人教A版數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)課件1-4充分條件與必要條件

1.4充分條件與必要條件第一章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.了解真命題與推出符號的關(guān)系,領(lǐng)會符號語言的優(yōu)越性.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解充分條件、必要條件、充要條件的概念,掌握充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法.(邏輯推理)3.掌握證明充要條件的一般方法.(邏輯推理)課前篇自主預(yù)習(xí)[激趣誘思]上午上學(xué)時,小明上學(xué)遲到了,老師問小明為什么遲到了,小明對老師說:“老師,今天早上我起來晚了”,老師說:“你的理由很充分啊!”老師為什么說小明的理由很充分呢?通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你就能找出答案.[知識點(diǎn)撥]知識點(diǎn)一:充分條件與必要條件一般地,“若p,則q”為真命題,就說p是q的充分條件,q是p的必要條件.名師點(diǎn)析

1.在邏輯推理中“p?q”的幾種說法(1)“如果p,那么q”為真命題.(2)p是q的充分條件.(3)q是p的必要條件.(4)p的必要條件是q.(5)q的充分條件是p.這五種說法表示的邏輯關(guān)系是一樣的,說法不同而已.2.對充分條件的理解(1)充分條件是某一個結(jié)論成立應(yīng)具備的條件,當(dāng)命題具備此條件時,就可以得出此結(jié)論或使此結(jié)論成立.(2)只要具備此條件就足夠了,當(dāng)命題不具備此條件時,結(jié)論也有可能成立,例如x=6?x2=36,但是,當(dāng)x≠6時,x2=36也可以成立,“x=-6”也是“x2=36成立”的充分條件.3.對必要條件的理解(1)必要條件是在充分條件的基礎(chǔ)上得出的,真命題的條件是結(jié)論成立的充分條件,但不一定是結(jié)論成立的必要條件;假命題的條件不是結(jié)論成立的充分條件,但有可能是結(jié)論成立的必要條件.(2)“p是q的必要條件”的理解:若有q,則必須有p;而具備了p,不一定有q.微思考(1)已知“若p,則q”為真命題,說明p與q之間有什么關(guān)系?提示

說明當(dāng)p成立時,一定能得出q成立.即由p通過推理可以得出q.這時我們就說,由p可以推出q,記作p?q.(2)類似地,如果“若p,則q”為假命題,說明p與q之間有什么關(guān)系?提示

說明由條件p不能推出結(jié)論q,記作p

q.(3)若p是q的充分條件,p是唯一的嗎?q是唯一的嗎?提示

不一定唯一.凡是能使結(jié)論q成立的條件都是它的充分條件,如x>2是x>1的充分條件,x>5、x>10等都是x>1的充分條件;凡是能由條件p推出的結(jié)論都是它的必要條件,如“同位角相等”是“兩直線平行”的必要條件,“內(nèi)錯角相等”“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”等都是“兩直線平行”的必要條件.知識點(diǎn)二:充要條件如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均是真命題,即既有p?q,又有q?p,就記作

p?q.此時,p既是q的充分條件,也是q的必要條件,我們說p是q的充分必要條件,簡稱為充要條件.名師點(diǎn)析

1.對充要條件的兩點(diǎn)說明(1)p是q的充要條件意味著“p成立,則q一定成立;p不成立,則q一定不成立”.(2)p是q的充要條件,則q也是p的充要條件.2.常見的四種條件與命題真假的關(guān)系如果有命題“若p,則q”和“若q,則p”,那么p與q的關(guān)系有以下四種情形:命題“若p,則q”命題“若q,則p”p與q的關(guān)系真真p是q的充要條件q是p的充要條件真假p是q的充分不必要條件q是p的必要不充分條件假真p是q的必要不充分條件q是p的充分不必要條件假假p是q的既不充分也不必要條件q是p的既不充分也不必要條件微思考(1)我們知道,當(dāng)“x>1”成立時,能推出“x>0”.那么“x>0”的充分條件是否只能是“x>1”?提示

不是.使結(jié)論“x>0”成立的條件并不唯一,如“x>1.2”,“3<x≤4”等,有無數(shù)個.(2)由前面的知識,我們知道“x>0”是“x>1”的必要條件.那么“x>1”的必要條件是否只能是“x>0”?提示

不是.例如“x>1”還能推出“x>-1”“x≥”等,這些都是“x>1”成立的必要條件.微練習(xí)已知A,B,C是△ABC的三個內(nèi)角,則“A+C=2B”是“B=60°”的(

)A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案

C課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一充分條件、必要條件的判斷例1(1)判斷下列各題中,p是不是q的充分條件:①p:a∈Q,q:a∈R.②p:a<b,q:<1.③p:x>1,q:x2>1.④p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3.⑤在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC.⑥已知a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0.(2)判斷下列各題中,q是不是p的必要條件:①p:|x|=|y|,q:x=y.②p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形.③p:x=1,q:x-1=.④p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.⑤p:a是自然數(shù),q:a是正整數(shù).分析(1)逐個判斷“若p,則q”是否為真命題.(2)逐個判斷“若p,則q”是否為真命題.解

