高三學生與數(shù)學建模成績一般的學生認知比較研究

高三學生與數(shù)學建模成績一般的學生認知比較研究

1基于中等化數(shù)學建模認知規(guī)律的應用數(shù)學建模具有強大的教育功能。許多國家將數(shù)學建模視為高中數(shù)學內容的重要組成部分。在這種背景下，2003年出版的《普通高等職業(yè)規(guī)劃標準》（實驗）也將數(shù)學建模納入了高中數(shù)學課程。近年來的教育實踐表明，中國的數(shù)學建模課程在實施過程中取得了一些成果，但其效果并不理想。主要原因之一是缺乏對高中生數(shù)學建模的認知規(guī)律的研究，因此很難為數(shù)學建模課程的設計和實施提供必要的認知心理學指導。近年來，對學生數(shù)學建模的認知進行了一系列研究[3.7]，根據(jù)相關研究，提出了一些大學數(shù)學建模的教育原則和策略。本文在此基礎上，根據(jù)上述研究經(jīng)驗和方法，從不同層次的高中生數(shù)學建模的認知特征中得出結論，并取得了一些初步成果。該文件使用口語報告方法和專家級比較方法，試圖比較不同層次高中生數(shù)學建模的不同認知特征，闡明不同層次高中生數(shù)學建模的不同認知特征和區(qū)別，科學有效地設計和實施數(shù)學建模教育，提高數(shù)學建模的教育效果。2方法2.1選取材料:選取總體情況選取江蘇和廣東兩省4所普通高中,其中,高水平學校和一般水平學校各兩所,在每所學校高中三年級各選一個班共218名學生,實施“數(shù)學建模測試(團體)”測試,從中選取測試成績最好的15名作為優(yōu)生被試,從測試成績排序中位于73%~27%之間的學生中隨機選取15名作為一般生被試.2.2測試材料特點依據(jù)口語報告測試時間與形式的特點和要求,初擬了8個數(shù)學建模問題,經(jīng)征求數(shù)學建模專家和任課教師的意見,對初擬問題進行篩選、調整與改進,形成了由6個數(shù)學建模問題構成的測試材料.前兩題為練習題,后四題為測試題,其中第3題為簡單題,第4題為中等題,第5、6題為復雜題.對第6題只要求被試說出思路,不要求完整求解,其結果不納入統(tǒng)計范圍,只作為分析被試思路特點的背景性參考材料.測試材料的指導語為:“請你大聲讀題,在解題過程中,自己怎么想就怎么說,不用說為什么這樣做,但要將自己的思考過程大聲說出來,我進行錄音,以便知道你是如何做題的”.2.3數(shù)學建?？谇粓蟾娌牧?1)口語報告練習.主試事先向被試說明指導語要求,并以測試材料第1題進行口語報告示范,然后請被試用第2題作口語報告測試練習.如果被試在數(shù)學建模過程中出現(xiàn)較長時間的停頓,主試則提示他(她):“你在想什么?”“請把你想的都說出來”,以促使其出聲思考,提供及時、連續(xù)、完整的口語報告.(2)口語報告測試.在被試觀摩、練習至適應數(shù)學建模口語報告測試后即進行正式測試,時間長短不限.被試完成解題(或放棄解決)后,主試記錄其所用時間,并及時要求被試回顧與敘述數(shù)學建模的思路與過程,對過程中的語義不詳、不清之處進行必要的提問與訪談.(3)口語資料整理.施測完畢后,主試將每位被試的口語報告錄音材料整理成初步的文本,然后,將初步的文本與錄音、紙筆測試及訪談記錄材料等內容進行反復核對和補充,形成完整的、文本形式的數(shù)學建?？谡Z報告材料.(4)材料比較分析.運用專家—新手比較方法,對優(yōu)生被試(視為專家被試)和一般生被試(視為新手被試)的數(shù)學建模口語報告材料進行比較分析,從數(shù)學建模的問題表征、策略運用、建模思路、解題結果、求解效率等認知方面對每位被試的數(shù)學建?？谡Z報告材料進行分析,并依優(yōu)生被試與一般生被試分類統(tǒng)計,比較兩類被試數(shù)學建模的認知特點.3結果3.1數(shù)學建模的程序性知識與方法基于被試數(shù)學建?？谡Z報告材料,對優(yōu)生與一般生數(shù)學建模問題表征方式、廣度和方法方面進行分析與統(tǒng)計比較,結果見表1.