高考數(shù)學一輪總復習函數(shù)模型及應用練習

一、選擇題1．(2015·蘭州模擬)如圖，下面的四個容器高度都相同，將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，注滿為止．用下面對應的圖像表示該容器中水面的高度h和時間t之間的關(guān)系，其中不正確的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個[解析]將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和時間t之間的關(guān)系可以從高度隨時間的變化率上反映出來，圖①應該是勻速的，故下面的圖像不正確，②中的變化率是越來越慢的，正確；③中的變化規(guī)律是逐漸變慢再變快，正確；④中的變化規(guī)律是逐漸變快再變慢，也正確，故只有①是錯誤的.故選A.[答案]A2．(2015·廣州模擬)在某個物理實驗中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00則對x，y最適合的擬合函數(shù)是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x[解析]根據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計算，可以排除A；根據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計算，可以排除B、C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．故選D.[答案]D3．(2014·北京高考)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，下圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為()A．3.50分鐘 B．3.75分鐘C．4.00分鐘 D．4.25分鐘[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c,0.5＝25a＋5b＋c))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2,b＝1.5，,c＝－2，))∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，即當t＝3.75時，p有最大值．[答案]B4．(2013·陜西高考)在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長xA．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30][解析]利用三角形相似求出矩形的邊長，再利用面積關(guān)系求解自變量的取值范圍．設(shè)矩形的另一邊長為ym，則由三角形相似知，eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，∴y＝40－x.∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.[答案]C5．(2015·石家莊模擬)在翼裝飛行世界錦標賽中，某翼人空中高速飛行，如圖反映了他從某時刻開始的15分鐘內(nèi)的速度v(x)與時間x的關(guān)系，若定義“速度差函數(shù)”u(x)為時間段[0，x]內(nèi)的最大速度與最小速度的差，則u(x)的圖像是()[解析]由題意可得，當x∈[0,6]時，翼人做勻加速運動，v(x)＝80＋x，“速度差函數(shù)”u(x)＝eq\f(40,3)x.當x∈[6,10]時，翼人做勻減速運動，速度v(x)從160開始下降，一直降到80，u(x)＝160－80＝80.當x∈[10,12]時，翼人做勻減速運動，v(x)從80開始下降，v(x)＝180－10x，u(x)＝160－(180－10x)＝10x－20.當x∈[12,15]時，翼人做勻加速運動，“速度差函數(shù)”u(x)＝160－60＝100，結(jié)合所給的圖像，故選D.[答案]D6．某種新藥服用x小時后血液中的殘留量為y毫克，如圖所示為函數(shù)y＝f(x)的圖像，當血液中藥物殘留量不小于240毫克時，治療有效．設(shè)某人上午8∶00第一次服藥，為保證療效，則第二次服藥最遲的時間應為()A．上午10∶00 B．中午12∶00C．下午4∶00 D．下午6∶00[解析]當x∈[0,4]時，設(shè)y＝k1x，把(4,320)代入，得k1＝80，∴y＝80x.當x∈[4,20]時，設(shè)y＝k2x＋b.把(4,320)，(20,0)代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4k2＋b＝320，,20k2＋b＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝－20，,b＝400.))∴y＝400－20x.∴y＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(80x，0≤x≤4，,400－20x，4＜x≤20.))由y≥240，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,80x≥240，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＜x≤20，,400－20x≥240.))∴3≤x≤8.故第二次服藥最遲應在當日下午4∶00.故選C.[答案]C二、填空題7．某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3km(不超過3km按起步價付費)；超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了________km.[解析]設(shè)出租車行駛xkm時，付費y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9，0＜x≤3,8＋2.15x－3＋1，3＜x≤8,8×2.15×5＋2.85x－8＋1，x＞8))由y＝22.6，解得x＝9.[答案]98．(2015·沈陽模擬)一個容器裝有細沙acm3，細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，tmin后剩余的細沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有開始時的八分之一.[解析]依題意有a·e－b×8＝eq\f(1,2)a，∴b＝eq\f(－ln2,8)，∴y＝a·e－eq\f(ln2,8)·t若容器中只有開始時的八分之一，則有a·e－eq\f(ln2,8)·t＝eq\f(1,8)a，解得t＝24，所以再經(jīng)過的時間為24－8＝16min.[答案]169．某商人購貨，進價已按原價a扣去25%.他希望對貨物訂一新價，以便按新價讓利20%銷售后仍可獲得售價25%的利潤，則此商人經(jīng)營這種貨物的件數(shù)x與按新價讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式為________．[解析]設(shè)新價為b，依題意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化簡得b＝eq\f(5,4)a.∴y＝b·20%·x＝eq\f(5,4)a·20%·x，即y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)．[答案]y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)10．一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(x∈N＋)件．當x≤20時，年銷售總收入為(33x－x2)萬元；當x>20時，年銷售總收入為260萬元．記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元，則y(萬元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式為________，該工廠的年產(chǎn)量為________件時，所得年利潤最大．(年利潤＝年銷售總收入－年總投資)．[解析]當x≤20時，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；當x>20時，y＝260－100－x＝160－x.故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0＜x≤20，,160－x，x＞20.))(x∈N＋)．當0<x≤20時，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16時，ymax＝156.而當x>20時，160－x<140，故x＝16時取得最大年利潤．[答案]y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0＜x≤20，,160－x，x＞20.))(x∈N＋)16三、解答題11．(2015·珠海模擬)某校學生社團心理學研究小組在對學生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽課時間t之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線．當t∈(0,14]時，曲線是二次函數(shù)圖像的一部分，當t∈[14,40]時，曲線是函數(shù)y＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)圖像的一部分．根據(jù)專家研究，當注意力指數(shù)p大于等于80時聽課效果最佳．(1)試求p＝f(t)的函數(shù)關(guān)系式．(2)老師在什么時段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學生聽課效果最佳？請說明理由．[解](1)t∈(0,14]時，設(shè)p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，將(14,81)代入得c＝－eq\f(1,4)，t∈(0,14]時，p＝f(t)＝－eq\f(1,4)(t－12)2＋82；t∈[14,40]時，將(14,81)代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝eq\f(1,3)，所以p＝f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)t－122＋82，t∈0，14]，,log\f(1,3)t－5＋83，t∈14，40]。))(2)t∈(0,14]時，由－eq\f(1,4)(t－12)2＋82≥80，解得12－2eq\r(2)≤t≤12＋2eq\r(2)，所以t∈[12－2eq\r(2)，14]，t∈(14,40]時，由logeq\f(1,3)(t－5)＋83≥80，解得5<t≤32，所以t∈(14,32]，所以t∈[12－2eq\r(2)，32]，即老師在t∈[12－2eq\r(2)，32]時段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學生聽課效果最佳．12．如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(a>b)．在AB、AD、CD、CB上分別截取AE、AH、CG、CF都等于x，當x為何值時，四邊形EFGH的面積最大？求出這個最大面積．[解]設(shè)四邊形EFGH的面積為S，由題意得S△AEH＝S△CFG＝eq\f(1,2)x2，S△BEF＝S△DHG＝eq\f(1,2)(a－x)·(b－x)．由此得S＝ab－2[eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)(a－x)(b－x)]＝－2x2＋(a＋b)x＝－2(xeq\f(a＋b,4))2＋eq\f(a＋b2,8).函數(shù)的定義域為{x|0<x≤b}，因為a>b>0，所以0<b<eq\f(a＋b,2).若eq\f(a＋b,4)≤