全稱量詞與存在量詞（單元教學(xué)設(shè)計(jì)）高一數(shù)學(xué)系列（人教A版2019）

1．5全稱量詞與存在量詞（單元教學(xué)設(shè)計(jì)）一、【單元目標(biāo)】【知識(shí)與能力目標(biāo)】（1）理解全稱量詞與存在量詞的含義，熟悉常見的全稱量詞和存在量詞．（2）了解含有量詞的全稱量詞命題和存在量詞命題的含義，并能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示含有量詞的命題及判斷命題的真假性．（3）能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定，理解全稱量詞命題與存在量詞命題之間的關(guān)系．【過程與方法目標(biāo)】（1）讓學(xué)生通過實(shí)例得出全稱量詞命題、存在量詞命題含義，并通過兩者的聯(lián)系與區(qū)別得出全稱量詞命題與存在量詞命題的否定；（2）讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)知識(shí)．【情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)】通過對(duì)全稱量詞命題、存在量詞命題概念的理解和運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷和歸納的邏輯思維能力．二、【單元知識(shí)結(jié)構(gòu)框架】三、【學(xué)情分析】本課是高中數(shù)學(xué)第一章第5節(jié)，學(xué)生對(duì)于命題的理解還是停留在初中所學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，理解起來可能不是很好理解．否定詞是學(xué)生容易忽略的，應(yīng)提醒學(xué)生．以學(xué)生探究為主學(xué)習(xí)全稱量詞命題的否定與存在量詞命題的否定，全稱量詞命題與存在量詞命題的否定的本節(jié)的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，在否定的過程中應(yīng)注意全稱量詞與存在量詞之間的相互轉(zhuǎn)化，重點(diǎn)是在意義上理解命題的否定．四、【教學(xué)設(shè)計(jì)思路/過程】課時(shí)安排：約2課時(shí)教學(xué)重點(diǎn)：通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例，理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定．教學(xué)難點(diǎn)：全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判定，以及寫出含有一個(gè)量詞的命題的否定．教學(xué)方法/過程：五、【教學(xué)問題診斷分析】環(huán)節(jié)一、情景引入，溫故知新情景1：德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出這樣一個(gè)問題：“任意取一個(gè)奇數(shù)，可以把它寫成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和，比如77，77=53+17+7”，同年歐拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正確，并且認(rèn)為：每一個(gè)偶數(shù)都是兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，雖然通過大量檢驗(yàn)這個(gè)命題是正確的，但是不需要證明．這就是被譽(yù)為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．200多年后我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)才證明了“1+2”即：凡是比某一個(gè)正整數(shù)大的任何偶數(shù)，都能表示成一個(gè)質(zhì)數(shù)加上兩個(gè)質(zhì)數(shù)相乘，或者表示成一個(gè)質(zhì)數(shù)加上一個(gè)質(zhì)數(shù)．