數(shù)學做題心得

前言

百度ID：阿布侃數(shù)學（阿卜算子詠梅）QQ：545024706群QQ：122515316

教學十余年，但數(shù)學僅僅教了六年吧，期間有許多疑難困惑，也有些許心得，現(xiàn)在將做題思路心得寫下，望同仁指正。最精簡的步驟是數(shù)學愛好者的終極目標。

圖形題做題思路歌

遇到中點找中點，平分角找平垂線。直線上面遇直角，垂直相似不要忘。邊邊關系等不等，全等相似用函數(shù)。梯形底高延兩腰，輔助多做平行線。求角加減和平行，特角外角圓心周。旋轉動角找相似，圖形對折用勾股。欲求面積先求邊，切切補補找規(guī)則。坐標系中四要素，平行垂直中點距。函數(shù)會求式與圖，式子聯(lián)立求交點。遇到動點多畫圖，主要找到關鍵點。兩圓相遇連圓心，直徑直角連切點。幾何圖中線段長，加減相似和勾股。同向同張角相等，對角互補四點共。應用題目也畫圖，等量關系細心找。

圖形題思路思路是所有參考答案中不會提到的，它類似教科書上的解題分析，要會順藤摸瓜，由此及彼，一般分為三種，一是由已知尋結論，二是由結論合已知，三是由已知結論推導中間的重合部分，我認為最好的辦法是由已知結論來推導中間的部分，這樣才會全面去思考一個問題，因為由已知得到的信息和結論得到的信息相近多了，重合的可能性就大了，題也容易弄通順了。數(shù)學要會聯(lián)想、分類，也就是由此及彼。例如幾何中求邊相等，要會加減長度等，中點分線段等，中位線分兩邊等，中位線等底邊一半，等腰三角形兩腰等，平行四邊形對邊等，等等。函數(shù)與幾何結合是近年來中考的熱點，求點一般利用圖形的對稱性來求，求面積一般要想到底邊會有多個，高也有多個，常常還要做底高的輔助線，在函數(shù)中多設點的坐標（x.y），輔助線做x、y軸的垂線最多。要會分類討論并結合圖像來思考才能全面的解答問題。中考數(shù)學考察的是閱讀能力、分析能力、計算能力、畫圖能力等等。數(shù)學是要會畫圖的，必須會的，畫標準圖是做所有大型的數(shù)學題的的基本方法，包括應用題、幾何題、函數(shù)題、統(tǒng)計概率題等等。本PPT里的所有題大都是我精選的，一定要結合口訣練習，部分題我空間有答案。我寫下的只是最基本的做題思路和方法，因為中考一般考的是通用方法。遇到中點找中點，平分角找平垂線。遇到中點找中點包含兩個意思。一是找中點所在邊的鄰邊的中點，連接能形成平行線（中位線）這樣就多了角的關系和邊長的關系。二是把此中點作為另一邊的中點，如果沒有另一邊一般要做出這個邊。延長中線等中線。角平分找平垂線也包含三個意思。一是在角平分線上做垂線，能得到等腰三角形，利用三線合一得到邊角關系。二是利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等。三是過平分線上一點做角一邊的平行線，能得到一個等腰三角形。直線上面遇直角，垂直相似不要忘。這句話的意思是遇到直線上面有直角的話，直角的兩個邊上向直線作垂線能得到兩個相似的三角形，當相似比為1時，兩個相似的三角形就是全等的三角形了。它有很多變形，如有的時候是直線穿過直角（共有8種，其余4種沒有畫出來）。這類題的關鍵是在直角和直線周圍找互余的角，然后找相似三角形。邊邊關系等不等，全等相似用函數(shù)數(shù)學證明題中經(jīng)?？疾爝吪c邊的關系。邊與邊的關系包括兩種，一是位置關系，二是數(shù)量關系，位置關系一般是平行與垂直（垂直、平行關系一般畫圖就可以看出，這里不作為重點，重點說數(shù)量關系）數(shù)量關系包括相等和不相等，求證相等用等腰三角形、中位線，全等三角形等等。不相等的話要用相似三角形來求證（包括平行線），這時邊與邊的關系就是函數(shù)關系了，一定要小心。邊不在三角形內部一定要構造三角形梯形底高延兩腰，輔助多做平行線。梯形里的輔助線比較多。過上底兩端向下底做垂線。過上底的一個端點做一腰的平行線。過上底的一個端點做一對角線的平行線。過一腰的中點做另一腰的平行線。過上底一端點和一腰中點的直線和下底延長線相交。做梯形的中位線。延長兩腰使之相交。求角加減和平行，特角外角圓心周。等角有很多，平行線、全等三角形、相似三角形中里面很多。求角要用加減和等量代換，以及特殊圖形中邊角關系。遇到倍角會分角，把倍角做外角或做倍角的平分線。還有做平行線來轉化角的關系，例如口訣第一句中的“平分角找平垂線”中的例題。題中無角讓求角，一般都是特殊角，如30°、45°、60°、90°等，外角是利用三角形外角的性質，這個用的比較多?！皥A心周”是指圓內的圓心角和圓周角和它們之間的關系。旋轉動角找相似，圖形對折用勾股相似三角形現(xiàn)在是幾何的頂峰。這句話意思很簡單：1、如果兩個相等的角的頂點重疊和某個角繞點旋轉那么在周圍找相似三角形。2、當一個定角在一線段上移動也要在附近找相似三角形，沒有三角形的話要構造三角形。旋轉角和鄰等角，相似全等細細找。定角移動找相似，沒有注意要構造。當遇到旋轉圖形、旋轉角、等角共頂點時，找相似三角形和全等三角形。

