廣東省深圳市福田區(qū)八校2023-2024學年上學期九年級開學聯(lián)考數(shù)學試卷+

福田區(qū)八校2023-2024學年第一學期九年級開學聯(lián)考數(shù)學試卷一．選擇題（每題3分，共30分）1．的值介于（）A．25與30之間 B．30與35之間 C．35與40之間 D．40與45之間2．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．3．以下調查中，適宜全面調查的是（）A．了解全班同學每周體育鍛煉的時間 B．調查某批次汽車的抗撞擊能力 C．調查春節(jié)聯(lián)歡晚會的收視率 D．鞋廠檢測生產(chǎn)的鞋底能承受的彎折次數(shù)4．若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠25．下列命題不正確的是（）A．經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行 B．負數(shù)的立方根是負數(shù) C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．五邊形的外角和是360°6．如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點O為AA'、BB'的中點，只要量出A'B'的長度，就可以知道該零件內徑AB的長度．依據(jù)的數(shù)學基本事實是（）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等 C．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例 D．兩點之間線段最短7．2020年﹣2022年無錫居民人均可支配收入由5.76萬元增長至6.58萬元，設人均可支配收入的平均增長率為x，下列方程正確的是（）A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58 C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.588．下列結論：①若ab＞0，則a＞0，b＞0，②數(shù)0.00314用科學記數(shù)法表示為3.14×10﹣4，③若關于x的方程有增根，則m＝1，④不是分數(shù)，⑤若關于x的不等式x+5＜2a恰有2個正整數(shù)解，則a的最大值是4．以上結論正確的個（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個9．小王同學從家出發(fā)，步行到離家a米的公園晨練，4分鐘后爸爸也從家出發(fā)沿著同一路線騎自行車到公園晨練，爸爸到達公園后立即以原速折返回到家中，兩人離家的距離y（單位：米）與出發(fā)時間x（單位：分鐘）的函數(shù)關系如圖所示，則兩人先后兩次相遇的時間間隔為（）A．2.7分鐘 B．2.8分鐘 C．3分鐘 D．3.2分鐘10．如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是邊AD上一點，且AE＝8，F(xiàn)是邊AB上的一個動點，將線段EF繞點E逆時針旋轉60°，得到EG，連接BG、CG，則BG+CG的最小值是（）A．4 B．4 C．4 D．4二．填空題（每題3分，共15分）11．計算：a4·(﹣a)3＝．12．如圖，已知直線AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，則∠2的度數(shù)是_______．13．若實數(shù)m滿足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，則（m﹣2023）（2024﹣m）＝．14．數(shù)學家高斯推動了數(shù)學科學的發(fā)展，被數(shù)學界譽為“數(shù)學王子”，據(jù)傳，他在計算1+2+3+4+?+100時，用到了一種方法，將首尾兩個數(shù)相加，進而得到1+2+3+4+?+100＝．人們借助于這樣的方法，得到1+2+3+4+?+n＝（n是正整數(shù)）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3，?，n，?，且xi，yi是整數(shù)．記an＝xn+yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，﹣1），即a3＝0，?，以此類推．則a2023＝_______．15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為AC邊上一動點，且不與點A、點C重合，連接BD并延長，在BD延長線上取一點E，使AE＝AB＝AC，連接CE．過點A作AF⊥BE于點F，AF的延長線與EC的延長線交于點H，已知AB＝6，CH＝3，則EH＝_______．三．解答題（共55分）16．（6分）計算：（1）；（2）．17．（8分）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣．”某校為提高學生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買獲得茅盾文學獎的甲，乙兩種書共100本，已知購買2本甲種書和1本乙種書共需100元；購買3本甲種書和2本乙種書共需165元．（1）求甲，乙兩種書的單價分別為多少元；（2）若學校決定購買以上兩種書的總費用不超過3200元，那么該校最多可以購買甲種書多少本？18．（8分）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的頂點均在格點上，O、M也在格點上．（1）畫出△ABC關于直線OM對稱的△A1B1C1；（2）畫出△ABC繞點O按順時針方向旋轉90°后所得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1與△A2B2C2組成的圖形是軸對稱圖形嗎？如果是軸對稱圖形，請畫出對稱軸．19．（8分）2023年3月27日是第28個全國中小學生安全教育日，為提高學生安全防范意識和自我防護能力，某學校舉行了校園安全知識競賽活動．