高三第一輪復習《走向高考》配套1-2簡易邏輯

9/5/20231●基礎(chǔ)知識一、邏輯聯(lián)結(jié)詞1．邏輯聯(lián)結(jié)詞有或、且、非．2．不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫做簡單命題,由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫做復合命題．3．復合命題的構(gòu)成形式有p或q、p且q、非p.4．判斷下表中復合命題的真假：①④⑥⑨??為假，其余為真.9/5/20232000000pq非pp或qp且q真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨假假⑩??9/5/20233二、四種命題1．四種命題：一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用┑p和┑q分別表示p和q的否定．于是四種命題的形式為：原命題：若p則q；逆命題：若q則p；否命題：若┑p則┑q；逆否命題：若┑q則┑p.9/5/202342．四種命題的關(guān)系：9/5/202353．原命題為真，它的逆命題不一定為真；原命題為真，它的否命題不一定為真；原命題為真，它的逆否命題一定為真．4．反證法欲證“若p則q”為真命題，從否定其結(jié)論即“非q”出發(fā)，經(jīng)過正確的邏輯推理導出矛盾，從而“非q”為假，即原命題為真，這樣的方法稱為反證法．9/5/20236三、充分必要條件1．若p?q，則p叫做q的充分條件；若q?p，則p叫做q的必要條件；如果p?q，則p叫做q的充要條件．2．判斷充要條件的方法：(1)定義法；(2)逆否法；(3)集合法．逆否法：若┑A(chǔ)?┑B,則A是B的必要條件，B是A的充分條件;若┑A(chǔ)?┑B且┑B/?┑A(chǔ)則A是B的必要非充分條件；若┑A(chǔ)?┑B，則A與B互為充要條件；若┑A(chǔ)/?┑B且┑B/?┑A(chǔ)，則A既不是B的充分條件也不是B的必要條件．9/5/20237集合法：從集合觀點看，建立命題p，q相應(yīng)的集合．p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：若A?B，則p是q的充分條件；若A

B，則p是q的充分非必要條件；若B?A，則p是q的必要條件；若B

A，則p是q的必要非充分條件；若A＝B，則p是q的充要條件；若AB且BA，則p既不是q的充分條件，也不是必要條件．9/5/20238示意圖為下圖．9/5/20239●易錯知識一、數(shù)學中的“或”與生活中的“或”混淆1．命題：方程x2－4＝0的解為x＝±2，使用的邏輯聯(lián)結(jié)詞為________．答案：“或”9/5/202310二、已知命題p、q寫出復合命題“p或q”，“p且q”一定注意所寫命題要符合真值表．2．下面寫法對嗎？它們與真值表相符嗎？(1)p或q：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1或x＝2；(2)p且q：四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形．你知道應(yīng)該怎樣寫嗎？答案：不對，與真值表不相符．p或q：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1或方程(x－1)(x－2)＝0的根為x＝2.p且q：四個角相等的四邊形是正方形且四條邊相等的四邊形是正方形．9/5/202311三、命題的否定與否命題的混淆3．存在一個實數(shù)x，使得x2＋x＋1≤0的否定是________________________________；否命題是________________________________________________．答案：命題的否定是：“不存在實數(shù)x使得x2＋x＋1≤0”，即“對所有的實數(shù)x，有x2＋x＋1>0”否命題是：“不存在實數(shù)x，使得x2＋x＋1>0”，即“對所有的實數(shù)x，有x2＋x＋1≤0”9/5/2023129/5/202313四、判斷充分必要條件時，因分不清命題的條件和結(jié)論而失誤．5．若p：α＝β，q：tanα＝tanβ，則p是q的____________________條件．答案：既不充分也不必要五、用反證法證明問題時，結(jié)論的反面不能一一列舉出來．6．用反證法證題命題：“若整數(shù)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)”，則應(yīng)假設(shè)____________________________．答案：a、b、c都不是偶數(shù)9/5/202314●回歸教材1．命題“2010≥2009” ()A．使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”B．使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”C．使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”D．是假命題解析：“2010≥2009”是指“2010＞2009或2010＝2009”，故選A.答案：A9/5/2023159/5/2023163．用反證法證明“若x≠1且x≠2，則x2－3x＋2≠0”時的假設(shè)應(yīng)為 ()A．x＝1或x＝2 B．x2－3x＋2＝0C．x2－3x＋2≤0 D．x2－3x＋2＞0解析：用反證法證明命題中的假設(shè)是原命題結(jié)論的否定，“x2－3x＋2≠0”的否定為“x2－3x＋2＝0”，故選B.答案：B9/5/2023174．(教材改編題)設(shè)集合P＝{x|－1≤x≤1}，Q＝{x|－2≤x≤1}．則“x∈P”是“x∈Q”的 ()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：∵P