第二句的意思是遇到圖形對折就找直角三角形，然后勾股定理來求邊。欲求面積先求邊，切切補補找規(guī)則。三角面積是基礎。數(shù)學題中求面積的很多，要切記求面一定先找邊的量，平行四邊形（長方形、菱形、正方形）都可以切割成兩個全等的三角形。梯形的對角線也能把梯形切割成兩個三角形，并且你研究一下它們的面積公式，可以看出也是在三角形面積公式的基礎上得來的，還有菱形、正方形的另一個公式，對角線乘積除以2也是在三角形面積基礎上得來的。在動點問題和平面直角坐標系中某些圖形很不規(guī)則，且有些是動面積，多邊形面積。動面積是指面積隨著邊的變化而變化的，多邊形面積一般切補成規(guī)則圖形然后計算即可。扇形面積公式有兩個，但近年來中考中求扇形面積很少，這個公式也不容易記住。坐標系中四要素，平行垂直中點距。這句話是說平面直角坐標系中有四個知識要點，一是兩個一次函數(shù)圖像平行，解析式的K值相等。二是兩個一次函數(shù)圖像互相垂直，解析式K值互為負倒數(shù)。三是任意兩點的中點坐標公式，四是任意兩點間距離公式。除了第一個是教科書上講的，其余我希望大家能補充一下，考試的時候可以直接用的。A（x1，Y1）B（X2，Y2）中點坐標公式如下左圖，距離公式如下右圖。我簡單講一下中點公式的原理是中位線性質，參考著下左圖你應該明白的。兩點間距離公式的原理是勾股定理，其實都是向X軸、Y軸作垂線得到的，構成直角三角形。大家一定推導一下，很簡單的。不會增加記憶負擔的。這是2009的河南中考數(shù)學題利用兩點間距離公式。【說明】對于壓軸題中的動點問題、極值問題，先根據(jù)條件“以靜制動”，用待定系數(shù)表示各自的坐標，如果能構成二次函數(shù)，即可通過配方或頂點坐標公式求其極值．若要構成等腰三角形，則三條邊中有兩條邊相等即可，于是可分EQ=EC，EC=CQ，EQ=EC三種情況討論．若為等邊三角形，則三邊長度相同。函數(shù)會求式與圖，式子聯(lián)立求交點。一次函數(shù)y=kx+b是中考的必考點，它是直線函數(shù)，根據(jù)兩個點確定一條直線的原理，需要兩個點（0,k）（-b/k，0）就能畫出這條函數(shù)圖象。它與x、y所成的直角三角形面積S=1/2*（b2/lkl）。K值是與x軸的夾角的正切值的絕對值，符號由所在象限決定。注意當一次函數(shù)K的值為土根號3、土根號3/3、土1等時，圖像與x、y軸的夾角是特殊角(二次函數(shù)也要注意)。b值就是函數(shù)在y軸上的截距，當b=0時，一次函數(shù)就變成正比例函數(shù)了。反比例函數(shù)圖象是雙曲線，無限接近x、y軸但總不與x、y軸相交。上面由圖像記性質最簡單了。函數(shù)要記住三個方面，一是解析式，二是圖像，三是性質，每一個函數(shù)在一定范圍內都有最大值最小值問題，這一點大家要牢記。平面直角坐標下中做x、y軸的垂線是最常用的輔助線。正一反一一次二，二次函數(shù)三點求。式子聯(lián)立求交點，連線夾角也常用。這句話的意思是，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)都是知道一個點就能求出解析式，一次函數(shù)需要兩個點求出，二次函數(shù)需要三個點求出。多個函數(shù)圖象有交點的話用式子聯(lián)立求出交點。二次函數(shù)比較復雜，有三四種解析式，如果你能熟練掌握并能互相轉化，那么就事半功倍了。函數(shù)一定結合圖像去思考問題，這也是關鍵啊。函數(shù)的平移口訣：左加右減，下加上減。誰加誰減要注意了，這里是不一樣的。左右用x加減，上下用y加減。