云南中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練專題三圓切線的相關(guān)證明及計算

專題三 圓切線的相關(guān)證明及計算類型一角平分線模型(2019-云南省卷)如圖，AB為。0的直徑，C是。0上一點，過點C的直線交AB的延長線于點D,AE丄DC垂足為EF是AE與。0的交點，AC平分/BAE.求證：DE是OO的切線；若AE=6,ZD=30°，求圖中陰影部分的面積.【分析】(1)連接OC先證明ZOAC=Z0CA結(jié)合AC平分/BAE得到OC/AE于是得到OCLCD進(jìn)而證明DE是O0的切線；(2)分別求出AOCD的面積和扇形OBC的面積，利用S陰影=Sacod—S扇形OBC即可得到答案.【自主解答】(2019-營口)如圖，點E在以AB為直徑的O0上，點C是BE的中點，過點C作CDLAE交AE的延長線于點D,連接BE交AC于點F.(1)求證：CD是O0的切線；4⑵若cosZCAD=,BF=15,求AC的長.5如圖，半圓O的直徑AB=5,ACAD為弦，且AC=3,AD平分ZBAC過D作AC延長線的垂線，垂足為E.(1)求證：DE為O0的切線；⑵求AD的長.(2019-聊城)如圖，在Rt△ABC中,ZC=90°,BE平分ZABC交AC于點E,作EDLEB交AB于點D,O0是厶BED的外接圓.(1)求證：AC是O0的切線；⑵已知O0的半徑為2.5,BE=4,求BCAD的長.4（2019-咸寧）如圖，以厶ABC的邊AC為直徑的OO恰為△ABC的外接圓，/ABC的平分線交OO于點D,過點D作DE//AC交BC的延長線于點E.（1）求證：DE是OO的切線；⑵若AB=2；5,BC=5求DE的長.（2019-原創(chuàng)）如圖，在△ABC中,CA=CB/CAB=30°,OO經(jīng)過點C,且直徑AD在線段AB上，連接OC0E平分/AOC交弧AC于點E,連接AEEC.（1）求證：CB是OO的切線；⑵若M在邊AC上,OM=CM=2,求厶ABC的面積.（2019-成都）如圖，在Rt△ABC中,ZC=90°,AD平分/BAC交BC于點D,O為AB上一點，經(jīng)過點A,D的OO分別交AB,AC于點E,F,連接OF交AD于點G.（1）求證：BC是OO的切線；⑵設(shè)AB=x,AF=y,試用x,y的代數(shù)式表示線段AD的長；5⑶若BE=8,sinB=乜，求DG的長.類型二弦切角模型（血（2019-云南省卷）如圖，已知AB是OO的直徑，C是OO上的點，點D在AB的延長線上，/BCD=ZBAC.（1）求證：CD是OO的切線；⑵若/D=30°,BD=2,求圖中陰影部分的面積.【自主解答】（2019-玉林）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作OO交BC于點D,/DAC=(1)求證：AC是OO的切線;1⑵點E是AB上一點，若/BCE=ZB,tan/B=2，OO的半徑是4,求EC的長.(2019?齊齊哈爾)如圖，以△ABC的邊AB為直徑畫OQ交AC于點D,半徑OEIBD連接BEDEBD設(shè)BE交AC于點F,若/DEB=ZDBC.(1)求證：BC是OO的切線；⑵若BF=BC=2,求圖中陰影部分的面積.(2019-曲靖二模)如圖，在RtAABC中，/C=90°,以BC為直徑的OO交AB于點D,過點D作/ADE=ZA,交AC于點E.(1)求證：DE是OO的切線；3⑵若BC=15,tanA=4,求DE的長.(2019-蘭州)如圖，AB為圓Q的直徑，C為圓Q上的一點，D為BA延長線上的一點，/ACD=ZB.(1)求證：DC為圓Q的切線；⑵線段DF分別交ACBC于點E,F,且/CEF=45°，圓Q的半徑為5,sinB3=5,求CF的長.類型三雙切線模型型厶(2019?云南省卷)已知AB是OO的直徑，PB是OO的切線，C是OO上的點，AC/IOPM是直徑AB上的動點，A與直線CM上的點連線距離的最小值為d,B與直線CM上的點連線距離的最小值為f.(1)求證：PC是OO的切線；3⑵設(shè)OP=2AC求/CPO勺正弦值；⑶設(shè)AO9,AB=15,求d+f的取值范圍.【分析】（1）連接0C根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/A=Z0CA由平行線的性質(zhì)得到/A=ZBOP/ACO=ZCOP等量代換得到/COP=ZBOP由切線的性質(zhì)得到ZOBP=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過O作ODLAC于D,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CD-OP=OC,根據(jù)已知條件得到篇￡，由三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；（3）連接BC根據(jù)勾股定理得到bc=7aB_AC=12,分別討論點M與點A重合時，與AB垂直時和與點B重合時d+f的值，從而得到結(jié)論.【自主解答】（2019-曲靖）如圖，AB為。0的直徑，點C為。0上一點，將弧BC沿直線BC翻折，使弧BC的中點D.恰好與圓心O重合，連接OCCDBD,過點C的切線與線段BA的延長線交于點P，連接AD在PB的另一側(cè)作ZMfB=ZADC.（1）判斷PM與00的位置關(guān)系，并說明理由；⑵若PO3,求四邊形OCDB勺面積.（2019-江西）如圖，在△ABC中,O為AC上一點，以點O為圓心，OC為半徑作圓，與BC相切于點C,過點A作ADLBO的延長線于點D,且ZAOD=ZBAD.（1）求證：AB為00的切線；（2019?臨沂）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AB與00相切于點D,OB與00相交于點E.（1）求證：AC是00的切線；⑵若BD=-3,BE=1,求陰影部分的面積.（2019-武漢）如圖，PA是00的切線，A是切點，AC是直徑，AB是弦，連接

