重難點02函數(shù)的奇偶性（6種考法）（原卷版）

重難點02函數(shù)的奇偶性（6種考法）【目錄】考法1：函數(shù)奇偶性的定義與判斷考法2：由奇偶性求函數(shù)解析式考法3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用考法4：由奇偶性求參數(shù)考法5：由函數(shù)奇偶性解不等式考法6：奇偶函數(shù)對稱性的應(yīng)用二、命題規(guī)律與備考策略二、命題規(guī)律與備考策略一、奇函數(shù)解題方法點撥：①如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③已知奇函數(shù)大于0的部分的函數(shù)表達式，求它的小于0的函數(shù)表達式，如奇函數(shù)f（x），當x＞0時，f（x）＝x2+x那么當x＜0時，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）?﹣f（x）＝x2﹣x?f（x）＝﹣x2+x命題方向：奇函數(shù)是函數(shù)里很重要的一個知識點，同學(xué)們一定要熟悉奇函數(shù)的概念和常用的解題方法，它的考查形式主要也就是上面提到的這兩種情況﹣﹣求參數(shù)或者求函數(shù)的表達式．二、偶函數(shù)解題方法點撥：①運用f（x）＝f（﹣x）求相關(guān)參數(shù)，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？②結(jié)合函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱求函數(shù)與x軸的交點個數(shù)或者是某個特定的值，如偶函數(shù)f（﹣2）＝0，周期為2，那么在區(qū)間（﹣2，8）函數(shù)與x軸至少有幾個交點．命題方向：與奇函數(shù)雷同，熟悉偶函數(shù)的性質(zhì)，高考中主要還是以選擇題或者填空題的形式考查對偶函數(shù)性質(zhì)的靈活運用．三．函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷【解題方法點撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．四．奇偶函數(shù)圖象的對稱性【解題方法點撥】由函數(shù)圖象的對稱性可知：①奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．eg：若奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]內(nèi)單調(diào)遞增，且有最大值和最小值，分別是7和4，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣3，﹣1]內(nèi)的最值．解：由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位單調(diào)遞增函數(shù)，那么最小值為f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值為f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4【命題方向】本知識點是高考的一個重點，同學(xué)首先要熟悉奇偶函數(shù)的性質(zhì)并靈活運用，然后要多多總結(jié)，特別是偶函數(shù)與周期性相結(jié)合的試題，現(xiàn)在的一個命題方式是已知周期偶函數(shù)某一小段內(nèi)與x軸交點的個數(shù)，求在更大范圍內(nèi)它與x軸的交點個數(shù)，同學(xué)們務(wù)必多多留意．五．奇偶性與單調(diào)性的綜合【解題方法點撥】參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點，有：①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反【命題方向】奇偶性與單調(diào)性的綜合．不管出什么樣的題，能理解運用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個基本前提，另外做題的時候多多總結(jié)，一定要重視這一個知識點．六．抽象函數(shù)及其應(yīng)用【解題方法點撥】①盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學(xué)的具體模型聯(lián)系起來，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；②可通過賦特殊值法使問題得以解決例：f（xy）＝f（x）+f（y），求證f（1）＝f（﹣1）＝0令x＝y(tǒng)＝1，則f（1）＝2f（1）?f（1）＝0令x＝y(tǒng)＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0③既然是函數(shù)，也可以運用相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)推斷它的奇偶性；【命題方向】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．抽象函數(shù)是一個重點，也是一個難點，解題的主要方法也就是我上面提到的這兩種．高考中一般以中檔題和小題為主，要引起重視．三、題型方法三、題型方法一、單選題1．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，有以下兩個命題：①若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；②若為周期函數(shù)，則也為周期函數(shù)．那么（

）．A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題C．①、②都是真命題 D．①、②都是假命題3．（2023·上海浦東新·校考一模）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．4．（2021·上海崇明·上海市崇明中學(xué)校考模擬預(yù)測）下列命題中與“為上非奇非偶函數(shù)”等價的命題是（

）A．對任意，有或B．存在，有且C．存在，有或D．存在，有且5．（2021·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，則“”是“為偶函數(shù)”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．7．（2022·上海普陀·統(tǒng)考模擬預(yù)測）德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于狄利克雷函數(shù)，有下列4個命題：①對于任意的，；②函數(shù)是偶函數(shù)；③任意一個非零有理數(shù)都是的周期；④存在三個點，使得為等邊三角形．其中真命題的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考三模）對于函數(shù)，設(shè)：對任意的，均有，：對任意的，均有，：函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）.A．、中僅是的充分條件 B．、中僅是的充分條件C．、均是的充分條件 D．、均不是的充分條件9．（2023·上海浦東新·上海市建平中學(xué)?？既＃┫铝泻瘮?shù)中，既是定義域內(nèi)單調(diào)增函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．10．（2022·上海靜安·統(tǒng)考一模）函數(shù)的圖像關(guān)于（

