7.1-7.3 復(fù)數(shù)-(必修第二冊(cè)) (教師版)

復(fù)數(shù)1虛數(shù)單位的性質(zhì)i叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：①i可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算；②i2=?1，這樣方程x2=?1就有解了，解為③i2=?1,i32復(fù)數(shù)的概念①定義形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，a叫做實(shí)部，b叫做虛部.全體復(fù)數(shù)所成的集合C叫做復(fù)數(shù)集.復(fù)數(shù)通常用z字母表示，即z=a+bi(a,b∈R).②分類z=a+bi=3復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R)也就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，充要條件是他們的實(shí)部和虛部分別相等.PS只有兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)，才可以比較大小，否則無(wú)法比較大小.4共軛復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)記作z=a?bi，且z?5復(fù)數(shù)的幾何意義①?gòu)?fù)平面的概念建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).②復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)及平面向量OZ③復(fù)數(shù)的模向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，表示點(diǎn)a,b即|z|=|a+bi|=a6代數(shù)形式的四則運(yùn)算①運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi(1)z(2)z(3)z②加減法的幾何意義幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.如圖給出的平行四邊形OZ即OZ=OZ(1)|z1?z2|(2)z?z1=r(r>0)表示以(a,b)7?①一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式，其中，r是復(fù)數(shù)z的模，θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ所在射線為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角，r(cosθ+isinθ)叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角形表示式.規(guī)定：在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作argz，即0≤②復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi與三角形式r(cosθ+isinθ)的互換a=rcosθ③復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義設(shè)z1=則z1z

【題型一】復(fù)數(shù)的概念與分類【典題1】求解i+i2+i3+…+【解析】∵i+i2+i3+i4∴i+i【典題2】求當(dāng)a為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z=(a(1)z為實(shí)數(shù)；(2)【解析】復(fù)數(shù)z=(a(1)若z為實(shí)數(shù)，則a2+a?12=0，解得a=?4或(2)若z為純虛數(shù)，則a2?2a?3=0a【典題3】已知關(guān)于x的方程x2+21+ix+ab+a+b【解析】∵得x2∴x2+2x+ab=0消去x得14∵ab≤a+b∴0=1即12∵a,b∈R+，∴a+b>0，即即a+b的取值范圍是[2,+∞).【點(diǎn)撥】①?gòu)?fù)數(shù)相等：a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R)，注意分辨出復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.②若關(guān)于x的方程fx+g(x)i=0有實(shí)數(shù)解，則【題型二】復(fù)數(shù)的幾何意義與運(yùn)算【典題1】已知復(fù)數(shù)z=8?i2+3i(i為虛數(shù)單位)，下列說(shuō)法其中正確的是①?gòu)?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限；②|z|=5③z的虛部為?2i；④z=1?2i【解析】∵z=8?i2+3i∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,?2)，在第四象限；|z|=5；z的虛部為?2；z故①②正確；③④錯(cuò)誤．【點(diǎn)撥】①遇到復(fù)數(shù)的除法，分母分子同乘“分母的共軛復(fù)數(shù)”z1z2②因?yàn)閦1?z2=z1【典題2】已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部為1，虛部的絕對(duì)值為3，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．z+10z是實(shí)數(shù) B．C．z+10z>1 D【解析】由已知得，z=1?3i或z=1+3i，則z+10z=z+10∴z+10z=2，則A，C∵z的實(shí)部大于0故z在復(fù)平面中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限，D正確．故選B．【點(diǎn)撥】①若z=a+bi,則z?z=|?z2=a②注意一些復(fù)數(shù)的性質(zhì)可減輕計(jì)算量.【典題3】設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足|【解析】方法1∵z1+∴|z∴(z1+z2)?∴8+z1z∴z又|z1?z2方法2向量法∵z∴z1,z2∵z∴z1+z2由向量的平行四邊形法則，可知四邊形OCAB是平行四邊形,如下圖易知?AOC是等邊三角形且邊長(zhǎng)為2，易求BC=23由向量的三角形法則可知z1【點(diǎn)撥】①|(zhì)?z2=z?z,②復(fù)數(shù)加減法的幾何意義復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.如圖給出的平行四邊形OZ即③方法2運(yùn)用的是復(fù)數(shù)與向量之間的關(guān)系，再借助幾何的手段進(jìn)行求解.【典題4】若Z∈C，且|Z+2?2i|=1，則|Z?2?2i|的最小值是．