礎題.

解：直線2x-4y+9=0的傾斜角為a,可知直線的斜率卜：t“uc；,

.2siik>cown2tana94

可得sin2c2sinccosc丁f-------39―W=-

siira+cos-a1+tairnA-5

1+（2）

故選B.

5.答案：D

解析：

本題考查命題真假的判斷，考查折線圖等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基

礎題.

解：7月至11月的利潤，7月份為300-250=50萬元，8月份為350-280=70萬元，9月份為

380-300=80萬元，10月份為400-350=50萬元，11月份為500-400=100萬元，

故4,B正確，其利潤的中位數(shù)70,故C正確，利潤總和為50+70+80+50+100=350萬元，

故。錯誤.

故選O.

6.答案：A

解析：

本題考查命題的真假判斷與應用，考查復合命題的真假判斷，是基礎題.

由pAq為真命題，得p,q均為真命題，分別求出p,g為真命題的〃的范圍，取交集得答案.

解：由pAq為真命題，得p,q均為真命題，

命題p：3x0G[0,TT],使得sin:“<a為真命題，

則a>(sinxo)?im=0；

若命題<7：對1+l>a為真命題，

4

=-

則a<e+l）=i+l3

7min3

??.a的取值范圍是（0,》，

故選：A.

7.答案：A

解析：解：由Cl"=巳即一！+3(n22),得a“一6="即_1-6)(n22),

???Qi—6=7—6=1。0,

????*=也即數(shù)列｛an—6｝是以1為首項，以］為公比的等比數(shù)列，

1

???an—6=1x(i)"-,B|Jan=⑥…+6,

則=GV+6=翳

故選：A.

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列｛%-6｝是以1為首項，以:為公比的等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的通項公

式，可得廝，則可求.

本題考查數(shù)列遞推式，考查了由數(shù)列遞推式構造等比數(shù)列求數(shù)列的通項公式，是中檔題.

8.答案：C

解析:

本題考查空間幾何體的三視圖，關鍵是根據(jù)條件還原出幾何體判斷出其最長棱，屬基礎題.

解：由三視圖可知：該幾何體是一個底面為直角梯形的四棱錐.如圖所示:

其中PD_L底面ABC￡>,PD=2.DC=2,Z.ADC=90°,則該四棱錐的最長棱的長是PC,

PC=VPD2+DC2=722+22=2V2,

故選C.

9.答案：D

解析:

本題考查函數(shù)y=Asin^x+9)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎題.

先計算M=3,根據(jù)周期計算3=-=pA(2,3)代入函數(shù)得到3=-也最后計算/(20).

解：依題意，M=3,?=2+==3故T=6,故3=§=三，

422T3

將點A(2,3)代入可得三X2+⑦=彳+2kMiceZ),故a=一看+2kMkGZ),

因為所以⑴=

lei<5z，o

所以/'(X)=3sin(|x

所以〃20)二:太iu(三—27)3,

<5o

故選。.

10.答案：C

解析：解：如圖，

a

連接BCi，貝U力DJ/BG，

N。。/即為異面直線4%與。G所成角，

設正方體棱長為2,則BG=2V2,OB=V2，

由CG，底面ABCD,得CG1BD,

又B014C,且ACnCCi=C,二BDJ?平面Ci。。，則BO_LOC「

在RtACiOB中，由BCi=2或,OB=y/2,得。=遍.

???cosZ.OCyB==冬

即異面直線4劣與OCi所成角的余弦值為日.

故選：C.

由題意畫出圖形，找出異面直線ZD1與0G所成角，求解三角形得答案.

本題考查異面直線所成角的求法，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.

11.答案：c

解析：

此題考查拋物線中的焦點弦公式，屬于基礎題.

利用焦點弦公式即可求解.

解析：

根據(jù)拋物線中焦點弦長公式IP1P2I=乃+丫2+P，

因為過拋物線=4y的焦點F作直線，交拋物線于PiOiJi),「2(*2，、2)兩點，%+乃=6.

根據(jù)拋物線中焦點弦長公式IP1P2I=%+、2+P，所以可得IP1P2I=y】+y2+p=6+2=8.

故選擇C.

12.答案：B

解析：

本題考查導數(shù)的幾何意義的應用，以及函數(shù)與方程的應用，屬于較難題.

解：函數(shù)f(x)=ln(x-1),gQ)=；,

"f'(x)=占

當W=:時，x=e+l,即為斜率為!與直線g(%)=：平行，與曲線相切的直線，

得切點為(e+1,1),

fQl)=9。2)，

%]=e+1,%2=e，

???%i-42取得最小值為1，

J.*1一工2的取值范圍是口，+8).

