初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)全等三角形

初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)一一全等三角形一.知識點結(jié)構(gòu)梳理及解讀.全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。.全等三角形性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等.三角形全等的判定：（1）邊邊邊（SAS）:三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（2）角邊角（SAS）：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（3）角邊角（ASA）：兩邊和他們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。角角邊（AAS）：兩個角和其中的一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（4）斜邊，直角邊（HL）:斜邊和直角邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。.角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。.角平分線的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。三角形三條內(nèi)角平分線交于一點，且這一點到三角形三邊的距離相等。二、找全等三角形的方法（1）從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；（2）從已知出發(fā)，看可以確定哪兩個三角形全等；（3）從條件和結(jié)論綜合考慮，看能一同確定哪兩個三角形全等；（4）考慮輔助線，構(gòu)造全等三角形。三.全等三角形中幾個重要結(jié)論（1）全等三角形對應(yīng)角的平分線、中線、高分別相等（對應(yīng)元素都分別相等）（2）在一個三角形中，等邊對等角，反過來，等角對等邊；等腰三角形三線合一；等腰三角形頂角的外角等于底角的2倍；等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等；等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高；等腰三角形底邊延長線上任意一點到兩腰的距離之差等于一腰上的高。（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么，這條邊的對角等于90°；Rt/30°角的對邊等于斜邊的一半，反之，巳/中如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊的對角是30°。（4）三角形三內(nèi)角平分線交于一點（這點叫三角形的內(nèi)心，這點到三角形三邊的距離相等）三角形兩外角平分線與第三內(nèi)角平分線交于一點（這點叫三角形的旁心，這點到三角形三邊所在直線的距離相等），四個到三角形三邊所在直線等距離的點有

經(jīng)典例題例1.如圖：BE、CF相交于點D,DE，AC,DF，AB,垂足分別為E、F,且DE二DF。求證：AB二AC。舉一反三：例2.【變式1】如圖：BE,AC,CF,AB,BM=AC,CN=AB。求證：(1)AM=AN;(2)AM±ANO例3.【變式2】如圖：/BAC=90°,CE，BE,AB=AC,/ABE:/CBE,求證：BD=2EC。A例4.(啟航)已知：如圖，RtAABC中,AB±AC,AD±BC,BE平分/ABC,交AD于E,EFIIAC,求證:AB=BF例5.已知：如圖，ADIBC,AE平分/BAD,AE^BE;說明:AD+BC=AB.例6.在AABC中，/ACB=90°,AC=BC,過C作CD//AB交/ABC的平分線于點D,/ACB的平分線交BD于點E。(1)求證：BC=CD;(2)求證：BC+CE=AB