依據(jù)對被試口語報告材料的分析認為,被試數(shù)學建模問題的表征方式包括符號表征、方法表征和機理表征.所謂數(shù)學建模的符號表征是指對數(shù)學建模問題從文字言語、圖形圖像、數(shù)學符號層面進行理解與解析,是關于數(shù)學建模問題的陳述性知識的提取與理解;所謂數(shù)學建模的方法表征是指對數(shù)學建模問題從策略和方法層面進行理解與解析,是關于數(shù)學建模問題的程序性知識的提取與理解;所謂數(shù)學建模的機理表征是指對數(shù)學建模問題從問題所蘊含的結構和所需原理層面進行理解與解析,是關于數(shù)學建模問題的原理和范疇的知識與結構的激活.符號表征是對數(shù)學建模問題最淺層次的解析,機理表征是對數(shù)學建模問題最深層次的解析,方法表征是介于二者之間的表征層次.表1表明,優(yōu)生與一般生的數(shù)學建模問題表征方式存在顯著差異.盡管二者均使用了符號表征方式和方法表征方式,但優(yōu)生使用機理表征方式的題次數(shù)明顯多于一般生.依據(jù)對被試口語報告材料的分析認為,被試數(shù)學建模問題的表征廣度可以分別用多元表征和單一表征來刻劃.所謂多元表征是指建模者采用閱讀、數(shù)據(jù)化、圖表化、符號化等多種表征形式來感知和理解數(shù)學建模問題的信息、內涵和結構;所謂單一表征是指建模者僅僅采用閱讀、符號化、數(shù)據(jù)化、圖表化等表征形式中的一種表征形式來感知和理解數(shù)學建模問題.表1表明,優(yōu)生與一般生在數(shù)學建模問題表征廣度上存在顯著差異,優(yōu)生更多地采用多元表征形式,而一般生則傾向于采用單一表征形式.依據(jù)對被試口語報告材料的分析認為,被試數(shù)學建模問題的表征方法包括循環(huán)表征和單向表征兩種方法.所謂循環(huán)表征方法是指被試在數(shù)學建模的過程中多次、反復地進行問題表征;所謂單向表征方法是指被試在問題理解階段進行問題表征后,不再重復進行問題表征.表1表明,優(yōu)生與一般生在數(shù)學建模問題表征方法上存在顯著差異,優(yōu)生傾向于運用循環(huán)表征方法;一般生傾向于運用單向表征方法.3.2數(shù)學建模構建策略基于被試數(shù)學建?？谡Z報告材料,對優(yōu)生與一般生在數(shù)學建模過程諸環(huán)節(jié)所用策略類型進行分析與統(tǒng)計比較,結果見表2.由表2可知,優(yōu)生與一般生在數(shù)學建模假設策略、數(shù)學模型構建策略、數(shù)學建模自我監(jiān)控策略、數(shù)學建模檢驗策略及數(shù)學建模調整策略的運用方面均存在顯著差異.數(shù)學建模假設策略是指在數(shù)學建模過程中,為現(xiàn)實問題的情境、條件和目標的明晰化與理想化而進行假設時所運用的策略.通過對被試口語報告材料的分析,可以將被試所運用的數(shù)學建模假設策略分為可行性假設策略、精確性假設策略和平衡性假設策略.所謂可行性假設策略是指建模者為了追求數(shù)學建模問題解決的可行性而對現(xiàn)實問題作出近似而簡單化的假設的策略.采取此種策略傾向于作出過于簡單的假設而可能導致所建模型與實際問題存在一定偏差;所謂精確性假設策略是指建模者為了追求數(shù)學建模問題解決的精確性而對現(xiàn)實問題作出盡可能精確而符合實際的假設的策略.采取此種策略可能會因作出過于繁雜的假設而致使建模過程與結果非常復雜甚至難以實現(xiàn);所謂平衡性假設策略是指建模者為了兼顧數(shù)學建模問題解決的可行性和精確性而對所要解決的現(xiàn)實問題作出精似適度而均衡的假設的策略.采取此種假設策略既有利于數(shù)學建模的順利進行,又有利于較好地解決現(xiàn)實問題.表2表明,優(yōu)生傾向于采用平衡性假設策略,一般生傾向于采用精確性假設策略,但優(yōu)生與一般生在可行性假設策略運用方面未呈現(xiàn)顯著差異.數(shù)學建模構建策略是指在數(shù)學建模過程中為現(xiàn)實問題的模型化所運用的策略.