故選民

13.答案：2

解析：解：；弓_Lb，

■■a.■b=0>

???Ia|=1,\2a+b\=2VL

|2a+K|2=4|a|2+|K|2+4a-&=4+|K|2=8.

解得|B『=4，即I石I=2.

故答案為:2.

由向量的數(shù)量積運算結(jié)合|2五+3|的平方計算即可得答案.

本題考查了向量的數(shù)量積運算和向量的模的求法，是基礎題.

14.答案：24

解析：解：(2x-展開式的通項公式為4+]=以.2-r?(-1)『-%4-2r,

令4—2r=0,求得r=2,可得常數(shù)項是24,

故答案為:24.

在二項展開式的通項公式中，令x的事指數(shù)等于0,求出r的值，即可求得常數(shù)項.

本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，屬于基礎題.

15.答案：24

解析：

把6個節(jié)目按照先后出場順序依次記為編號1,2,3,4,5,6,先安排男教師，再安排女教師，問

題得以解決本題考查了排列組合的問題，考查了不相鄰的問題，屬于中檔題

解:把6個節(jié)目按照先后出場順序依次記為編號1,2,3,4,5,6,則3名男教師只有(1,3,5),(1,3,6),(1,4,

6),(2,4,6)共4種安排位置，

由于夫妻教師的節(jié)目又不能相鄰，可得以上4種安排的每種安排里，3名女教師的安排均是1種，故

該6名教師表演的節(jié)目的不同編排順序共有4“=24種，

故答案為：24

16.答案：8

解析：解：由約束條件作出可行域如下:

又目標函數(shù)z=4%+3y可化為y=-|x+

因此，當直線丫=一3%+：在)，軸截距最大時，z=4x+3y取最大值，

由圖象可得，當直線y=-3x+?過點4時，截距最大，

由2=4*+3丫易得4(2,0),

此時z=8.

故答案為：8.

根據(jù)約束條件作出可行域，化目標函數(shù)z=4x+3y為y=—gx+|,由此可得當直線y=-gx+1在

y軸截距最大時，z=4x+3y取最大值，結(jié)合圖象即可得出結(jié)果.

本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，通常需要由約束條件作出可行域，分析目標函數(shù)的幾何意義，

結(jié)合圖象即可求解，屬于?？碱}型.

17.答案：解：(1)v4sin(A+C)=cos2:且sin(4+C)=sinB,

??,—sinB=—?2sin-cos-=cos2巨，

22222

又0<-<Asin->0,

222

???V3sin-=cos-,

22

BBn

Atan7=T,7=?

??.B=g,

.n6

???sinB——?

2

(2)由題意知：a+b+c=8,故b=8—(a+c),

DQ^+c2——64+16(Q+C)-2ctc1

COSD=------=------------=-,

lac2ac2

??3ac=-64+16(Q+C)N—64+32\Jac，

???3ac-32\[ac+64>0,

???(3V^c—8)(V^c—8)>0,

???VHFWg或胸？N8(舍)，即Qcwg,

???S△力BC=\ctcsinB=^-ac<^當Q=c時等號成立)，

綜上，△ABC的面積的取值范圍為(0,4白.

解析：【試題解析】

(1)直接利用三角函數(shù)關系式的變換的應用和倍角公式的應用求出結(jié)果.

(2)利用余弦定理和不等式的應用和三角形的面積公式的應用求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的變換，正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應用，主要

考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于

基礎題.

18.答案：解：(1)取AC的中點0,連接OP,OB,

則有

???「4=「(7且0為461的中點，.?.0「14。；同理，OB14c.

AC1平面POB,則有NPOB為平面P-4C-B的平面角，

又?.?在APOB中，OP=OB=1,BP=V2.則有op2+。口2=BP2,NPOB=90°

平面P4C1平面ABC.

(2)由(1)可知，OPJL平面ABC,則有OP1OC,OP1OB,又???OB_LOC,所以，建立如右圖所示的

空間直角坐標系.

則有，。4=。8=。。=OP=1,4(-1,0,0),8(0/，0),C(l,0,0),P(0,0,1),

是PC的中點，又???PN=2N4,???村(一而=(—20,-》

設平面PA8的一個法向量為五=8y,z),則有1絲?=°,.?.元=(一1,1,1),

設直線MN與平面PAB所成角為dsind=|cos〈而，五>1=|萼=|=容

故直線MN與平面PAB所成角的正弦值為它.

5

解析：此題是一道立體幾何中檔題，第一小題用兒何法，證明面面垂直；第二小題用向量法更為方

便.