）對稱．A．原點 B．x軸 C．y軸 D．直線11．（2023·上海·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)不是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．二、填空題12．（2022·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)的定義域為，給出下列命題：①若對任意，均有，則一定不是奇函數(shù)；②若對任意，均有，則為奇函數(shù)或偶函數(shù)；③若對任意，均有，則必為偶函數(shù)；④若對任意，均有，且為上增函數(shù)，則必為奇函數(shù)；其中為真命題的序號為__（請寫出所有真命題的序號）．13．（2022·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測）設(shè)a＞0，b＞0，若關(guān)于x的方程恰有三個不同的實數(shù)解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3＝b，則a+b的值為______．三、解答題14．（2022·上?！ど虾Ｖ袑W(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．（1）寫出函數(shù)的奇偶性；（2）當時，是否存在實數(shù)，使的圖象在函數(shù)圖象的下方，若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．15．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)為實常數(shù).（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）當為奇函數(shù)時，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值.16．（2022·上海青浦·上海市青浦高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)常數(shù)，函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的反函數(shù)；（2）根據(jù)的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由．考法2：由奇偶性求函數(shù)解析式一、填空1．（2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為___________．2．（2022·上海浦東新·上海市實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）設(shè)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當時，，則函數(shù)在上的解析式是________3．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)是定義在上以2為周期的奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)在[4，6]上的解析式是__________4．（2022·上海嘉定·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且當時，．若函數(shù)在上的最小值為，則實數(shù)的值為________．5．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考三模）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當時，，若關(guān)于的方程有且僅有兩個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是__________.二、解答題6．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是偶函數(shù)，.（1）求的值，并判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，說明理由；（2）設(shè)，若函數(shù)與的圖像有且僅有一個交點，求實數(shù)的取值范圍；（3）定義在上的一個函數(shù)，如果存在一個常數(shù)，使得式子對一切大于1的自然數(shù)都成立，則稱函數(shù)為“上的函數(shù)”（其中，）.試判斷函數(shù)是否為“上的函數(shù)”，若是，則求出的最小值；若不是，則說明理由.（注：）.考法3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用一、單選題1．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）已知奇函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且對一切成立．關(guān)于數(shù)列，，…，有以下兩個論斷：①存在，使得數(shù)列中恰有112項為1；②存在，使得數(shù)列中恰有448項為0．則（

）A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題C．①、②都是真命題 D．①、②都是假命題2．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？既＃┖瘮?shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．二、填空題3．（2023·上?！とA師大二附中?？寄M預(yù)測）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，若，則曲線在處的切線方程為__________.4．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，，則________.5．（2023·上海寶山·上海交大附中?？既＃┖瘮?shù)是最小正周期為4的偶函數(shù)，且在時，，若存在滿足，且，則最小值為__________.6．（2023·上海奉賢·?？寄M預(yù)測）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當時，，若對一切恒成立，則實數(shù)的最大值為___________.7．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習和研究中，我們經(jīng)常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征，如某體育品牌的LOGO為，可抽象為如圖所示的軸對稱的優(yōu)美曲線，下列函數(shù)中，其圖象大致可“完美”局部表達這條曲線的函數(shù)是________；（填寫你認為正確的序號）①；②③；④；8．（2023·上海虹口·上海市復(fù)興高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知定義在R上的偶函數(shù)滿足.若，且在單調(diào)遞增，則滿足的x的取值范圍是__________.考法4：由奇偶性求參數(shù)一、單選題1．（2023·上海寶山·上海交大附中校考三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．2．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）已知定義在上的偶函數(shù)，若正實數(shù)a、b滿足，則的最小值為（

）A． B．9 C． D．8二、填空題3．（2021·上海徐匯·位育中學(xué)校考三模）若函數(shù)是偶函數(shù)，則______.三、解答題4．（2022·上海浦東新·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，求實數(shù)的值；(2)當時，在中（所對的邊分別為、、），若，且的面積為，求的值．5．（2021·上海·統(tǒng)考二模）設(shè)常數(shù)，函數(shù)．（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在時有零點，求實數(shù)的取值范圍．6．（2022·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，（為實數(shù)）．（1）根據(jù)的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若對任意的，都有，求的取值范圍．7．（2022·上海嘉定·?？寄M預(yù)測）設(shè)常數(shù)，函數(shù)．(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)的值；(2)若對任意，，求實數(shù)的取值范圍．8．（2023·上海金山·上海市金山中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)．(1)是否存在a使得為奇函數(shù)？說明理由；(2)當時，求證：函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)．考法5：由函數(shù)奇偶性解不等式一、填空題1．（2021·上海青浦·上海市青浦高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是___．2．（2021·上海楊浦·統(tǒng)考一模）是偶函數(shù)，當時，，則不等式的解集為____________.3．（2023·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)?？既＃┰O(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對任意的，有，且在上.若.則實數(shù)的取值范圍為__________.二、解答題4．（2021·上海金山·統(tǒng)考一模）已知定義域為的函數(shù).（1）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（2）若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.5．（2021·上海奉賢·上海市奉賢中學(xué)校考二模）已知函數(shù)，，各項均不相等的數(shù)列滿足：，令.（1）試舉例說明存在不少于項的數(shù)列，使得；（2）若數(shù)列的通項公式為，證明：對恒成立；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，證明：對恒成立.考法6：奇偶函數(shù)對稱性的應(yīng)用一、單選題1．（2022春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)校考期中）函數(shù)在上的圖象大致是（

）A．B．C． D．2．（2022秋·上海浦東新·高三上海市進才中學(xué)?？茧A段練習）若函數(shù)在上有最小值-5，（，為常數(shù)），則函數(shù)在上（

）A．有最大值5 B．有最小值5 C．有最大值3 D．