實(shí)驗(yàn)二二維離散傅立葉變換程序設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)二二維離散傅立葉變換程序設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c要求通過(guò)對(duì)傅立葉變換原理的學(xué)習(xí)，掌握并編程驗(yàn)證二維離散傅立葉變換，理解二維傅立葉變換的主要性質(zhì)。二、知識(shí)點(diǎn)1、數(shù)字圖像傅立葉變換的目的為了有效地和快速地對(duì)圖像進(jìn)行處理和分析，常常需要將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換(正變換)到另外一些空間，并利用在這些空間的特有性質(zhì)方便地進(jìn)行一定的加工，最后再轉(zhuǎn)換回圖像空間(反變換或逆變換)以得到所需要的效果。傅立葉變換就一種重要的常用的變換，它把圖像從圖像空間變換到頻率空間。2、二維離散傅立葉變換對(duì)于二維傅立葉變換，其離散形式如公式2-1所示：逆變換公式如2-2所示：f(uf(u,v)=M^N1rv\ -j2兀;■+■F(u,v)eL(2-1)u=0v=0M-1NM-1N-1f(x,y)=立(ux(2-2)u=0v=0頻譜公式如2-3所示(2-3)F(u,v)=|F(u,v)|ej^(u，v)=R(u,v)+jl(u,v)\F(u,v)|=R2(u,v)+12(u,v)}(2-3)由可傅立葉變換的分離性可知，一個(gè)二維傅立葉變換可分解為兩步進(jìn)行，其中每一步都是一個(gè)一維傅立葉變換。先對(duì)fx,y)按列進(jìn)行傅立葉變換得到F(x,v)，再對(duì)F(x,v)按行進(jìn)行傅立葉變換，便可得到f(x,y)的傅立葉變換結(jié)果。顯然對(duì)f(x,y)先按行進(jìn)行離散傅立葉變換，再按列進(jìn)行離散傅立葉變換也是可行的。

3、一維快速傅立葉變換(FastFourierTransform3、一維快速傅立葉變換(FastFourierTransform,FFT)離散傅立葉變換計(jì)算量非常大，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)。可以證明其運(yùn)算次數(shù)正比于N2,特別是當(dāng)N較大時(shí)，其運(yùn)算時(shí)間將迅速增長(zhǎng)，以至于無(wú)法容忍。為此，研究離散傅立葉變換的快速算法是非常有必要的。下面介紹一種稱(chēng)為逐次加倍法的快速傅立葉變換算法(FFT)思想，它是1965年Cooley和Tukey首先提出的。采用該FFT算法，其運(yùn)算次數(shù)正比于NlbN，當(dāng)N很大時(shí)計(jì)算量可以大大減少。把公式(2-4)簡(jiǎn)記為旋轉(zhuǎn)因子。(2-4)一j2兀ux^wu-x—(2-4)N則有一維傅立葉變換公式如(2-5)所示：F(u)—1習(xí)f(x)eju=土習(xí)f(x)wux (2-5)N NNx=0 x=0這樣一維離散傅立葉變換(DFT)用矩陣的形式表示為：-F(0)_F-F(0)_F(1).=F(N-1)W0X0W0X1:W0X(N-1)W1X0W2X0W1X1W2X1…W1X(N-1)W2X(N-1)W(N-1)x0W(N-1)x1W(N-1)x(N-1)f(0)f⑴f(N-1)式中，由Wux構(gòu)成的矩陣稱(chēng)為W陣或系數(shù)矩陣。觀察DFT的W陣，并結(jié)合W的定義表達(dá)式W=e-J'2n/N，可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)W是以N為周期的。這樣，W陣中很多系數(shù)就是相同的，不必進(jìn)行多次重復(fù)計(jì)算，且由于W的對(duì)稱(chēng)性，因此可進(jìn)一步減少計(jì)算工作量。如果把一個(gè)離散序列分解成若干短序列，并充分利用旋轉(zhuǎn)因子W的周期性和對(duì)稱(chēng)性來(lái)計(jì)算離散傅立葉變換，便可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，這就是FFT的基本思想。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟二維傅立葉變換的實(shí)現(xiàn)步驟：讀入一幅原始圖像［如1圖：并用imshow()函數(shù)顯示出來(lái)。

圖1原始圖像利用函數(shù)fft2，對(duì)其進(jìn)行快速傅立葉變換，ft=fft2(f1);利用abs函數(shù)來(lái)得到傅立葉頻譜(幅度譜),s1=abs(ft)，利用imshow來(lái)可視化頻譜圖像，觀察此圖像的特點(diǎn)，Imshow(s1,[])；使用以e為底的對(duì)數(shù)對(duì)圖像的頻譜進(jìn)行拉伸，并顯示結(jié)果，imshow(log(s1),[]),觀察分析第三步和第四步的不同。步驟三的頻譜步驟四的頻譜步驟三的頻譜步驟四的頻譜兩者的異同，及不同的原因是什么？利用函數(shù)fftshift將變換后的圖像原點(diǎn)移動(dòng)到頻率矩形的中心，fs=fftshift(ft)；顯示變換了中心后的頻譜圖，Imshow(log(abs(fs)),[])，觀察頻譜的變化，與第四步的結(jié)果有什么不同？步驟五的頻譜 與步驟四不同點(diǎn)

利用傅立葉逆變換的實(shí)部值恢復(fù)原始的圖像，g=real(ifft2(s1))，這樣做的原因是：從理論上來(lái)說(shuō)，如果計(jì)算傅立葉變換后的值F的輸入是實(shí)數(shù)，逆變換后的值也應(yīng)該是實(shí)數(shù)，但是在實(shí)際中，ifft2的輸出都會(huì)有很小的虛數(shù)分量，這是由浮點(diǎn)計(jì)算的舍入誤差所導(dǎo)致的，因此我們?cè)谟?jì)算逆變換的后，提取結(jié)果的實(shí)部輸出；figure,imshow(g);語(yǔ)法7、利用imrotate函數(shù)，將［圖像順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度得到f2，如圖2所示，f2=imrotate(f1,45);語(yǔ)法圖2旋轉(zhuǎn)后的圖像對(duì)旋轉(zhuǎn)后的圖像f2，仿照步驟2—4的方法，獲取f2的對(duì)數(shù)拉伸的頻譜圖，與步驟四的結(jié)果對(duì)比，從傅里葉變換的性質(zhì)來(lái)分析，結(jié)果不同的原因。觀察與步驟四不同的地方是什么，什么原因造成的？f2圖像的對(duì)數(shù)頻譜觀察與步驟四不同的地方是什么，什么原因造成的？對(duì)圖fl進(jìn)行離散余弦變換，dt=dct2(f1);使用對(duì)數(shù)變換拉伸幅度譜，即dtl=log(abs(dt));顯示變換結(jié)