第一型曲線積分

第一型曲線積分第1頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月一．第一型曲線積分的定義上的連續(xù)函

是定義在設(shè)某物體的密度函數(shù)數(shù)當(dāng)是直線段時(shí),應(yīng)用定積分就能計(jì)算得該物體

的質(zhì)量.現(xiàn)在研究當(dāng)是平面或空間中某一可求長(zhǎng)度的曲線段時(shí)物體的質(zhì)量的計(jì)算問題.(2)近似求和：在每一個(gè)上任取一點(diǎn)由于

(1)分割：把分成個(gè)可求長(zhǎng)度的小曲線段

第2頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月上的連續(xù)函數(shù),故當(dāng)?shù)幕￠L(zhǎng)都很小時(shí),

每一小段的質(zhì)量可近似地等于其中

為小曲線段的長(zhǎng)度.于是在整個(gè)上的質(zhì)量就近似地等于和式(3)當(dāng)對(duì)的分割越來越細(xì)密(即)

時(shí),上述和式的極限就應(yīng)是該物體的質(zhì)量.由上面看到,求物質(zhì)曲線段的質(zhì)量,與求直線段的質(zhì)第3頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月量一樣,也是通過“分割、近似求和、取極限”來得到的.下面給出這類積分的定義.個(gè)可求長(zhǎng)度的小曲線段的弧長(zhǎng),它把定義在上的函數(shù).對(duì)曲線做分割分成記為分割的細(xì)度為在上任取一點(diǎn)若有極限為平面上可求長(zhǎng)度的曲線段,定義1設(shè)為第4頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月且的值與分割的取法無關(guān),則稱此極限為上的第一型曲線積分,記作為空間可求長(zhǎng)曲線段,

若為定義在上

的函數(shù),則可類似地定義在空間曲線上

的第一型曲線積分,并且記作于是前面講到的質(zhì)量分布在曲線段上的物體的質(zhì)

第5頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月量可由第一型曲線積分(1)或(2)求得.1.若在為

常數(shù),

則也存在,且2.若曲線段由曲線首尾相接而成,

都存在,則

也存在,且第6頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月3．都存在,且在

則4．也存在,

且第7頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月5．存在,的弧長(zhǎng)為則存在常數(shù)

使得6.第一型曲線積分的幾何意義為L(zhǎng)若為坐標(biāo)平面上的分段光滑曲線,上定義的連續(xù)非負(fù)函數(shù).由第一型曲線的定義,易見以為準(zhǔn)線,母線平行于軸的柱面上截取

第8頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月的部分的面積就是第9頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月二．第一型曲線積分的計(jì)算定理20.1

設(shè)有光滑曲線為定義在上的連續(xù)函數(shù),則證由弧長(zhǎng)公式知道,上由的弧長(zhǎng)的連續(xù)性與積分中值定理,有第10頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月所以這里則有第11頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月令現(xiàn)在證明因?yàn)閺?fù)合函數(shù)連續(xù),所以在閉區(qū)

間上有界,即存在常數(shù)使對(duì)一切

都有第12頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月再由上連續(xù),所以它在上一致連續(xù),即對(duì)任給的使當(dāng)時(shí),從而所以第13頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月因此當(dāng)在(4)式兩邊取極限后,即得所要證的(3)式.上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)時(shí),(3)式成為再由定積分定義當(dāng)曲線由方程表示,且在第14頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時(shí),(3)式成為例1設(shè)是半圓周試計(jì)算第一型曲線積分解當(dāng)曲線L由方程表示,且在第15頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例2

一段(圖20-2),試計(jì)算第一型曲線積分解

由參

仿照定理20.1,對(duì)于空間曲線積分(2),當(dāng)曲線量方程表示時(shí),第16頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月其計(jì)算公式為:例3計(jì)算其中為球面被平面所截得的圓周.解由對(duì)稱性知所以第17頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月*例4計(jì)算其中為內(nèi)擺線解由對(duì)稱性知第18頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月其中*例5求圓柱面被圓柱面所

而內(nèi)擺線的參數(shù)方程為因此第19頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月包圍部分的面積A.

解圖中直影線部分為被圍柱面在第一卦限的部分,它的面積為把平面上的位于第一象限的四分之一圓周記為,則被圍柱面在第一卦限部分正是以曲線L為準(zhǔn)線母線平行于z積分的幾何意義可知它的面積為的那部分柱面.由第一型曲面軸的第20頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月L的參數(shù)方程為:因此,定義,線密度為的曲線狀物體對(duì)于x,