高一數(shù)學知識點歸納

高一數(shù)學知識點歸納集合與函數(shù)概念一、集合相關(guān)概念1、集合的含義：當一些特定的對象被集合在一起時，就形成了一個集合，其中每個對象都被稱為元素。2、集合元素的三個特性：1.元素的確定性；2.元素的互異性；3.元素的無序性說明：(1)對于一個給定的集合，該集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是該集合的元素，或者不是該集合的元素。(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，只算一個元素。(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判斷兩個集合是否相同，只需比較它們的元素是否相同，不需考慮排列順序是否相同。(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。3、集合的表示：{…}，例如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N，正整數(shù)集N*或N+，整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實數(shù)集R。關(guān)于“屬于”的概念：集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，例如a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作a?A。列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。①語言描述法：例如：{不是直角三角形的三角形}②數(shù)學式子描述法：例如：不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}4、集合的分類：1．有限集：含有有限個元素的集合。2．無限集：含有無限個元素的集合。3．空集：不含任何元素的集合，例如：{x|x2=-5}二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系—子集注意：有兩種可能（1）A是B的一部分；（2）A與B是同一集合。反之：集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，記作A?B或B?A。2．“相等”關(guān)系：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時，集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B。例如：設(shè)A={x|x2-1=0}，B={-1,1}，“元素相同”。結(jié)論：任何一個集合是它本身的子集。A?A。2.真子集是指集合A包含于集合B但不等于集合B，記作A?B（或B?A）。3.如果集合A包含于集合B且集合B包含于集合C，則集合A包含于集合C。4.如果集合A包含于集合B且集合B包含于集合A，則集合A等于集合B。5.空集是不含任何元素的集合，用符號Φ表示。規(guī)定空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。6.交集是由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，記作A∩B（讀作“A交B”）。即A∩B={x|x∈A且x∈B}。7.并集是由屬于集合A或?qū)儆诩螧的所有元素組成的集合，記作A∪B（讀作“A并B”）。即A∪B={x|x∈A或x∈B}。8.交集和并集具有以下性質(zhì)：A∩A=A，A∩Φ=Φ，A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪Φ=A，A∪B=B∪A。9.補集是指集合S中不屬于子集A的所有元素所組成的集合，記作CSA或S-A。即CSA={x|x∈S且x?A}。10.全集是指包含研究對象中所有元素的集合，通常用符號U表示。11.補集具有以下性質(zhì)：⑴CU(C∪A)=A；⑵(C∪A)∩A=Φ；⑶(C∪A)∪A=U。12.函數(shù)是指集合A到集合B的一種映射關(guān)系，使得集合A中的每個元素都與集合B中唯一的元素對應(yīng)。記作y=f(x)，其中x為自變量，f(x)為函數(shù)值，A為定義域，B為值域。13.函數(shù)的定義域和值域應(yīng)該寫成集合或區(qū)間的形式，如果未給出定義域，則默認為使解析式有意義的實數(shù)集合。函數(shù)的定義域是指能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合。求函數(shù)的定義域時，需要列不等式組，主要依據(jù)包括：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1；(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，那么它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合；(6)指數(shù)為零底不可以等于零。在實際問題中，函數(shù)的定義域還需要保證實際問題有意義。求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。其中，值域取決于定義域和對應(yīng)法則。應(yīng)先考慮函數(shù)的定義域，再求解函數(shù)的值域。應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。相同函數(shù)的判斷方法包括：①表達式相同；②定義域一致。兩點必須同時具備。函數(shù)的圖象是在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象。C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)。圖象C一般是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線)，也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。畫函數(shù)圖象的方法包括描點法和圖象變換法。函數(shù)的圖象可以直觀地看出函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路，提高解題的速度，發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。最后，需要了解區(qū)間的概念。、減函數(shù)、常函數(shù)；（2）嚴格單調(diào)函數(shù)、非嚴格單調(diào)函數(shù)；（3）單調(diào)區(qū)間；（4）單調(diào)性的判定方法．函數(shù)單調(diào)性指函數(shù)在定義域上的單調(diào)性質(zhì)。增函數(shù)是指在定義域內(nèi)，隨著自變量的增大，函數(shù)值也隨之增大；減函數(shù)則相反；常函數(shù)則在定義域內(nèi)任何自變量取值下函數(shù)值都不變。嚴格單調(diào)函數(shù)指在定義域內(nèi)，任意兩個不同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值不同；非嚴格單調(diào)函數(shù)則存在相同的函數(shù)值。單調(diào)區(qū)間指在定義域內(nèi)函數(shù)單調(diào)性不變的區(qū)間。判定函數(shù)單調(diào)性的方法包括：導(dǎo)數(shù)法、二階導(dǎo)數(shù)法、圖象法等。偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，而奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱。要判斷一個函數(shù)的奇偶性，可以按照以下步驟進行：1.首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點對稱；2.確定f(-x)與f(x)的關(guān)系；3.根據(jù)f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，判斷函數(shù)是否為偶函數(shù)；根據(jù)f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，判斷函數(shù)是否為奇函數(shù)。需要注意的是，函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。如果函數(shù)的定義域不對稱，則函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，它要求確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域。求函數(shù)的解析式的方法有待定系數(shù)法、換元法和消參法等。如果已知函數(shù)的解析式的構(gòu)造，則可以使用待定系數(shù)法。如果已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達式，則可以使用換元法，但需要注意元的取值范圍。當表達式較為簡單時，可以使用湊配法。如果已知抽象函數(shù)表達式，則可以使用解方程組消參的方法求出f(x)。要求函數(shù)的最大或最小值，可以采用以下方法：1.利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大或最小值；2.利用函數(shù)的圖像求函數(shù)的最大或最小值；3.利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大或最小值。如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)。如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)。指數(shù)函數(shù)是一種常見的函數(shù)類型。在指數(shù)函數(shù)中，指數(shù)和指數(shù)冪之間有一些運算規(guī)則。根式是指數(shù)冪的一種表示方法，其中n是大于1的正整數(shù)，表示開n次方。當n為奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是正數(shù)，負數(shù)的次方根是負數(shù)。根式的符號為√，其中被開方數(shù)為radicand，根指數(shù)為radicalexponent。當一個正數(shù)有偶數(shù)個次方根時，其中一個為正數(shù)次方根，另一個為負數(shù)次方根，用符號表示為正數(shù)次方根為√a，負數(shù)次方根為-√a。正數(shù)次方根和負數(shù)次方根可以合并為|a|（大于等于0的a的平方根），因此負數(shù)沒有偶次方根，任何數(shù)的奇次方根都存在，記作±√a。對于正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪，規(guī)定為a的b/c次方根等于a的b次方根的c次方根，即(a^b/c)=(c√a)^b。而a的負數(shù)次方根沒有意義。有理數(shù)指數(shù)冪的概念是從整數(shù)指數(shù)推廣而來的，因此整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于有理數(shù)指數(shù)冪。指數(shù)函數(shù)是以常數(shù)e為底數(shù)的指數(shù)冪函數(shù)，其中x是自變量，定義域為實數(shù)集。底數(shù)不能為負數(shù)、零和1。指數(shù)函數(shù)的圖象特征是向x、y軸正負方向無限延伸，函數(shù)的定義域為實數(shù)集，圖象關(guān)于原點和y軸不對稱，非奇非偶函數(shù)。函數(shù)圖象都在x軸上方，值域為正實數(shù)。自左向右看，圖象逐漸上升或逐漸下降，增函數(shù)或減函數(shù)。在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標都大于1，在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標都小于1。利用函數(shù)的單調(diào)性，可以得到一些結(jié)論，如在[a，b]上，值域是正實數(shù)或負實數(shù)；若a>b，則a^x>b^x，取遍所有正數(shù)當且僅當a=b；對于指數(shù)函數(shù)，總有e^x>1+x，當x趨近于0時，e^x趨近于1；當x趨近于負無窮時，e^x趨近于0。對數(shù)是指數(shù)運算的逆運算。如果a^x=b，那么x叫做以a為底數(shù)的對數(shù)，記作loga(b)。底數(shù)必須為正數(shù)且不等于1。常用對數(shù)是以10為底數(shù)的對數(shù)，自然對數(shù)是以e為底數(shù)的對數(shù)。對數(shù)式和指數(shù)式可以互相轉(zhuǎn)化。對數(shù)的運算性質(zhì)包括loga(bc)=loga(b)+loga(c)，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)，loga(b^c)=cloga(b)。換底公式為loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中c為任意正數(shù)且不等于1。利用換底公式可以推導(dǎo)出一些結(jié)論，如loga(b)=1/logb(a)，loga(b)=-logb(a)，loga(b^n)=nloga(b)。對數(shù)函數(shù)是指函數(shù)$y=\log_ax$，其中$a>0$且$a\neq1$，定義域為$(0,+\infty)$。需要注意的是，對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，但是要注意區(qū)分。有些函數(shù)雖然形式上看起來像對數(shù)函數(shù)，但并不是，只能稱之為對數(shù)型函數(shù)。對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制是$a>0$且$a\neq1$。對數(shù)函數(shù)的圖象特征如下：當$a>1$時，函數(shù)圖象都在$y$軸右側(cè)，自左向右看，圖象逐漸上升；當$0<a<1$時，函數(shù)圖象也都在$y$軸右側(cè)，但自左向右看，圖象逐漸下降。對數(shù)函數(shù)的定義域為$(0,+\infty)$，值域為$\mathbb{R}$，圖象關(guān)于原點和$y$軸不對稱，是非奇非偶函數(shù)，向$y$軸正負方向無限延伸。函數(shù)圖象都過定點$(1,0)$，第一象限的圖象縱坐標都大于第二象限的圖象縱坐標。冪函數(shù)是指函數(shù)$y=x^k$，其中$k$為常數(shù)。所有的冪函數(shù)在$(0,+\infty)$都有定義，并且圖象都過點$(1,1)$。當$k>0$時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)；特別地，當$k>1$時，冪函數(shù)的圖象下凸；當$0<k