現(xiàn)從八、九年級中各隨機抽取15名學生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績得分用x表示，80分及以上為優(yōu)秀，共分成四組，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并給出下面部分信息：八年級抽取的學生競賽成績在C組中的數(shù)據(jù)為：84，84，88九年級抽取的學生競賽成績?yōu)椋?8，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年級抽取的學生競賽成績統(tǒng)計表年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率八87a9860%九8786bc根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）該校八、九年級共500人參加了此次競賽活動，請你估計該校八、九年級參加此次競賽活動成績達到90分及以上的學生人數(shù)．20．（8分）如圖，BD是矩形ABCD的對角線．（1）作線段BD的垂直平分線（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；（2）設BD的垂直平分線交AD于點E，交BC于點F，連接BE，DF．①判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由；②若AB＝5，BC＝10，求四邊形BEDF的周長．21．（8分）點P（x，y）是第一象限內一個動點，過點P分別作兩坐標軸的垂線，垂足分別為M，N，已知矩形PMON的周長為8．（1）求y關于x的函數(shù)關系式，直接寫出自變量x的取值范圍；（2）直線l與（1）中的函數(shù)圖象交于A（1，a），與x軸交于點B（﹣1，0）．①求直線l的解析式；②已知點P不與點A重合，且△ABP的面積為，直接寫出P點的坐標．22．（9分）（1）用數(shù)學的眼光觀察如圖①，在四邊形ABCD中，AD＝BC，P是對角線BD的中點，M是AB的中點，N是DC的中點．求證：∠PMN＝∠PNM．（2）用數(shù)學的思維思考如圖②，延長圖①中的線段AD交MN的延長線于點E，延長線段BC交MN的延長線于點F．求證：∠AEM＝∠F．（3）用數(shù)學的語言表達如圖③，在△ABC中，AC＜AB，點D在AC上，AD＝BC，M是AB的中點，N是DC的中點，連接MN并延長，與BC的延長線交于點G，連接GD．若∠ANM＝60°，試判斷△CGD的形狀，并進行證明．

參考答案與試題解析一．選擇題1．的值介于（）A．25與30之間 B．30與35之間 C．35與40之間 D．40與45之間【解答】解：∵1600＜2023＜2025，∴＜＜，即40＜＜45，故選：D．2．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．＝2，和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；B．和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；C．＝2，和是同類二次根式，故本選項符合題意；D．＝2，和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；故選：C．3．以下調查中，適宜全面調查的是（）A．了解全班同學每周體育鍛煉的時間 B．調查某批次汽車的抗撞擊能力 C．調查春節(jié)聯(lián)歡晚會的收視率 D．鞋廠檢測生產(chǎn)的鞋底能承受的彎折次數(shù)【解答】解：A．了解全班同學每周體育鍛煉的時間，適合全面調查，故選項A符合題意；B．調查某批次汽車的抗撞擊能力，適合抽樣調查，故選項B不符合題意；C．調查春節(jié)聯(lián)歡晚會的收視率，適合抽樣調查，故選項C不符合題意；D．鞋廠檢測生產(chǎn)的鞋底能承受的彎折次數(shù)，適合抽樣調查，故選項D不符合題意；故選：A．4．若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2【解答】解：由題意得x≥0且x﹣2≠0，解得x≥0且x≠2，故選：D．5．下列命題不正確的是（）A．經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行 B．負數(shù)的立方根是負數(shù) C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．五邊形的外角和是360°【解答】解：A、經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行；故A正確；B、負數(shù)的立方根是負數(shù)；故B正確；C、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C錯誤；D、五邊形的外角和是360°，故D正確；故選：C．6．如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點O為AA'、BB'的中點，只要量出A'B'的長度，就可以知道該零件內徑AB的長度．依據(jù)的數(shù)學基本事實是（）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等 C．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例 D．兩點之間線段最短【解答】解：∵點O為AA'、BB'的中點，∴OA＝OA'，OB＝OB'，由對頂角相等得∠AOB＝∠A'OB'，在△AOB和△A'OB'中，，∴△AOB≌△A'OB'（SAS），∴AB＝A'B'，即只要量出A'B'的長度，就可以知道該零件內徑AB的長度，故選：A．7．2020年﹣2022年無錫居民人均可支配收入由5.76萬元增長至6.58萬元，設人均可支配收入的平均增長率為x，下列方程正確的是（）A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58 C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.58【解答】解：由題意得：5.76（1+x）2＝6.58．故選：A．8．