(1)①由于Q?R,所以p?q,所以p是q的充分條件.②由于a<b,當(dāng)b<0時,>1;當(dāng)b=0時,不存在;當(dāng)b>0時,<1.因此p

q,所以p不是q的充分條件.③由x>1可以推出x2>1.因此p?q,所以p是q的充分條件.④設(shè)A={a|(a-2)(a-3)=0},B={3},則B?A.因此p

q,所以p不是q的充分條件.⑤由三角形中大角對大邊可知,若∠A>∠B,則BC>AC.因此,p?q,所以p是q的充分條件.⑥因?yàn)閍,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p?q,所以p是q的充分條件.(2)①若|x|=|y|,則x=y或x=-y,因此p

q,所以q不是p的必要條件.②直角三角形不一定是等腰三角形.因此p

q,所以q不是p的必要條件.③當(dāng)x=1時,x-1==0,所以p?q,所以q是p的必要條件.④設(shè)A={x|-2≤x≤5},B={x|-1≤x≤5},則B?A,所以p

q,所以q不是p的必要條件.⑤0是自然數(shù),但0不是正整數(shù),所以p

q,所以q不是p的必要條件.反思感悟

充分條件、必要條件的兩種判斷方法(1)定義法:①確定誰是條件,誰是結(jié)論.②嘗試從條件推結(jié)論,若條件能推出結(jié)論,則條件為充分條件,否則就不是充分條件.③嘗試從結(jié)論推條件,若結(jié)論能推出條件,則條件為必要條件,否則就不是必要條件.(2)集合轉(zhuǎn)化法:如果條件p和結(jié)論q都是集合,那么若p?q,則p是q的充分條件;若p?q,則p是q的必要條件;若p=q,則p既是q的充分條件,又是q的必要條件.(3)命題判斷法:①如果“若p,則q”為真命題,那么p是q的充分條件,同時q是p的必要條件.②如果“若p,則q”為假命題,那么p不是q的充分條件,同時q也不是p的必要條件.變式訓(xùn)練1指出下列命題中,p是q的什么條件.(1)p:實(shí)數(shù)a能被6整除,q:實(shí)數(shù)a能被3整除;(2)已知實(shí)數(shù)a,b,p:a+b>0,q:ab>0;(3)p:△ABC有兩個角相等,q:△ABC是正三角形;(4)p:x,y不全為0,q:x+y≠0.解

(1)實(shí)數(shù)a能被6整除,則一定能被3整除,反之不一定成立.即p?q,q

p,則p是q的充分不必要條件;(2)若a+b>0,取a=3,b=-2,則ab>0不成立;反之,若ab>0,取a=-2,b=-3,則a+b>0也不成立,因此“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要條件;(3)△ABC中,有兩個角相等時為等腰三角形,不一定為正三角形,即p

q,且q?p,則p是q的必要不充分條件;(4)當(dāng)x,y不全為0時,x+y=0可以成立,如x=-3,y=3,而x+y≠0時,x,y一定不全為0,這是因?yàn)槿魓,y全為0,則必有x+y=0,即q?p且p

q,則p是q的必要不充分條件.探究二利用條件、結(jié)論之間的推出關(guān)系判斷充要條件例2(多選題)(2021湖北武漢武昌高一期末)已知p是r的充分不必要條件,q是r的充分條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,下列說法正確的是(

)A.r是q的充要條件B.p是q的充分不必要條件C.r是q的必要不充分條件D.r是s的充分不必要條件答案

AB解析

由已知有p?r,q?r,r?s,s?q,由此得r?q且q?r,A正確,C不正確,p?q,B正確,r?s且s?r,因此D不正確,故選AB.要點(diǎn)筆記

涉及多個條件與結(jié)論之間的充分條件、必要條件的判斷,可以借助各個條件與結(jié)論之間的推出關(guān)系,結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷.變式訓(xùn)練2如果A是B的必要不充分條件,B是C的充要條件,D是C的充分不必要條件,那么A是D的(

)A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案

A解析

由題意,得A

B,B?C,C

D,所以A不是D的充分條件;又D?C,C?B,B?A,所以A是D的必要條件,故選A.探究三充要條件的證明例3求證:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0.證明

因?yàn)閍+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程有一個根為1,所以a+b+c=0?方程ax2+bx+c=0有一個根為1.因?yàn)榉匠蘟x2+bx+c=0有一個根為1,所以x=1滿足方程ax2+bx+c=0,所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.所以方程ax2+bx+c=0有一個根為1?a+b+c=0,從而a+b+c=0?方程ax2+bx+c=0有一個根為1,因此方程ax2+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0.反思感悟

充要條件的證明

(1)根據(jù)充要條件的定義,證明充要條件時要從充分性和必要性兩個方面分別證明:一般地,證明“p成立的充要條件為q”;①充分性:把q當(dāng)作已知條件,結(jié)合命題的前提條件,推出p;②必要性:把p當(dāng)作已知條件,結(jié)合命題的前提條件,推出q.解題的關(guān)鍵是分清哪個是條件,哪個是結(jié)論,然后確定推出方向,至于先證明充分性還是先證明必要性則無硬性要求.(2)在證明過程中,若能保證每一步推理都有等價性(?),也可以直接證明充要性.延伸探究

將本例的條件“有一個根為1”改為“有一個正根和一個負(fù)根”,“a+b+c=0”改為“ac<0”,如何判斷?證明

因?yàn)閍c<0,所以Δ=b2-4ac>0,方程ax2+bx+c=0中有兩個不等實(shí)根,由根與系數(shù)關(guān)系可知這兩個根的積為

<0,所以方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根,所以ac<0?方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根.因?yàn)榉匠蘟x2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根,由根與系數(shù)關(guān)系可知這兩個根的積為

<0,所以ac<0,所以方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根?ac<0,從而ac<0?方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根,因此方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根的充要條件是ac<0.

當(dāng)堂檢測1.(2021湖南永州高一期末)設(shè)x∈R,則“x<1”是“0<x<1”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案

B解析

因?yàn)閧x|0<x<1}是{x|x<1}的子集,所以“x<1”是“0<x<1”的必要不充分條件.故選B.2.“x>0”是“x≠0”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.