【解析】方法1待定系數(shù)法設(shè)Z=∵|Z+2?2i∴a+2則Z∵b∴1?a+2∴當(dāng)a=?1時(shí)，Z?2?2i方法2幾何法|Z+2?2i|=1表示Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以|Z?2?2i其最小值為圓心(?2,2)到(2,2)的距離減去半徑，即2??2故答案為3.【點(diǎn)撥】①方法1用了待定系數(shù)法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為式子的最值問(wèn)題，用到函數(shù)思想，此時(shí)特別注意自變量的取值范圍；②方法2利用了復(fù)數(shù)的幾何意義，若z|z1?z2|z?z1=r【典題5】復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|z?2|=5，則|z|的取值范圍是．【解析】∵|z+i|+|z?2|表示復(fù)數(shù)z到兩點(diǎn)P(0,?1)，Q(2,0)的距離之和，而|PQ|=(?1)又|z+i|+|z?2|=5∴點(diǎn)z在線段PQ上，(確定點(diǎn)z所在的軌跡)|z|表示點(diǎn)O與線段PQ上點(diǎn)的距離，易得直線PQ的方程x?2y?2=0，原點(diǎn)O到此直線的距離d=25=25則|z|的取值范圍是[2【典題6】已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|z+i|+|z?i|的最大值是．【解析】方法1∵|z|=1∴復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)P在圓心(0,0)，半徑r=1的圓上，而|z+i|+|z?i|則表示點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,1)，B(0,?1)的距離之和PA+PB=a+b，其中a2+而a+b2∴a+b的最大值為22方法2設(shè)z=cosθ+isinθ，(0≤θ<2π)．則|z+i|+|z?i|==2(1+sinθ)=2∵0≤θ<2π，∴0≤θ當(dāng)θ2∈[0,π4]時(shí)，|z+i|+|z?i|=2當(dāng)θ2∈(π4，3π4]時(shí)，|z+i|+|z?i|=22當(dāng)θ2∈(3π4，π)時(shí)，|z+i|+|z?i|=?22綜上，|z+i|+|z?i|的最大值是22【點(diǎn)撥】運(yùn)用了待定系數(shù)法進(jìn)行求解，由|z|=1，設(shè)z=cosθ+isinθ(0≤θ<2π)，巧妙的把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問(wèn)題.，但要分離討論較方法1還是麻煩些.鞏固練習(xí)1(★)已知兩非零復(fù)數(shù)z1,zA．z1+z2∈R B．z1?【答案】D【解析】設(shè)z1＝a+bi，z2＝c+di，(a，b，c，d∈R)，z1+z2＝a+bi+c+di＝a+c+(b+d)i，∴z1+z2∈R不一定成立，故A不正確；則z1?z2=(a+bi)(c－di)＝ac+bd+(bc∴z1?z2∈z1∴z1z2∈R∵z1z2=z1?z∴z1z2∈R故選D．2(★)已知x,y∈R,i為虛數(shù)單位，且(x?2)i?y=1+i，則1+ix+y的值為【答案】2i【解析】由x?2i?y=1+i，可得∴1+i3(★)已知復(fù)數(shù)z=8?i2+3i(i為虛數(shù)單位)，下列說(shuō)法其中正確的有①?gòu)?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限；②|z|=5；③z的虛部為?2i；④z【答案】2【解析】∵z=8?i∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－2)，在第四象限；|z|=5；z的虛部為－2；z故①②正確；③④錯(cuò)誤．4(★★)設(shè)z1①若z1?z2=0，則z1③若|z1|＝|z2|，則z其中真命題有個(gè)．【答案】3【解析】由z1，z2是復(fù)數(shù)，得在①中，若|z1－z2|＝0，則z1，z2的實(shí)部和虛部都相等，∴z1=z在②中，若z1=z2，則z1，z2的實(shí)數(shù)相等，虛部互為相反數(shù)，∴z1=z在③中，若|z1|＝|z2|，則z1?z1=z2?z2=|z1|在④中，若|z1|＝|z2|，則由復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)得z1如|1－i|＝|1+i|=2，但(1－i)2＝－2i≠(1+i)2＝2i，故④5(★★)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－5i|=2，則z?z的最大值為【答案】49【解析】設(shè)z＝x+yi，由|z?5i|=(x?0)得x2+(y－5)2＝4，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(0，5)為圓心，以2為半徑的圓，z?z因此，z?z的最大值為(2+5)26(★★)若復(fù)數(shù)z滿足z?z+z+z≤0，則復(fù)數(shù)【答案】5【解析】設(shè)z＝a+bi(a，b∈R)，則由z?z+z+z≤0，得a2+b即(a+1)2+b2≤1．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡如圖∴復(fù)數(shù)|z－1－i|的最大值為|PC|+1=(?1?1故答案為5+1．7(★★)若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|(z+i)(z?i)|的最大值是【答案】4【解析】∵復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，∴z?z=令z＝cosθ+isinθ，θ∈[0，2π)．則(z+i)(z－i)＝1+(z?z)i+1＝2－2∴|(z+i)(z－i)|＝|2－2sinθ|≤4，當(dāng)且僅當(dāng)sinθ∴|(z+i)(z－i故答案為4．8(★★)已知三個(gè)復(fù)數(shù)z1,z2,z3，并且|z1|=|z2|=|z3【答案】[2?1，2【解析】由題意可知復(fù)數(shù)z1，z2，z3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z1，Z2，Z3在單位圓上，又OZ1→?OZ2→不妨設(shè)Z1(1，0)，Z2(0，1)，如圖∴當(dāng)Z3與A重合時(shí)，|z1+z2－z3|有最小值為2?1當(dāng)Z3與B重合時(shí)，|z1+z2－z3|有最大值為2+1∴|z1+z2－z3|的取值范圍是[2?1，2故答案為[2?1，2+1]．9(★★)當(dāng)復(fù)數(shù)z滿足|z+3?4i|=1時(shí)，則|z+2|的最小值是．【答案】17?【解析】∵|z+2|＝|(z+3－4i)+(－1+4i)|≥|－1+4i|－|z+3－4i|=(?1)2∴|z+2|的最小值是17?10(★★)已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(?1,b)(a,b∈R)是復(fù)平面上的四個(gè)點(diǎn)，且向量AB，CD對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為(1)若z