PBPCPC交AB于點E,且PA=PB.(1)求證：PB是OO的切線；PE⑵若/APC=3/BPC求寺勺值.參考答案【專題類型突破】類型一【例1】（1）證明：如解圖，連接ocvOA=OC???/OAC=ZOCAvAC平分/BAE/OAC=ZCAE/OCA=ZCAEOC/AE/OCI^ZE,vAE1DE?ZE=90°,ZOC圧90°,OCLCD又v點C在圓O上，DE是圓O的切線；⑵解：v在Rt△AED中，ZD-30°,AE=6,?AD=2AE=12AE=6,在Rt△OCD中,vZD-30°,

???DO=2OC=DB+OB=DB+OQ???DB=OB=OS]aD=4,DO=8,?CD=DO—OC=；82—42=43△OCD^CD-OC43X4228,3vZD-30°/OC=90°?/DO=60°1 o8??S扇形obc=-n'OC=-n,6 3?*S陰影=Saco—S扇形ob,陰影即陰影部分的面積為&3—勞針對訓(xùn)練(1)證明：如解圖，連接ocv點C是BE的中點，CE=BC,?OCLBE.vAB是OO的直徑，?ADLBEAD//OC.vADLCD?OCLCD?CD是OO的切線；⑵解：如解圖，連接BQ在厶AEF和△BCF中，

/AEF=ZBCF=90/AFE=ZBFC???△AEF^ABCF.AEBC…Af=Bf，tcostcos/CAD=AE_4AF=5,AE_BC_4AF=Bf=5'4BC=BF=12.5tcos/CAD=AC=§BC=16.(1)證明：TAD平分/CAB/CAD=AC=§BC=16.(1)證明：TAD平分/CAB/CAD=ZOADtOA=OD OAD=ZODA/ODA=ZCAD?AC//OD.tDELAE,?DELODDE是OO的切線；⑵解：如解圖，連接BC交OD于點F.tAB是OO的直徑，/ACB=90°,5 AE4T點C是BE的中點，二CE=BC/BAC=ZCAE亠 亠 BC3在Rt△ABC中,tan/BAC=tan/CAE=AC=4,

tAC=3,AB=5,???由勾股定理可知BC=4.TOD/AE二ODLBC二CF=BF=2,tDELAEBCLAE二DE//BC?四邊形CEDF是矩形，1 3DE=CF=2,又易得OF=qAC=2，5 3CE=DF=DO-OF=2-2=1,二AE=4,在Rt△ADE中，AD=AE+DE=；42+22=25(1)證明：連接OE如解圖，tOB=OE?/OB=ZOEB.tBE平分/ABC/OB=ZEBC./OEB=ZEBCJ.OE/BC.又t/C=90°/OEA=90°,即卩ACLOE.又tOE是OO的半徑，AC是OO的切線；⑵解：在厶BCEW^BED中，t/C=ZBED=90°,ZEBC=ZDBE△BC0ABED.BE=BC…BD=BEvBE^4,BD是OO的直徑，BD=5,4BC5=4BC5=~4，16BC=_?，又vO日BCAO_OEABTBC?vAO=AD+2.5,AB=AD^5,AD+2.5_2.5AD^5_76，45解得AD=y.(1)證明：連接OD如解圖.vAC是OO的直徑，二/ABC90°vBD平分/ABCABD=45°.???/AOT90vDE//AC/ODTZAOD=90°,即卩ODLDE.又v點D在OO上，DE是OO的切線；⑵解：在Rt△ABC中,AB=2'5,BCT〕5,ACT,AB+AC_5,5…OD=：.2過點C作CGLDE垂足為G,5則四邊形ODG為正方形，二DG=CG=OD==vDE//AC??ZCE(_ZACB?tan/CEG=tan/ACB第9頁「?DE=DG^GE=「?DE=DG^GE=15.CGAB即2.5 2y[5二GEBC即GE^T，(1)證明：vCA=CBOA=OC???/B=ZOCA=ZOA=30°???/OC=180°—/OAC-ZOCA-ZB=90°, ”SCO "vOC為OO的半徑，CB是OO的切線；⑵解：如解圖，過C點作CF丄AB交AB于點F,則AF=BF,vOM=CM=2,.ZMO=ZMC=30°,vOA=OCZCA=30°.ZAO(=120°ZAO==90°在Rt△AOM中,AM=2OM=4,AC=6,在Rt△ACF中，CF=2aC=3,AF」3CF=3:‘3,A吐2AF=6；3,SAABC=2^6''3X3=93