下列結論：①若ab＞0，則a＞0，b＞0，②數(shù)0.00314用科學記數(shù)法表示為3.14×10﹣4，③若關于x的方程有增根，則m＝1，④不是分數(shù)，⑤若關于x的不等式x+5＜2a恰有2個正整數(shù)解，則a的最大值是4．以上結論正確的個（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解答】解：①ab＞0，說明a、b同號，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，原說法錯誤；②數(shù)0.00314用科學記數(shù)法表示為3.14×10﹣3，原說法錯誤；③去分母得：m＝1﹣x，∴x＝1﹣m，∵方程有增根，∴x＝2，∴m＝﹣1，原說法錯誤；④是無理數(shù)，不是分數(shù)，原說法正確；⑤∵x＜2a﹣5恰有2個正整數(shù)解，∴2＜2a﹣5≤3，∴3.5＜a≤4，∴a的最大值為4，原說法正確．正確的個數(shù)是2個，故選：C．9．小王同學從家出發(fā)，步行到離家a米的公園晨練，4分鐘后爸爸也從家出發(fā)沿著同一路線騎自行車到公園晨練，爸爸到達公園后立即以原速折返回到家中，兩人離家的距離y（單位：米）與出發(fā)時間x（單位：分鐘）的函數(shù)關系如圖所示，則兩人先后兩次相遇的時間間隔為（）A．2.7分鐘 B．2.8分鐘 C．3分鐘 D．3.2分鐘【解答】解：由圖象可得，小王的速度為米/分鐘，爸爸的速度為：＝（米/分鐘），設小王出發(fā)m分鐘兩人第一次相遇，出發(fā)n分鐘兩人第二次相遇，m＝（m﹣4）?，n+[n﹣4﹣（12﹣4）÷2]＝a，解得m＝6，n＝9，n﹣m＝9﹣6＝3，故選：C．10．如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是邊AD上一點，且AE＝8，F(xiàn)是邊AB上的一個動點，將線段EF繞點E逆時針旋轉60°，得到EG，連接BG、CG，則BG+CG的最小值是（）A．4 B．4 C．4 D．4【解答】解：如圖，取AB的中點N，連接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延長線于H，由題意可得：AE＝8，DE＝4，∵點N是AB的中點，∴AN＝NB＝8，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等邊三角形，∴EA＝EN，∠AEN＝∠FEG＝60°，∠ANE＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴點G的運動軌跡是射線NG，∵BN＝EN，∠BNG＝∠ENG＝60°，NG＝NG，∴△EGN≌△BGN（SAS），∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∠H＝90°，DE＝4，∠EDH＝60°，∴，∴在Rt△ECH中，＝＝，∴GB+GC≥，∴GB+GC的最小值為；故選C．二．填空題11．計算：a4·(﹣a)3＝﹣a7．【解答】解：原式＝a4·(﹣a3)＝﹣a7．故答案為：﹣a7．12．如圖，已知直線AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，則∠2的度數(shù)是_______．【解答】解：∵∠1＝40°，∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝∠FEG＝70°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEG＝70°．13．若實數(shù)m滿足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，則（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012．【解答】解：（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，[（m﹣2023）+（2024﹣m）]2﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，1﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，1﹣2025＝2（m﹣2023）（2024﹣m），（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012，故答案為：﹣1012．14．數(shù)學家高斯推動了數(shù)學科學的發(fā)展，被數(shù)學界譽為“數(shù)學王子”，據(jù)傳，他在計算1+2+3+4+?+100時，用到了一種方法，將首尾兩個數(shù)相加，進而得到1+2+3+4+?+100＝．人們借助于這樣的方法，得到1+2+3+4+?+n＝（n是正整數(shù)）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3，?，n，?，且xi，yi是整數(shù)．記an＝xn+yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，﹣1），即a3＝0，?，以此類推．則a2023＝_______．【解答】解：第1圈有1個點，即A1（0，0），這時a1＝0；第2圈有8個點，即A2到A9（1，1），這時a9＝1+1＝2；第3圈有16個點，即A10到A25（2，2），這時a25＝2+2＝4；……，依次類推，第n圈，A（2n﹣1）2（n﹣1，n﹣1）；由規(guī)律可知：A2023是在第23圈上，且A2025（22，22），則A2023（20，22），即a2023＝20+22＝42．15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為AC邊上一動點，且不與點A、點C重合，連接BD并延長，在BD延長線上取一點E，使AE＝AB＝AC，連接CE．過點A作AF⊥BE于點F，AF的延長線與EC的延長線交于點H，已知AB＝6，CH＝3，則EH＝_______．