通過對被試口語報告材料的分析,可以將被試所運用的數(shù)學模型構建策略分為模式識配策略、樣例類比策略和即時生成策略.所謂模式識配策略是指建模者在構建數(shù)學模型時,從頭腦已有問題圖式中搜索相關問題與當前問題相比配,從而識別當前問題的類型并直接運用該問題所建模型或建模方法的構建策略;所謂樣例類比策略是指建模者在構建數(shù)學模型時,類比頭腦中與當前問題在問題模式、建模方法、現(xiàn)成模型等方面相似的樣例建立數(shù)學模型的構建策略.即在數(shù)學建模過程中回想自己過去曾經(jīng)成功解決過的、與當前問題較類似的問題,分析以前的問題情境與當前問題所具有的一致性和不同之處,并嘗試將以前建模問題的思路、方法或結果經(jīng)改造后運用到當前數(shù)學建模問題之中;所謂即時生成策略是指建模者在進行數(shù)學模型構建時,針對當前問題,自由開展思維活動探索數(shù)學模型的構建策略.表2表明,優(yōu)生傾向于采用樣例類比的構建策略,一般生傾向于采用即時生成的構建策略,但優(yōu)生與一般生在模式識配的構建策略運用方面未呈現(xiàn)顯著差異.數(shù)學建模自我監(jiān)控策略是指在數(shù)學建模過程中建模者對自己的數(shù)學建模認知活動進行計劃、檢查、評價、反饋、調節(jié)和控制的策略.通過對被試口語報告材料的分析,可以將被試所運用的數(shù)學建模自我監(jiān)控策略分為即時監(jiān)控策略、選擇監(jiān)控策略和回顧監(jiān)控策略.所謂即時監(jiān)控策略是指建模者在數(shù)學建模過程中時刻監(jiān)視、控制自己數(shù)學建模的每一步驟和結果的策略;所謂選擇監(jiān)控策略是指建模者在數(shù)學建模過程中有選擇地監(jiān)視、控制自己數(shù)學建模的某些步驟和結果的策略;所謂回顧監(jiān)控策略是指建模者在初步完成數(shù)學建模后監(jiān)視、控制自己數(shù)學建模的所有步驟和結果的策略.表2表明,優(yōu)生傾向于運用即時監(jiān)控策略,一般生傾向于運用回顧監(jiān)控策略和選擇監(jiān)控策略.數(shù)學建模檢驗策略是指在數(shù)學建模過程中建模者確認所建構的數(shù)學模型及建模結果的正確性、合理性所運用的策略.通過對被試口語報告材料的分析,可以將被試所運用的數(shù)學建模檢驗策略分為數(shù)據(jù)檢驗策略、理論推演策略和直覺判斷策略.所謂數(shù)據(jù)檢驗策略是指建模者通過檢驗建模過程中所涉及的(或相關的)數(shù)據(jù)以確認所建構數(shù)學模型及建模結果的正確性與合理性的檢驗策略;所謂理論推演策略是指建模者通過檢驗數(shù)學建模已有理論推導步驟以確認所建構數(shù)學模型及建模結果的正確性與合理性的檢驗策略;所謂直覺判斷策略是指建模者運用直觀感覺判斷數(shù)學建模過程與結果的正確性與合理性的檢驗策略.表2表明,優(yōu)生被試傾向于運用直覺判斷策略和理論推演策略,一般生傾向于運用數(shù)據(jù)檢驗策略.數(shù)學建模調整策略是指在數(shù)學建模過程中建模者在確認遇到障礙或錯漏后對數(shù)學建模的某些步驟進行調整的策略.通過對被試口語報告材料的分析,可以將被試所運用的數(shù)學建模調整策略分為假設調整策略、建模方法調整策略和模型求解調整策略.所謂假設調整策略是指建模者在確認建模過程遇到障礙時對此前所做的數(shù)學建模假設實施調整的策略;所謂數(shù)學建模方法調整策略是指建模者在確認數(shù)學建模過程遇到障礙時對該問題此前所用建模方法進行調整的策略;所謂模型求解策略是指建模者在確認或察覺數(shù)學建模結果與實際問題存在一定偏差時對該問題所建模型的求解方法與過程進行調整的策略.表2表明,優(yōu)生傾向于運用假設調整策略和建模方法調整策略,一般生傾向于運用模型求解調整策略.3.3優(yōu)秀數(shù)學建模思路轉換總體情況基于被試數(shù)學建?？