例如y=2x2+3x-4向右移動6個單位，向下移動8個單位，那么得到y(tǒng)+8=2（X-6）2+3（x-6）-4，這個方法包括所有函數(shù)解析式。注意它和坐標點的平移不一樣，那個口訣正好相反。二次函數(shù)要點和函數(shù)圖象的平移平面直角坐標系中求三角形面積的方法：切補法一、直接切法。平時求面積公式包括底乘的一半、邊邊夾角正弦值的一半、海倫公式都不行。那么就用直接切法試試吧。如下左圖首先是在坐標系中△ABC的三個頂點都知道坐標。（1）過A點作垂直X軸的垂線將三角形分成兩個三角形。（2）求出BC直線的解析式，再求出AD的距離。（3）然后AD乘以C點的橫坐標減去B點的橫坐標再乘以二分之一就是△ABC的面積了。這個方法的原理很簡單，是把△ABC的面積切成兩個以AD為底的三角形，這兩個三角形高的和等于C點的橫坐標減去B點的橫坐標。（這個方法應用在A為動點問題最好了）。直接切法還有一種是做Y軸的垂線，大家可以試試。二、間接補法。如下右圖將已知點向x、y軸做垂線構成直角梯形，然后總面積減去補充上的兩個三角形（或是兩個直角梯形）的面積可得。這個方法是輔助線多但記憶量小，計算數(shù)值多。欲求面積先求邊，切切補補找規(guī)則。切補法方法不固定，要靈活掌握。注意：在平面直角坐標系中的輔助線是向x、y軸做垂線，某直線的平行線等。在計算線段長時要用右邊點的橫坐標減左邊點的橫坐標，上面點的縱坐標減下面點的縱坐標，這樣得到的線段才能都是正值，計算面積就不用考慮符號的問題了。來兩道小題大家看看學過就練練平面直角坐標系中求點坐標的方法互為對稱點關于軸和原點原則是：關誰誰不變，關于原點它都變。再例如：右圖求菱形一般也有三個點，利用兩點間距離公式求出AB直線上MA=AC的兩個M點。再利用菱形對角線互相垂直平分的性質求出第三個M點。求F點就簡單了。如下左圖：已知三點坐標A（1,2）B（2,0），C（-1，0）求以這三個點為頂點的平行四邊形的另外一個點的坐標。ABC三個點是我隨意寫的，不具有特殊性。解答1：中點法。首先最好是先畫圖，其次根據(jù)中點公式求出BC的中點（1/2,0）最后再根據(jù)中點公式結合A(1,2)求出第一個D(0,-2),剩下還按照中點公式結合C(-1,0)和B(2,0)求出第二、三個D點。（中點公式可以口算的噢）解答2是網(wǎng)上的做法：利用平行四邊形的性質，平行對邊的兩組點的橫縱坐標差相等，易求第4個點坐標。這個是最簡單的方法，不會記得要問我。遇到動點多畫圖，主要找到關鍵點。動點一直是個難點，需要你有超強的畫圖能力和分類討論能力，根據(jù)題意來畫出符合題意的圖像。根據(jù)動點、拐點，分類、分步驟。動點問題都是化動為靜，注意動點取值范圍。例：等邊三角形ABC的邊長為4厘米，長為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1（運動開始時，點M與點A重合，點N到達點B時運動終止），過M、N分別作AB邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點，線段MN運動的時間為t秒。

1、線段MN在運動過程中，t為何值時，MNQP為矩形，并求出MNQP的面積。

2、線段MN在運動的過程中，MNQP面積為S，運動的時間為t，求S與t的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍。（注意：梯形在移動時不是一直是梯形的。）兩圓相遇連圓心，直徑直角連切點。近年來中考出現(xiàn)兩圓的問題較少，兩圓相交連圓心和公共弦，兩圓相切做公切線。圓是數(shù)學題中的一個難點，因為隱含條件較多，輔助線較多。有直徑一定要想到他所對的圓周角為90°，同理90°所對的弦是直徑，有弦要做弦心距，