例7.如圖，在等腰三角形ABC中，CA=CB,ZACB=90°,點D、E是直線BC上兩點且CD=BE,過點C作CM^AE交AE于點M,交AB于點F,連接DF并延長交AE于點N..若AC=2,CD=1,求CM的值； D..求證：/D=/E. ：,\例&已知兩個全等的等腰直角△ABC、△DEF,其中/ACB=/DFE=90°,E為AB中點，線段DE,EF分別交線段CA,CB（或它們所在直線）于M、N.（1）如圖1所示放置，當(dāng)線段EF經(jīng)過AABC的頂點C時，點N與點C重合，線段DE交AC于M,求證：AM=MC；（2）如圖2所示放置，當(dāng)線段EF與線段BC邊交于N點，線段DE與線段AC交于M點，連MN，EC，請?zhí)骄緼M，MN，CN之間的等量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3所示放置，當(dāng)線段EF與BC延長線交于N點，線段DE與線段AC交于M點，連MN，EC，請猜想AM，MN，CN之間的等量關(guān)系，不必說明理由.例9。已知，在等腰RtABC中，ABC90,ABCB,D為直線AB上一點，連接CD,過C作CE CD,o且CECD，連接DE,交AC于F。（1）如圖1,當(dāng)0、8重合時，求證：EFBF。（2）如圖2，當(dāng)0在線段AB上，且DCB30時，請?zhí)骄緿F、EF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。0（3）如圖3在（2）的條件下，在FC上任取一點（3）如圖3在（2）的條件下，在FC上任取一點G，連接06,作射線GP使DGP60，交DFG的0角平分線于點Q，求證：FDFGFQ。例10。在RtAABC中，AC=BC,ZACB=90°,D是AC的中點，DG^AC交AB于點G.(1)如圖1,E為線段DC上任意一點，點F在線段DG上，且0￡=DF,連結(jié)EF與CF,過點F作FH^FC,交直線AB于點H.①求證：DG二DC ②判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明.(2)若E為線段DC的延長線上任意一點，點F在射線DG上，(1)中的其他條件不變，借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對全等三角形，并判斷你在⑴中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變，(本小題直接寫出結(jié)論，不必證明).圖1圖2三角形中常見輔助線的作法1、延長中線構(gòu)造全等三角形例1：如圖1,已知AABC中，AD是AABC的中線，AB=8,AC=6,求AD的取值范圍.第1題2、引平行線構(gòu)造全等三角形例2：如圖2,已知AABC中，AB=AC,D在AB上，E是AC延長線上一點，且：80b￡,DE與BC交于點F.求證：DF=EF.（提示：此題輔助線作法較多，如：①作DG//AE交BC于G;②作EH//BA交BC的延長線于出再通過證三角形全等得DF=EF.）第2題3、作連線構(gòu)造等腰三角形例3：如圖3,已知RTAACB中，ZC=90°,AC=BC,AD=AC,DE±AB,垂足為D,交BC于E.求證:BD=DE=CE.（提示：連結(jié)DC,證AECD是等腰三角形.）第3題4、利用翻折，構(gòu)造全等三角形.例4：如圖4,已知AABC中，/B=2/C,AD平分/BAC交BC于D.求證：A(3=48+80.提示：將AADB沿40翻折，使沿40翻折，使8點落在AC上點B，處，再證80=B'D=B'C,易得△ADBMAADB',AB，DC是等腰三角形，于是結(jié)論可證.第4題5、作三角形的中位線例5:如圖5,已知四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線交EF的延長線于點M、N.求證：NBME=/CNE.提示：連結(jié)AC并取中點0,再連結(jié)0￡、OF. 貝UOE//AB,OFIICD,故/1=/BME,/2=/CNE.、且0￡=0工故/1=/2,可得證.10綜合練習(xí)題1：（2014中考）如圖，已知AABC和AABD均為等腰直角三角形，/ACB=/BAD=90°,點P為邊AC上任意一點（點P不與A、C兩點重合），作PE^PB交AD于點E,交AB于點F.(1)求證：/AEP:/ABP.（2）猜想線段PB、PE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.（3）若P為AC延長線上任意一點（如圖②），PE交DA的延長線于點￡,其他條件不變，（2）中的結(jié)論是否成立？請證明你的結(jié)論.綜合練習(xí)題2:（2014中考）如圖，點E在AD上，AABC和ABDE都是等邊三角形.猜想：BD、CD、AD三條線段之間的關(guān)系，并說明理由.11

綜合練習(xí)題3:(2014中考)點P為線段AB的中點，分別過線段AB的端點4、8作直線l的垂線，垂足分別為點C、D,連接PC、PD.(1)當(dāng)直線l過線段AB的中點P,如圖1,猜想PC、PD的數(shù)量關(guān)系(直接寫出你的猜想)；(2)當(dāng)直線l過線段AB上的任一點，如圖2,猜想PC、PD的數(shù)量關(guān)系并加以證明；(3)當(dāng)直線l過線段AB的延長線上的任一點，按照題意畫出圖形，并判斷出^^的形狀(不必證明).過D過D點的直線GF交AC于F,交AC的平綜合練習(xí)題4：(2014中考)如圖，在AABC中，D是BC的中點,行線BG于G點，DE^GF,交AB于點￡,連接￡6.(1)求證：BG=CF;(2)請你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.12

綜合練習(xí)題5:(2014中考)如圖，已知NAD和ABCE均為等腰直角三角形，ZBAD=/BCE