谡Z報告材料,對優(yōu)生與一般生數(shù)學建模思路、結果及所耗時間進行分析與統(tǒng)計比較,結果如表3所示.由表3可知,優(yōu)生與一般生在數(shù)學建模思路、結果和效率方面存在顯著差異.優(yōu)秀數(shù)學建模思路轉換人次多于一般生,表明優(yōu)生具有比較靈活的數(shù)學建模思路;一般生與優(yōu)生在思路定勢方面存在顯著差異,一般生思路定勢人次顯著多于優(yōu)生,表明一般生在數(shù)學建模過程而受思維定勢的影響較大;優(yōu)生與一般生在數(shù)學建模結果上也存在顯著差異,優(yōu)生獲得數(shù)學建模正確(合理)結果的人次明顯多于一般生,一般生獲得錯誤(不合理)結果的人次明顯多于優(yōu)生,優(yōu)生中途放棄數(shù)學建模的題次數(shù)明顯少于一般生;優(yōu)生與一般生在數(shù)學建模效率方面也存在顯著差異,優(yōu)生完成簡單的和中等難度的數(shù)學建模均題次耗時顯著少于一般生,表明優(yōu)生的數(shù)學建模效率顯著高于一般生.4討論4.1創(chuàng)建基于機理表征的方法研究發(fā)現(xiàn),優(yōu)生與一般生的數(shù)學建模問題表征方式存在差異.優(yōu)生和一般生雖然均運用符號表征和方法表征,但優(yōu)生更多地運用機理表征,而且能靈活運用符號表征、方法表征和機理表征3種表征方式,先采用符號表征感知理解問題基本信息,繼而采用機理表征抓住問題關鍵,進而采用方法表征搜索與選擇數(shù)學建模解決思路與方法;而一般生往往在運用符號表征后直達方法表征,很少采用機理表征,即使采用機理表征,其機理分析也比較模糊和籠統(tǒng),難以有效指導其建模思路的形成.事實上,機理表征是將數(shù)學建模問題的構成要素進行整合并納入特定理論范疇與框架的過程,是解決數(shù)學建模問題的關鍵,是區(qū)分被試數(shù)學建模表征水平差異的關鍵指標.優(yōu)生能夠在具有較強概括性、抽象性和遷移性的機理表征指導下,對問題特定信息與條件實施有效的搜索和選擇,正確而迅速地識別問題模式,進而找到合理的數(shù)學建模路線;而一般生由于難以以機理表征為指導,因而表征比較瑣細而零亂,往往難以發(fā)現(xiàn)正確的數(shù)學建模思路.已有研究[10~12]發(fā)現(xiàn),不同的問題表征方式對問題解決的過程與結果產(chǎn)生不同影響,所采用的問題表征方式是影響問題解決效率的重要因素.4.2問題圖式的影響研究發(fā)現(xiàn),優(yōu)生與一般生在數(shù)學建模假設策略、數(shù)學模型構建策略、數(shù)學建模自我監(jiān)控策略、數(shù)學建模檢驗策略、數(shù)學建模調整策略等方面均存在顯著差異.已有研究表明,圖式的豐富程度與層級水平影響著表征的質量,而表征的質量影響著策略選擇的優(yōu)劣,圖式以表征為中介影響策略的搜索、選擇、生成與執(zhí)行,在問題解決中獲得圖式的層級越高,策略水平也越高.由于擁有豐富的認知圖式,優(yōu)生對數(shù)學建模問題實施多元化、多層次的表征,形成了從符號表征到機理表征直至方法表征的系統(tǒng)化的問題表征體系,從而為數(shù)學建模策略的激活、搜索、生成與運用提供了前提與基礎.優(yōu)生的問題圖式比較豐富,有大量的問題模式可供借鑒和類比,因此,在構建數(shù)學模型時往往先采用模式識配策略,如無現(xiàn)成模型可用,則運用樣例類比策略搜索問題圖式中與當前問題相似或相關的問題模式,分析并借鑒其問題結構、所建模型與所用方法,從而獲得當前問題的建模思路與方法;而一般生在構建數(shù)學模型時,盡管也先采用模式識配策略,但由于其問題圖式比較貧乏,難以成功搜索到可用的現(xiàn)成問題模式,也很難找到與當前問題相似或有關的樣例問題,在運用模式識配策略失敗后常常運用即時生成策略構建模型,此時,他們往往在知識圖式中盲目搜索,而又很少有問題模式與方法可供參照,因此很難找到數(shù)學建模的正確思路與方法.