橢圓焦點三角形的性質(zhì)練習(xí)題

橢圓焦點三角形的性質(zhì)練習(xí)題例1：已知橢圓上一點P，滿足x^2/a^2+y^2/b^2=1，且PF1/PF2=√3，求SΔPF1F2的面積。解：根據(jù)橢圓的性質(zhì)，PF1+PF2=2a，且SΔPF1F2=PF1·PF2/2。將PF1/PF2=√3帶入PF1+PF2=2a中，得PF1=a/(√3+1)，PF2=a/(√3-1)。代入SΔPF1F2=PF1·PF2/2中，得SΔPF1F2=a^2√3/4。答案為A。例2：已知P為橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上一點，F(xiàn)1、F2為該橢圓的兩個焦點，且∠PF1F2=60°，∠PF2F1=30°，求該橢圓的離心率。解：根據(jù)橢圓的性質(zhì)，有PF1+PF2=2a，且b^2=a^2(1-e^2)，其中e為離心率。將∠PF1F2=60°和∠PF2F1=30°帶入PF1+PF2=2a中，得a=2b。代入b^2=a^2(1-e^2)中，得e=√3/2。答案為A。例3：已知P為橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上的一點，F(xiàn)1、F2為該橢圓的兩個焦點，且內(nèi)切圓半徑為1/√2，求PF1·PF2的值。解：根據(jù)橢圓的性質(zhì)，有PF1+PF2=2a，且b^2=a^2(1-e^2)，其中e為離心率。將內(nèi)切圓半徑為1/√2帶入b^2=a^2(1-e^2)中，得a/b=√2。由PF1+PF2=2a，得PF1·PF2=b^2。代入a/b=√2中，得PF1·PF2=2a^2/3。答案為C。例4：已知橢圓P為橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上位于第一象限的點，且△PF1F2=1的焦點分別為F1、F2，內(nèi)切圓半徑為2/√3，求點P的縱坐標(biāo)。解：根據(jù)橢圓的性質(zhì)，有PF1+PF2=2a，且b^2=a^2(1-e^2)，其中e為離心率。由△PF1F2=1和內(nèi)切圓半徑為2/√3可得PF1·PF2=4/3。將PF1+PF2=2a和PF1·PF2=4/3帶入b^2=a^2(1-e^2)中，得a^2=16/9，b^2=4/9。由P位于第一象限可得P的坐標(biāo)為（a·cosθ，b·sinθ），帶入x^2/a^2+y^2/b^2=1中得cos^2θ/4+sin^2θ/1=1，解得sinθ=2/√5，cosθ=1/√5。故P的縱坐標(biāo)為2/√5。答案為B。例5：已知橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1的兩個焦點F1、F2存在，求出點P的縱坐標(biāo)，使得∠F1PF2=90°。解：當(dāng)橢圓的長軸與x軸平行時，F(xiàn)1、F2在x軸上，此時P的縱坐標(biāo)為0；當(dāng)橢圓的長軸與y軸平行時，F(xiàn)1、F2在y軸上，此時P的縱坐標(biāo)為±b。當(dāng)橢圓的長軸與x軸或y軸不平行時，不存在滿足條件的點P。答案為不存在。例6：已知橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦點為F1、F2，點P為其上動點，且∠F1PF2為鈍角，求P的橫坐標(biāo)的取值范圍。解：由于∠F1PF2為鈍角，故P必在橢圓的長軸上。設(shè)橢圓的長軸為2a，P的橫坐標(biāo)為x，則有PF1+PF2=2a，且x^2/b^2+(a^2-x)^2/b^2=a^2?；喌脁^2-a^2x+a^4/4b