(1)利用線面垂直來證面面垂直；

(2)利用向量法來求直線與平面所成的角。

19.答案：解：(1)由頻率估計概率，產(chǎn)品為正品的概率為

(0.033+0.024+0.008+0.002)x10=0.67,

所以隨機變量f的分布列為

Wo.67O.33

所以E(f)=90x0.674-(-30)x0.33=50.4；

(2)由頻率分布直方圖知，抽取產(chǎn)品的該項質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)元和樣本方差s2分別為

x=70x0.02+80x0.094-90x0.22+100x0.33+110x0.24+120x0.08+130x0.02=100,

s2=(-30)2x0.02+(-20)2X0.09+(-10)2X0.22+02X0.33+102X0.24+202X0.08+

302X0.02=150,

①因為Z?N(100,150),

從而P(87.8<Z<112.2)=P(100-12.2<Z<100+12.2)=0.6827；

②由①知，一件產(chǎn)品中該項質(zhì)量指標值位于區(qū)間(87.8,112.2)內(nèi)的概率為0.6827,

依題意知X?8(500,0.6827),

所以E(X)=500X0.6827=341.35.

解析：本題考查頻率分布直方圖，考查服從正態(tài)分布的分布列及期望的求法，是中檔題.

⑴由頻率分布直方圖可得:P(Z<95)及P(Z>95)的值.由題意可得隨機變量f的取值為90,-30,列

出分布列，再由期望公式求期望；

(2)①求出元及S2,可得〃=100,o=12.2.則二P(87.8<Z<112.2)=P(100-12.2<Z<100+

12.2)=0.6826；

②由①知,P(87.8<Z<112.2)=0.6826,則E(X)=500x0.6826=341.35.

(五+比=i

20.答案：解：⑴設MQi，%)、陽必必)，則代"，兩式相減得直乎+嗎^=0，

紅+絲=1〃

\a2b2

.為一為_."久2

2

b%+，2'

???MN的中點坐標為(1,日)，且M,N,F,O共線，

b21

,,?百=一我.亙’

2

b21

-----=-----.

a22

???層=川+4,

??.a2=8,b2=4,

???橢圓C的方程若+?=1.

(2)設點4(xi，%)、5(x2,y2).

①當直線/的斜率存在時，設直線/的方程為y=kx+m,易知

%2y2

T+T=1,消去y得(2卜2+1)尤2+領山》+2瓶2-8=0,

{y=fcx4-m

由韋達定理得，勺+&=-黑，/亞=鬻1?

直線PA和直線PB的斜率之和為既4+kpB=力二+及二=feX1+m~2+f+m-2=2k+(m_2)(-+

Xj%2%2

/L

化簡得(2k_l)x/2+(m—2)(X1+x2)=o,即(2k_1)?普會+(m-2)(—彘)=0,

由于?n^2,2k—l)(m+2)—2km—0,

■,■m=4k-2.

???直線/的方程為y=fcx+4fc-2,直線/過定點(一4,一2)；

②當直線/與x軸垂直時，設直線/的方程為x=n,此時點A與點B關于x軸對稱，則yi+y?=0，

直線PA和直線PB的斜率之和為名--+——-=——=1,得n=—4.

nnn

此時，直線/也過點(—4,-2).

綜上所述，直線/過定點(-4,-2).

解析：(1)先利用點差法求出。與6的關系，再根據(jù)橢圓。2=爐+4,求出。2,b2,從而得出橢圓C

的方程；

(2)先假設直線/的斜率存在，設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，再依據(jù)兩直線斜率

之和為1,得出含有女和團的式子，利用因式分解，可得m與k的關系，最后討論謝倫不存在的情

況即可.

本題考查直線與橢圓的綜合問題，考查橢圓的定義以及韋達定理法在橢圓綜合問題中的應用，考查

計算能力，屬于中等題.

21.答案：解：(I)：由〃乃=就+5知xeg+8)時，八嗎=疏翁+。20,

即一04^^=^^一而=「?=訴€(61))'

當t=:即％=1時產(chǎn)-t有最小值一；，故Q>

244

2

(H)：若三%1，x2e[l,e],使f(%i)之尸(%2)-a成立,

等價于當％6[1,/]時,有f(%)2>r(x)min-Q恒成立,

由(I)有當xe[l,e2]時，f(x)min=-i+a,

故當》6[1,02]時，/'(%)?132-；，

①當a*時，由(I)得/(x)在[1爐]為增函數(shù)，

f(x)max==-ie2+ae2>-i,aN：一

故a」

②當a<；時,f(x)在區(qū)間(l,e2)上遞增,

故f(x)G(a

當看時,使則在區(qū)間口,&]遞減，

(i)<a<13x0e[l,e2]f(&)=0,f(x)

在區(qū)間[%0，e2]上遞增，fQ)max=V(l)，/(e2)},有人1)2一:或/(e2)N—：,

、、

>-1------1-T>-1-------1-=一3,

>44e244x41