Q，∴“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要條件．答案：A9/5/2023185．(課本P42,11題改編)已知命題p：若a，b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)．命題P的否命題為__________________________．答案：若a、b不都是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)9/5/202319【例1】指出下列復合命題的形式及其構(gòu)成，并判斷復合命題的真假：(1)10≤10；(2)方程x2－6x＋1＝0沒有實數(shù)根；(3)有兩個角為45°的三角形是等腰直角三角形．[解析](1)是“p或q”形式的復合命題，其中p：10＝10；q：10＜10，為真命題；也可認為是“非p”形式的復合命題，其中p：10＞10.(2)是“非p”形式的復合命題，其中p：方程x2－6x＋1＝0有實根，為假命題．9/5/2023(3)是“p且q”形式的復合命題，其中p：有兩個角為45°的三角形是等腰三角形；q：有兩個角為45°的三角形是直角三角形，為真命題．[反思歸納]學習邏輯知識，要學會把復雜命題分拆成簡單命題的組合，從而化歸為對簡單命題的判斷，達到判定復合命題真假的結(jié)果，并會運用簡單命題去構(gòu)造新的命題．9/5/202321分別寫出由下列各組命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”“非p”形式的復合命題，并判斷其真假．(1)p：3是9的約數(shù)，q：3是18的約數(shù)；(2)p：a∈{a，b，c}，q：{a}{a，b，c}；(3)p：不等式x2＋2x＋2＞1的解集是R，q：不等式x2＋2x＋2≤1的解集為?.解析：(1)p或q：3是9的約數(shù)或18的約數(shù)，為真命題．p且q：3是9的約數(shù)且是18的約數(shù)，為真命題．非p：3不是9的約數(shù)，為假命題．9/5/202322(2)p或q：a∈{a，b，c}或{a}{a，b，c}，為真命題.p且q：a∈{a，b，c}且{a}{a，b，c}，為真命題．非p：a?{a，b，c}為假命題．(3)p或q：不等式x2＋2x＋2＞1的解集為R或x2＋2x＋2≤1的解集為?，為假命題．p且q：不等式x2＋2x＋2＞1的解集為R且x2＋2x＋2≤1的解集為?，為假命題．非p：不等式x2＋2x＋2＞1的解集不是R，為真命題．9/5/202323【例2】判斷命題“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”的逆否命題的真假．[命題意圖]本題主要考查四種命題及其真假的判定.考查分析、推理的能力．[分析]先寫出逆否命題，再判斷真假或利用原命題與其逆否命題同真假的關(guān)系等方法解決．[解答]解法1：寫出逆否命題，再判斷其真假.原命題：若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根，逆否命題：若x2＋x－a＝0無實根，則a<0，9/5/202324判斷如下：∵x2＋x－a＝0無實根，∴△＝1＋4a<0，∴a<－<0，∴“若x2＋x－a＝0無實根，則a<0”為真命題.解法2：利用命題之間的關(guān)系：原命題與逆否命題同真同假(即等價關(guān)系)證明.∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1>0，∴方程x2＋x－a＝0的判別式△＝4a＋1>0，∴方程x2＋x－a＝0有實根，故原命題“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”為真.又因原命題與其逆否命題等價，所以“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”的逆否命題為真.9/5/2023259/5/2023269/5/202327寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并分別判斷它們的真假：(1)若a＝b，則a2＝b2；(2)若x2＋y2＋2x＋1＝0(x、y∈R)，則x＝－1且y＝0；(3)若△ABC≌△PQR，則S△ABC＝S△PQR.解析：(1)逆命題為：若a2＝b2，則a＝b,此命題為假；否命題為：若a≠b，則a2≠b2，此命題為假；逆否命題為：若a2≠b2，則a≠b，此命題為真．