【解答】如圖，過點C作CG⊥AH于G，∵∠AEC﹣∠AED＝45°，∴∠FEH＝45°，∵AH⊥BE，∴∠FHE＝∠FEH＝45°，∴EF＝FH，又∵∠EFH＝90°，∴EH＝EF，∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，∴∠GCH＝∠FHE＝45°，∴GC＝GH，∴CH＝CG，∵∠BAC＝∠CGA＝90°，∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠BAF＝∠ACG，又AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）∴AF＝CG，∴CH＝AF，在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，∴（AF）2+（EF）2＝2AE2，∴EH2+CH2＝2AB2．∵AB＝6，CH＝3，則EH＝3．三．解答題（共55分）16．計算：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝2023+1﹣6+4＝2022；（2）＝＝＝．17．習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣．”某校為提高學生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買獲得茅盾文學獎的甲，乙兩種書共100本，已知購買2本甲種書和1本乙種書共需100元；購買3本甲種書和2本乙種書共需165元．（1）求甲，乙兩種書的單價分別為多少元；（2）若學校決定購買以上兩種書的總費用不超過3200元，那么該校最多可以購買甲種書多少本？【解答】解：（1）設甲種書的單價是x元，乙種書的單價是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：甲種書的單價是35元，乙種書的單價是30元；（2）設該校購買甲種書m本，則購買乙種書（100﹣m）本，根據(jù)題意得：35m+30（100﹣m）≤3200，解得：m≤40，∴m的最大值為40．答：該校最多可以購買甲種書40本．18．如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的頂點均在格點上，O、M也在格點上．（1）畫出△ABC關于直線OM對稱的△A1B1C1；（2）畫出△ABC繞點O按順時針方向旋轉90°后所得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1與△A2B2C2組成的圖形是軸對稱圖形嗎？如果是軸對稱圖形，請畫出對稱軸．【解答】解：（1）如圖所示，對稱圖形正確給2分；（2）如圖所示，旋轉正確給2分；（3）如圖所示，對稱軸每一條正確給1分，共2分．19．2023年3月27日是第28個全國中小學生安全教育日，為提高學生安全防范意識和自我防護能力，某學校舉行了校園安全知識競賽活動．現(xiàn)從八、九年級中各隨機抽取15名學生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績得分用x表示，80分及以上為優(yōu)秀，共分成四組，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并給出下面部分信息：八年級抽取的學生競賽成績在C組中的數(shù)據(jù)為：84，84，88九年級抽取的學生競賽成績?yōu)椋?8，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年級抽取的學生競賽成績統(tǒng)計表年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率八87a9860%九8786bc根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：a＝84，b＝100，c＝80%；（2）該校八、九年級共500人參加了此次競賽活動，請你估計該校八、九年級參加此次競賽活動成績達到90分及以上的學生人數(shù)．【解答】解：（1）八年級的競賽成績從小到大排列后，處在中間位置的一個數(shù)是84，因此中位數(shù)是84，即a＝84；九年級的競賽成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是100，共出現(xiàn)3次，因此眾數(shù)是100，即b＝100；九年級的競賽成績中80分及以上的共有12人，因此優(yōu)秀率為×100%＝80%，即c＝80%；故答案為：84，100，80%；（2）500×＝200（人），答：估計該校八、九年級參加此次競賽活動成績達到90分及以上的學生人數(shù)約200人．20．如圖，BD是矩形ABCD的對角線．（1）作線段BD的垂直平分線（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；（2）設BD的垂直平分線交AD于點E，交BC于點F，連接BE，DF．①判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由；②若AB＝5，BC＝10，求四邊形BEDF的周長．【解答】解：（1）如圖，直線MN就是線段BD的垂直平分線，（2）①四邊形BEDF是菱形，理由如下：∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∵∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∴BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四邊形BEDF是菱形；②∵四邊形ABCD是矩形，BC＝10，∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，由①可設BE＝ED＝x，則AE＝10﹣x，∵AB＝5，∴AB2+AE2＝BE2，即25+（10﹣x）2＝x2，解得x＝6.25，∴四邊形BEDF的周長為：6.25×4＝25．21．點P（x，y）是第一象限內一個動點，過點P分別作兩坐標軸的垂線，垂足分別為M，N，已知矩形PMON的周長為8．（1）求y關于x的函數(shù)關系式，直接寫出自變量x的取值范圍；（2）直線l與（1）中的函數(shù)圖象交于A（1，a），與x軸交于點B（﹣1，0）．①求直線l的解析式；②已知點P不與點A重合，且△ABP的面積為，直接寫出P點的坐標．【解答】解：（1）由題意可知，2（x+y）＝