微積分基本定理 省賽獲獎(jiǎng)

了解導(dǎo)數(shù)與定積分的關(guān)系以及微積分基本定理的含義，能夠正確地運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算簡單的定積分．重點(diǎn)是：微積分基本定理及其應(yīng)用，難點(diǎn)是：對(duì)微積分基本定理的理解.自我校對(duì)：①連續(xù)函數(shù)②f(x)

③F(b)－F(a)

④牛頓—萊布尼茲公式⑤F(b)－F(a)

⑥S上

⑦－S下

⑧S上－S下

⑨0答案：B答案：A答案：B答案：e2－e－ln25．求下列定積分．1.關(guān)于微積分基本定理的說明理解微積分基本定理需注意以下幾個(gè)方面：(1)在微積分基本定理中，F(xiàn)′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上連續(xù)可積，則F(x)稱為f(x)的一個(gè)原函數(shù)．(2)微積分基本定理溝通了定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，揭示了被積函數(shù)與原函數(shù)之間的逆運(yùn)算關(guān)系，為定積分的計(jì)算提供了一個(gè)簡單有效的方法——轉(zhuǎn)化為計(jì)算其原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量．(3)用微積分基本定理求定積分的關(guān)鍵是找到滿足F′(x)＝f(x)的原函數(shù)F(x)，即找被積函數(shù)的原函數(shù)，利用求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算，運(yùn)用基本函數(shù)求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則從反方向上求出F(x)．[分析]

先由定積分的性質(zhì)將其分解成各簡單函數(shù)的定積分，(當(dāng)有的定積分不易尋找被積函數(shù)的原函數(shù)時(shí)應(yīng)先變形后再計(jì)算)再利用微積分基本定理求解．[點(diǎn)撥]

求定積分首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式找到一個(gè)F(x)，使F′(x)＝f(x)，然后根據(jù)微積分基本定理求值，對(duì)于復(fù)雜的被積函數(shù)求定積分問題，可以運(yùn)用定積分性質(zhì)化簡為簡單函數(shù)的定積分，再求解．[點(diǎn)撥]

(1)利用牛頓——萊布尼茲公式求定積分，關(guān)鍵是求使F′(x)＝f(x)的F(x)，其求法是反方向運(yùn)用求導(dǎo)公式；(2)當(dāng)被積函數(shù)是積的形式時(shí)，應(yīng)先化和差的形式，再利用定積分的性質(zhì)化簡，最后再用牛頓——萊布尼茲公式求定積分的值．[點(diǎn)撥]

(1)分段函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的積分可分成幾段的積分的和的形式；,(2)分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式確定，即是按照原函數(shù)分段的情況分就可，無需分得過細(xì)．

[分析]

微積分基本定理，實(shí)際上給出了微分與積分之間的聯(lián)系，在解決含有參數(shù)的定積分問題時(shí)，往往要對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行討論，有時(shí)解決這類問題要與其他知識(shí)聯(lián)系起來，綜合解決．要正確區(qū)分積分變量和字母，不要混為一談．[點(diǎn)撥]

注意分類討論，以便簡化計(jì)算．練3已知 (x3＋ax＋3a－b)dx＝2a＋6且f(t)＝ (x3＋ax＋3a－b)dx為偶函數(shù)，求a，b.

例4

[點(diǎn)撥]

該題主要是湊出d(x2＋1)，因此做定積分時(shí)基本定理應(yīng)熟練掌握．有些定積分的計(jì)算題，直接應(yīng)用積分公式不好求，甚至是不能求，此時(shí)應(yīng)將被積式進(jìn)行適當(dāng)變形后再求解，像本題這種方法，我們稱之為“湊型法”；過去在求解數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們經(jīng)常運(yùn)用變量代換的方法，使問題的基礎(chǔ)環(huán)境發(fā)生轉(zhuǎn)化，其中體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想．在求定積分的問題上，變量代換仍有很高的價(jià)值，這樣的代換主要用于“把不可直接運(yùn)用積分公式的問題轉(zhuǎn)化為可以直接運(yùn)用積分公式的問題”，我們稱之為“變量代換法”．以抽象函數(shù)為被積函數(shù)，求與之有關(guān)的抽象函數(shù)的定積分，或證明與之有關(guān)的等式或不等式．