9/5/202328(2)逆命題為：若x＝－1且y＝0，則x2＋y2＋2x＋1＝0，此命題為真；否命題為：x2＋y2＋2x＋1≠0，則x≠－1或y≠0，此命題為真；逆否命題為：若x≠－1或y≠0(x、y∈R)，則x2＋y2＋2x＋1≠0，此命題為真．(3)逆命題為：若S△ABC＝S△PQR，則△ABC≌△PQR，此命題為假；否命題為：若△ABC與△PQR不全等，則S△ABC≠S△PQR,此命題為假；逆否命題為：若S△ABC≠S△PQR，則△ABC與△PQR不全等，此命題為真.9/5/202329【例3】指出下列各組命題中，p是q的什么條件(在“充分而不要條件”、“必要而不充分”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”中選出一種作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；(2)對于實數(shù)x、y、p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)在△ABC中，p：sinA＞sinB，q：tanA＞tanB；(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[解析](1)在△ABC中，顯然有∠A＞∠B?BC＞AC，∴p是q的充要條件．9/5/202330(2)∵逆否命題：x＝2且y＝6?x＋y＝8，∴p是q的充分不必要條件．(3)取A＝120°，B＝30°，p?/q，又取A＝30°，B＝120°，q?/p，∴p是q的既不充分又不必要條件．(4)∵p：x＝1且y＝2，q：x＝1或y＝2，∴p是q的充分不必要條件．[反思歸納](1)分析p是q的什么條件時，一定要結(jié)合命題p與q所涉及的知識，進而全面分析，嚴格按四種條件的結(jié)構(gòu)和定義進行判斷．(2)分析判斷時，為了得出命題p與q的準確關(guān)系，有時需對命題p與q進行化簡，然后再分析．9/5/202331(2009·陜西，7)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的 ()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：C9/5/202332(2007·高考山東卷)下列各小題中，p是q的充要條件的是 ()①p：m＜－2或m＞6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有兩個不同的零點．②p：＝1；q：y＝f(x)是偶函數(shù)．③p：cosα＝cosβ；

q：tanα＝tanβ.④p：A∩B＝A;

q：?UB??UA.A．①②B．②③ C．③④ D．①④答案：D解析：①q：y＝x2＋mx＋m＋3有兩個不同的零點?q：△＝m2－4(m＋3)＞0?q：m＜－2或m＞6?p；9/5/202333【例4】已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，對命題“若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)寫出逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論．(2)寫出其逆否命題，并證明你的結(jié)論．[分析]9/5/202334[解答](1)逆命題是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0.它是成立的．可用反證法證明它．假設(shè)a＋b<0，則a<－b，b<－a.∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，則f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，與條件矛盾．∴逆命題為真．(2)逆否命題是：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，則a＋b<0.此命題為真命題．可證明原命題為真來證明它．∵a＋b≥0.①若a＋b>0，則a>－b，b>－a，由f(x)在(－∞，＋∞)上遞增，∴f(a)>f(－b)，且f(b)>f(－a)，因此f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．9/5/202335②若a＋b＝0，則a＝－b，b＝－a，由函