(1)證明：如解圖，連接0D.vAD平分/BAC???/BAD=ZCAD.vOA=OD ODA=ZOAD./ODA=ZCAD.OD/AC/ODB=ZC=90°即ODLBC.BC是OO的切線；⑵解：連接DF,如解圖.?/OD=OF, OD—OFD.11/ODM2(180°-ZDOF)=90°-JDOF.1ZFDC=90°—/ODM§/DOF.1vZDA十2ZDOF?/FDC=ZDAF.ZFDC=ZODA.vZADB=90°+ZODAZAFD=90°+ZFDCZADB=ZAFD.vZBAD=ZDAF△ABD^AADF.ab_adacTaf?AD=AB?AF=xy.

⑶解：如解圖，連接EF.二AD=xy;在Rt⑶解：如解圖，連接EF.二AD=xy;在Rt△BOD中,sinB設(shè)OO的半徑為r,r+8=13,解得r=5.經(jīng)檢驗，r=5是所列分式方程的解.???AE=10，AB=18.vAE是OO直徑，?/AFP90vZC=90°,?EF//BC.?ZAEF=ZB.?sinZAEF=sinB513,55=5013=13.?AF=AE-sinZAEF=10XvOD/AC?△AGF^ADGO50AG=AF=13=10dgOd=~5=13,13?DG23AD.類型二【例2】(1)證明：如解圖，連接0C.?/AB是OO的直徑，???/ACB=90°即/ACO-ZOCB=90°vOA=OCZACO=ZBAC.vZBCD=ZBACZACO=ZBCD.ZBC—ZOCB=90°，即ZOC圧90°OCLCD.又vOC是OO的半徑，CD是OO的切線；⑵解：vZD=30°,ZOC圧90°ZBOC=60°O[>2OC.ZAOC=120°,ZA=30°.設(shè)OO的半徑為x,貝yOB=OC=x.x+2=2x.解得x=2.如解圖，過點O作OE!AC垂足為E,則AE=CE在Rt△OEA中,OE=^OA=1,AE=.AO—OE=；22-12=3AC=2_3

「?S陰影=S扇形OAC—S^OAC2120XnX2 13604=3n—3.= —~2X23604=3n—3.針對訓(xùn)練(1)證明：vAB是直徑，二/AD=90°???/B+/BAD=90°vZDA(=ZB,/DA+ZBAD=90°,ZBA(=90°,BALAC且AB是OO的直徑，AC是OO的切線；⑵解:vZBCE=ZB,EC=EB,設(shè)EC=EB=x,亠 亠/AC1在Rt△ABC中,tanZB=AB=?,AB=8,AC=4,在Rt△AEC中,vEC=AE+AC,x2=(8—x)2+42,解得x=5,CE=5.(1)證明：vAB是OO的直徑，?/ADB=90°,ZA+ZABD=90°,