優(yōu)生在數(shù)學建模遇阻后通常首先考慮所作假設是否存在問題,并嘗試改變假設或增加新假設,也可能維持原假設而分析和調整建模方法;而一般生在數(shù)學建模遇阻后往往嘗試檢驗和調整模型求解方法而忽視對所作假設和建模方法的檢視與調整.其實,運用假設調整策略和建模方法調整策略能有效提高數(shù)學建模的成功概率.4.3基于知識單元的互通性研究發(fā)現(xiàn),優(yōu)生與一般生在數(shù)學建模的思路、結果及效率方面存在顯著差異.這些差異可能是由于被試在數(shù)理認知結構、表征水平、信息加工方式、數(shù)學建模策略運用水平等因素共同作用的結果.專家和新手認知圖式的差異是造成專家和新手問題解決能力差異的根本原因.優(yōu)生的數(shù)理認知結構中蘊含著豐富的認知圖式,而且認知圖式中包含大量與特定領域有關的程序性知識,在數(shù)學建模思維活動中,相關的認知圖式一旦被激活,就能引導他們以特定的方式搜索數(shù)學建模的問題空間,尋找數(shù)學建模問題的有關特征,從而較易形成數(shù)學建模問題解決的程序和方法;而一般生的數(shù)理認知結構中所蘊含認知圖式較少,而且其認知圖式中的知識很少被組織,知識單元聯(lián)結松散,所含相關領域的陳述性知識和程序性知識也較少,因而往往只能形成基于數(shù)學建模問題表面相似性的簡單的問題表征,從而難以發(fā)現(xiàn)有效的數(shù)學建模問題解決程序和方法.被試對數(shù)學建模問題的表征水平?jīng)Q定了其數(shù)學建模策略的選擇與運用,而策略的選擇與運用是否得當將直接影響建模者形成的數(shù)學建模思路的合理性、有效性和正確性,最終影響數(shù)學建模求解的過程與結果.優(yōu)生認知圖式中的知識被良好組織、知識單元間高度聯(lián)結,包含有關領域的陳述性知識,他們能夠在問題解決中形成基于問題結構相似性的、復雜的問題表征,從而為策略的正確選擇與運用提供了重要基礎.優(yōu)生與一般生在信息加工方式方面存在差異,優(yōu)生在處理有關信息時,能較快地從長時記憶系統(tǒng)中提取已貯存信息進行加工和求解.已有研究表明,專家和新手對問題的注意與編碼方式不同,新手是根據(jù)表面結構來知覺問題,而專家則是根據(jù)問題解決時使用的規(guī)則或原理來解決問題.由對數(shù)學建模口語報告材料的分析可知,優(yōu)生的口語報告比較簡略,幾個步驟幾乎是一氣呵成,這可能是由于許多中間步驟未在短時記憶中出現(xiàn)而報告不出來所致,表明他們在處理新信息時,能很快的從長時記憶系統(tǒng)中提取相關信息進行加工,迅速作出應答.優(yōu)生解題所用時間顯著少于一般生被試,這可能與其在數(shù)學建模求解過程中某些環(huán)節(jié)的“自動化”有關,使求解過程中許多中間步驟未在短時記憶中出現(xiàn).而一般生在數(shù)學建模求解過程中隨時有意識地注意每個條件及其與操作之間的關系,特別是對中間環(huán)節(jié)的注意更加明顯,從而增加了建模步驟,延長了建模解題時間,降低了建模解題的效率.而優(yōu)生之所以在解決復雜數(shù)學建模問題上所用時間則多于一般生,是因為一些一般被試中途放棄了對建模問題的探索.學生在數(shù)學建模策略的選擇與運用水平直接決定了其所用數(shù)學建模策略的有效性,進而影響其數(shù)學建模思路的合理性與有效性,最終影響其數(shù)學建模的思路、結果和效率.4.4測試結果的分析為增強對數(shù)學建?？谡Z報告材料分析的客觀性,先后兩次(間隔3個月時間)分別從數(shù)學建模的問題表征、策略運用、建模思路、解題結果與求解效率等方面對被試數(shù)學建?？谡Z報告材料進行鑒別、歸類與統(tǒng)計分析,結果表明,兩次分析的一致性系數(shù)為0.902,表明研究所用測試材料具有較高信度.為確保運用口語報告分析方法和專家—新手比較方法能有效探析優(yōu)生與一般生數(shù)學建模的認知特點以及可能存在的差異,在編制數(shù)學建模測試材料時進行了多次預測和訪談,曾多次調