從陳景潤(rùn)的“1+2”到“1+1”似乎僅一步之遙，但它是一個(gè)迄今為止仍然沒有得到正面證明也沒有被推翻的命題．要想正面證明就需要證明“任意一個(gè)”“每一個(gè)”“都”這種命題成立，要想推翻它只需“存在一個(gè)”反例．環(huán)節(jié)二、抽象概念，內(nèi)涵辨析1．全稱量詞與全稱量詞命題問題1：下列語(yǔ)句是命題嗎?（1）與（3），（2）與（4）之間有什么關(guān)系?（1）（2）是整數(shù)（3）對(duì)所有的（4）對(duì)任意一個(gè)是整數(shù)【破解方法】（1）不是（2）不是（3）是（4）是關(guān)系：（3）在（1）的基礎(chǔ)上，用量詞“所有的”對(duì)變量進(jìn)行限定；（4）在（2）的基礎(chǔ)上，用短語(yǔ)”對(duì)任意一個(gè)”對(duì)變量進(jìn)行限定．【歸納新知】知識(shí)點(diǎn)一：全稱量詞與全稱量詞命題（1）全稱量詞：一般地，“任意”“所有”“每一個(gè)”在陳述句中表示所述事物的全體，稱為全稱量詞，用符號(hào)“”表示．（2）全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題．（3）全稱量詞命題的形式：對(duì)集合M中的所有元素x，，簡(jiǎn)記為：對(duì)．2．存在量詞與存在量詞命題問題2：下列語(yǔ)句是命題嗎?（1）與（3），（2）與（4）之間有什么關(guān)系?（1）（2）能被2和3整除；（3）存在一個(gè)，使；（4）至少有一個(gè)，能被2和3整除．【破解方法】（1）不是（2）不是（3）是（4）是關(guān)系：（3）在（1）的基礎(chǔ)上，用短語(yǔ)“存在一個(gè)”對(duì)變量x的取值進(jìn)行限定，使（3）變成了可以判斷真假的語(yǔ)句；（4）在（2）的基礎(chǔ)上，用“至少有一個(gè)”對(duì)變量x的取值進(jìn)行限定，從而使（4）變成了可以判斷真假的語(yǔ)句．【歸納新知】知識(shí)點(diǎn)二：存在量詞與存在量詞命題（1）存在量詞：一般地，“存在”“有”“至少有一個(gè)”在陳述句中表示所述事物的個(gè)體或部分，稱為全存在量詞，用符號(hào)“”表示．（2）存在量詞命題：含有存在量詞的命題，稱為存在量詞命題．（3）存在量詞命題的形式：存在集合M中的元素x，，簡(jiǎn)記為：對(duì)．3．全稱量詞命題和存在量詞命題的否定問題3：寫出下列命題的否定，并分析它們與原命題在形式上有什么變化?（1）所有的矩形都是平行四邊形；（2）每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；（3）．【破解方法】（1）存在一個(gè)矩形不是平行四邊形；（2）存在一個(gè)素?cái)?shù)表示奇數(shù)；（3）．從形式看，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．【結(jié)論】含有一個(gè)墨詞的全稱量詞命題的否定，有下面的結(jié)論：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．【歸納新知】知識(shí)點(diǎn)三：全稱量詞命題的否定一般地，全稱量詞命題“”的否定是存在量詞命題：．問題4：類比全稱量詞命題的否定的學(xué)習(xí)，閱讀教科書第30頁(yè)的探究，回答以下問題：（1）存在量詞命題的否定是一個(gè)什么命題?你能寫出它的一般形式嗎?（2）對(duì)于全稱量詞命題和存在量詞命題的否定，用自己的話或者舉例子的方式闡述你的理解．【破解方法】學(xué)生主動(dòng)閱讀教材，時(shí)間4~5分鐘，然后盡量能合上教材回答問題，教師根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)．【歸納新知】知識(shí)點(diǎn)四：存在量詞命題的否定一般地，存在量詞命題“”的否定是全稱量詞命題：．環(huán)節(jié)三：例題練習(xí)，鞏固理解題型一：全稱量詞命題與存在量詞命題的判定【例1】下列命題是全稱量詞命題的個(gè)數(shù)是（