又vZA=ZDEB/DEB=ZDBC???/A=ZDBC.???ZDBCbZABD=90°AB!BC又vOB是OO的半徑，BC是OO的切線；⑵解：如解圖，連接ODvBF=BO2,ZADB=90°ZCBD=ZFBD.又vOE/BD FBD=ZOEB.vOE=OB OEB=ZOBE.1ZCBD=ZEBD=ZOB呂3ZABC=30°,ZC=60°.?AB=,；3BC=2.3OO的半徑為'3.vZOBD=ZOBBZEBD=60°,OB=OD?△OBD是等邊三角形，ZBOD=60°,TOC\o"1-5"\h\z1 1廠3_n 刃3?陰影部分的面積為\o"CurrentDocument"S扇形obd-Saobd=：nX3—二X-；3X二=— -~?陰影部分的面積為6 2 2 2 4(1)證明：如解圖，連接ODvZC=90°,「.ZA+ZB=90°,vOB=ODvOB=OD?ZB=ZODB又vZA=ZADE???/AD曰/ODB=ZA+/B=90°???/OD呂180°—90°=90°,DHODTOD為OO的半徑，DE是OO的切線；BC3⑵解：在Rt△ABC中，tanA=ac=4,153ac=4,解得ac=20,tECLBCBC為OO的直徑，二EC是OO的切線,又T/A=ZADE?ED=EA,「.ED=AE=CE11DE=2AC=2^20=10.(1)證明：如解圖，連接OCtOB=OC/OBC=ZOCBtAB是圓O的直徑，/ACB=90°,/OC+/OC=90°,t/ACD=ZB,???/AC+/OC=90°,OCLCD且OC是圓O的半徑，CD是圓O的切線；⑵解：t/CEF=45°,/ACB=90°,

???/CFE^ZCEF=45°,二CF=CE.AC3tsinB=忑=5,二AC=6,由勾股定理得，BC=8,vZACD=ZB,/ADC=ZCOB△CAD^BCDAC=AD=3…BC=CD=4，設(shè)AD=3x,CD=4x,在Rt△OCD中,OC+CD=OD,即52+(4x)2=(5+3x)2,30解得x=0(舍去)或x=”,?AD=90?AD=90,CD=120vZCEF=ZAC+ZCDEZCFE=ZB+ZBDFvZAC=ZB,?ZCD=ZBDFCE_BFCD=BD8—CF90,90,10+7vC日CF,?Cl=篤.類型三【例3】(1)證明：如解圖，連接OCvOA=OC?ZA=ZOCAvAC//OP???/A=ZBOPZAC?=ZCOP???/COP=ZBOPvPB是OO的切線，AB是OO的直徑，ZOBP=90°在厶POCW^POB中,OC=OBZCOP=ZBOP,OP=OP???△CO^^BOPZOC圧ZOB圧90°,vOC是OO的半徑，PC是OO的切線；⑵解：如解圖，過O作ODLAC于D,1ZOD&ZOCP=90°,CD=2ACvZDCO=ZCO,△ODOAPCOCDLOC…OCTOP，cd-op=oC,3vop=2AC2AC=3OP1CD=3OP???1op-op=oC,oc_\[3oPT，?sin/CP_OPPf；⑶解：如解圖，連接BCvAB是OO的直徑,?ACLBCvAC=9,AB=15,BC=pAB_AC_12,當(dāng)M與A重合時,d_0,f_12.?d+f_12,當(dāng)CMLAB時，d_AMf_BMd+f_AM+BM=15,當(dāng)M與B重合時，d_9,f_0,d+f_9,d+f的取值范圍是：9<d+f<15.針對訓(xùn)練解：（1）PM是OO的切線.理由如下：如解圖，連接DO并延長交PM于E,v弧BC沿直線BC翻折，使弧BC的中點D恰好與圓心O重合,OC=DCOB=BD?OC=OB=DC=BD二四邊形OBD(為菱形，???OCLBC,???△OC刖△OBD都是等邊三角形，???/COI^ZBOD=60°,/COP=ZEOP=60°,vZMPB=ZADCZADC=ZABCZMP圧ZABCPM/BCOELPMvCD是OO的切線，ZDCP=90°,在厶OPEmOPC中,ZPEO=ZPCOZPOE=ZPOC=60°,OP=OP△POE2APOC(AAS)OE=OCPM是OO的切線；⑵由(1)得ZCPO=30°,OC=PC-tan30°= 1,3(1)證明：如解圖，過點0作0E1AB于點E,TADLB0于點D,???/D-90°???/BADhZABD-90°,ZAOD-ZOAD=90°vZAOD=ZBAD,/ABD-ZOAD.又vBC為OO的切線，ACLBCZBOC-ZOB—90°vZBO—ZAODZOB—ZOA—ZABD.在厶BOEfn^BOC中,ZEBO=ZCBOZOE—ZOCBOB=OB△BOE2ABOC(AAS)EO=COvEOLABAB為OO的切線；(2)解：vZABOZBAC=90°,ZEO—ZBAC=90ZEO—ZABC/ 4-tanZABC=3,BC—6,3?AC—BC?tanZABC=8,

在Rt△ABC中，aB=aC+bC,???AB=10.TBCBA都為圓外一點B引出的切線,BE^BO6,AE=4.4ttan/ABC=tan/EOA=3,.AE4—OE3，0E=3,ob=7bE+OE=3罷vZABD=ZOBCZD-ZACB=90°?△