實驗二二維離散傅立葉變換程序設(shè)計

實驗二二維離散傅立葉變換程序設(shè)計、實驗?zāi)康呐c要求通過對傅立葉變換原理的學(xué)習(xí)，掌握并編程驗證二維離散傅立葉變換，理解二維傅立葉變換的主要性質(zhì)。二、知識點1、數(shù)字圖像傅立葉變換的目的為了有效地和快速地對圖像進行處理和分析，常常需要將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換(正變換)到另外一些空間，并利用在這些空間的特有性質(zhì)方便地進行一定的加工，最后再轉(zhuǎn)換回圖像空間(反變換或逆變換)以得到所需要的效果。傅立葉變換就一種重要的常用的變換，它把圖像從圖像空間變換到頻率空間。2、二維離散傅立葉變換對于二維傅立葉變換，其離散形式如公式2-1所示：逆變換公式如2-2所示：f(uf(u,v)=M^N1rv\ -j2兀;■+■F(u,v)eL(2-1)u=0v=0M-1NM-1N-1f(x,y)=立(ux(2-2)u=0v=0頻譜公式如2-3所示(2-3)F(u,v)=|F(u,v)|ej^(u，v)=R(u,v)+jl(u,v)\F(u,v)|=R2(u,v)+12(u,v)}(2-3)由可傅立葉變換的分離性可知，一個二維傅立葉變換可分解為兩步進行，其中每一步都是一個一維傅立葉變換。先對fx,y)按列進行傅立葉變換得到F(x,v)，再對F(x,v)按行進行傅立葉變換，便可得到f(x,y)的傅立葉變換結(jié)果。顯然對f(x,y)先按行進行離散傅立葉變換，再按列進行離散傅立葉變換也是可行的。

3、一維快速傅立葉變換(FastFourierTransform3、一維快速傅立葉變換(FastFourierTransform,FFT)離散傅立葉變換計算量非常大，運算時間長?？梢宰C明其運算次數(shù)正比于N2,特別是當(dāng)N較大時，其運算時間將迅速增長，以至于無法容忍。為此，研究離散傅立葉變換的快速算法是非常有必要的。下面介紹一種稱為逐次加倍法的快速傅立葉變換算法(FFT)思想，它是1965年Cooley和Tukey首先提出的。采用該FFT算法，其運算次數(shù)正比于NlbN，當(dāng)N很大時計算量可以大大減少。把公式(2-4)簡記為旋轉(zhuǎn)因子。(2-4)一j2兀ux^wu-x—(2-4)N則有一維傅立葉變換公式如(2-5)所示：F(u)—1習(xí)f(x)eju=土習(xí)f(x)wux (2-5)N NNx=0 x=0這樣一維離散傅立葉變換(DFT)用矩陣的形式表示為：-F(0)_F-F(0)_F(1).=F(N-1)W0X0W0X1:W0X(N-1)W1X0W2X0W1X1W2X1…W1X(N-1)W2X(N-1)W(N-1)x0W(N-1)x1W(N-1)x(N-1)f(0)f⑴f(N-1)式中，由Wux構(gòu)成的矩陣稱為W陣或系數(shù)矩陣。觀察DFT的W陣，并結(jié)合W的定義表達式W=e-J'2n/N，可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)W是以N為周期的。這樣，W陣中很多系數(shù)就是相同的，不必進行多次重復(fù)計算，且由于W的對稱性，因此可進一步減少計算工作量。如果把一個離散序列分解成若干短序列，并充分利用旋轉(zhuǎn)因子W的周期性和對稱性來計算離散傅立葉變換，便可以簡化運算過程，這就是FFT的基本思想。三、實驗內(nèi)容及步驟二維傅立葉變換的實現(xiàn)步驟：讀入一幅原始圖像［如1圖：并用imshow()函數(shù)顯示出來。

圖1原始圖像利用函數(shù)fft2，對其進行快速傅立葉變換，ft=fft2(f1);利用abs函數(shù)來得到傅立葉頻譜(幅度譜),s1=abs(ft)，利用imshow來可視化頻譜圖像，觀察此圖像的特點，Imshow(s1,[])；使用以e為底的對數(shù)對圖像的頻譜進行拉伸，并顯示結(jié)果，imshow(log(s1),[]),觀察分析第三步和第四步的不同。步驟三的頻譜步驟四的頻譜步驟三的頻譜步驟四的頻譜兩者的異同，及不同的原因是什么？利用函數(shù)fftshift將變換后的圖像原點移動到頻率矩形的中心，fs=fftshift(ft)；顯示變換了中心后的頻譜圖，Imshow(log(abs(fs)),[])，觀察頻譜的變化，與第四步的結(jié)果有什么不同？步驟五的頻譜 與步驟四不同點

利用傅立葉逆變換的實部值恢復(fù)原始的圖像，g=real(ifft2(s1))，這樣做的原因是：從理論上來說，如果計算傅立葉變換后的值F的輸入是實數(shù)，逆變換后的值也應(yīng)該是實數(shù)，但是在實際中，ifft2的輸出都會有很小的虛數(shù)分量，這是由浮點計算的舍入誤差所導(dǎo)致的，因此我們在計算逆變換的后，提取結(jié)果的實部輸出；figure,imshow(g);語法7、利用imrotate函數(shù)，將［圖像順時針旋轉(zhuǎn)45度得到f2，如圖2所示，f2=imrotate(f1,45);語法圖2旋轉(zhuǎn)后的圖像對旋轉(zhuǎn)后的圖像f2，仿照步驟2—4的方法，獲取f2的對數(shù)拉伸的頻譜圖，與步驟四的結(jié)果對比，從傅里葉變換的性質(zhì)來分析，結(jié)果不同的原因。觀察與步驟四不同的地方是什么，什么原因造成的？f2圖像的對數(shù)頻譜觀察與步驟四不同的地方是什么，什么原因造成的？對圖fl進行離散余弦變換，dt=dct2(f1);使用對數(shù)變換拉伸幅度譜，即dtl=log(abs(dt));顯示變換結(jié)