）①任何實(shí)數(shù)都有平方根；②所有素?cái)?shù)都是奇數(shù)；③有些一元二次方程無實(shí)數(shù)根；④三角形的內(nèi)角和是．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】根據(jù)全稱命題的定義可得①②④中命題，指的是全體對(duì)象具有某種性質(zhì)，故①②④是全稱量詞命題，③中命題指的是部分對(duì)象具有某性質(zhì)，不是全稱命題，故選：D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】下列命題中是存在量詞命題的是（

）A．平行四邊形的對(duì)邊相等 B．同位角相等C．任何實(shí)數(shù)都存在相反數(shù) D．存在實(shí)數(shù)沒有倒數(shù)【答案】D【解析】根據(jù)全稱量詞和存在量詞的定義可知，A選項(xiàng)，“平行四邊形的對(duì)邊相等”是所有的平行四邊形性質(zhì)，是全稱量詞命題；B選項(xiàng)，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全稱量詞命題；C選項(xiàng)，“任何實(shí)數(shù)都存在相反數(shù)”中的“任意”是全稱量詞，故其為全稱量詞命題；D選項(xiàng)，“存在實(shí)數(shù)沒有倒數(shù)”中的“存在”為存在量詞，其為存在量詞命題．故選：D題型二：判斷全稱量詞命題與存在量詞命題的真假【例2】下列命題中是真命題的為（）A．，使 B．，C．， D．，使【答案】B【解析】對(duì)于A，由，得，所以不存在自然數(shù)使成立，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以B正確，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由，得，所以D錯(cuò)誤，故選：B題型三：由全稱量詞命題的真假確定參數(shù)取值范圍【例3】命題“”是真命題的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若命題“”是真命題，則，可知當(dāng)時(shí)，取到最大值，解得，所以命題“”是真命題等價(jià)于“”．因?yàn)?，故“”是“”的必要不充分條件，故A正確；因?yàn)?，故“”是“”的充要條件，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故“”是“”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不存在包含關(guān)系，故“”是“”的即不充分也不必要條件，故D錯(cuò)誤；故選：A．題型四：由存在量詞命題的真假確定參數(shù)取值范圍【例4】已知“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槊}“，”為真命題，所以命題“，”為真命題，所以時(shí)，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以．故選：A題型五：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定【例5】，使得的否定是（

）A．，使得 B．，使得C．， D．，【答案】D【解析】“，使得”的否定是“，”，故選：D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】已知命題，則為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可知，命題的否定為．故選：D環(huán)節(jié)四：小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)問題5：請(qǐng)你帶著下列問題回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容：（1）全稱量詞命題和存在量詞命題的符號(hào)表示是什么?（2）你能舉一些全稱量詞命題和存在量詞命題的例子嗎?（3）全稱量詞命題和存在量詞命題的否定的一般形式是什么?全稱量詞命題和存在量詞命題的否定到底要“否定”什么?你能說說我們是怎么得到它們的嗎?【破解方法】通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固全稱量詞、全稱量詞命題、存在量詞、存在量詞命題的概念，命題的否定，提高語(yǔ)言轉(zhuǎn)換和抽象概括能力．六、【教學(xué)成果自我檢測(cè)】環(huán)節(jié)五：目標(biāo)檢測(cè)，檢驗(yàn)效果1．下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（

）①命題“，”的否定為“，”；②“”是“”的充要條件；③集合，表示同一集合．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①全稱命題的否定是特稱命題，命題“，”的否定為“，”，正確；②且，則，反之，如，但此時(shí)，因此不是充要條件，錯(cuò)誤；③集合，不是同一集合．錯(cuò)誤，正確的命題只有一個(gè)．故選：B．2．已知命題：，，使得，則為（

）A．，，使得 B．，，使得C．，，使得 D．，，使得【答案】C【解析】由全稱命題和特稱命題的否定形式，可得命題：，，使得的否定為：，，使得故選：C3．設(shè)有下面四個(gè)命題：p1：?x∈R，x2+1＜0；p2：?x∈R，x+|x|＞0；p3：?x∈Z，|x|∈N；p4：?x∈R，x2﹣2x+3＝0．其中真命題為（）A．p1 B．p2 C．p3 D．p4【答案】C【解析】對(duì)于p1：由于，故?x∈R，x2+1＜0不成立，故該命題為假命題；p2：?x∈R，當(dāng)x＜0時(shí)，x+|x|＝0，故該命題為假命題；p3：?x∈Z，|x|是非負(fù)整數(shù)，故|x|∈N，該命題為真命題；p4：?x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在實(shí)根，故該命題為假命題；故選：C4．已知命題：“，”，若為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】由命題：“，”可得命題：“，”，因?yàn)闉檎婷}，所以當(dāng)時(shí)，命題：“，”很明顯命題為真，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由為真命題可得，解得；當(dāng)時(shí)，由于二次函數(shù)的開口向下，所以，成立，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：5．下列存在量詞命題是真命題的是．（填序號(hào)）①有些不相似的三角形面積相等；②存在一實(shí)數(shù)，使；③存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)的值隨x的增大而增大；④有一個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是它本身．【答案】①③④【解析】三角形面積相等，只需滿足底乘以高相等即可，并不一定要相似，①對(duì)；＋x0＋1對(duì)應(yīng)的判別式為，則＋x0＋1>0恒成立，②錯(cuò)；要使函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，即