九年級數(shù)學-三角函數(shù)與圓的綜合

第27講三角函數(shù)與圓的綜合知識導航.明確同弧所對的弦、圓周角和圓的半經(jīng)三者的關(guān)系：AB=2RsinC如圖所示兩種常用輔助線..三角函數(shù)值形式上是兩條線段的比值，往往可以轉(zhuǎn)化為兩個相似三角形的相似比.【板塊一】 求與圓有關(guān)的角的三角函數(shù)值方法技巧.將所求角轉(zhuǎn)化到直角三角形中；.利用相似比進行轉(zhuǎn)化。題型一遇斜三角形作垂線構(gòu)直角【例1】如圖，AB是。O的直徑，/ABT=45°,AT=AB，連接OT交。O于點C連接AC求tan/TAC的值.【解析】過點C作CD±TA于點D，設。O的半徑為r，則AT=AB=2r,：,OT=8r,TC=(v5-1)r，?：CD//OA,???△TCD^ATOA,.\CD=TC=TD，:.CD=5—^r,ADA=2^5r,Atan/TAC=CD=^5^1.OATOTA 5 5 DA2【例2】如圖，已知PA,PB分別與。O相切于點A,B,AC是。O的直徑，連接BC,PC,若PB=6,PC=10,求sin/PCB的值.【解析】連OP,AB，則OP±AB,BC±AB,：.OP〃BC,：?/PCB=ZOPC,過點O作OM±PC于點M,AsinZPCA=PA=—=3=OM,AOM=—，又OP=66242=2v13,AsinZPCB=sinZOPM=6^3.PC10 5 4 5 65【點評】當所求銳角不在直角三角形中時，常作參線構(gòu)造直角或利用等角特接求其三角函數(shù)值.題型二遇切線，連圓心切點構(gòu)直角【例3】如圖，BE,BC,CG分別與。O相切于E,F,G三點，且BE//CG,延長BO交CG的延長線于點D，連求求sinZCFG的值.【解析】易證OC±BD,OC±FG,AFG/BD,AZCFG=ZCBD,連接OF,則OF±BC,可證△CFG^ACFFG4CBD,A——=——=-,設CF=4%,BC=5%,ABF=%,易證OF2=BF?FC=4%2,AOF=2%,AOB=V5%,CBBD5TOC\o"1-5"\h\zOF2% 2v5..sinZCFG=sinZOBF== =.OB<5% 5【點評】注意等角轉(zhuǎn)換與等比轉(zhuǎn)換.題型三遇直徑，利用直徑構(gòu)直角【例4】如圖，在AABC中，ZC=90°,點D為BC的中點，以4c為直徑的。O^AB于點E，若A=1,求cosEB2

的值.Ap1的值.【解析】連接C￡.由——=-,可設A￡=%,EB=2x,易證上進△AC￡s^C5￡,得CE=A￡?5￡=2柒，，EB2ZBED=ZB,C￡=五％,：.BC=4bE~CEi=^6x,由N5￡C=90°,。是BC的中點可得。￡=3。,ZBED=ZB,題型四遇弧的中點，利用垂徑構(gòu)直角【例5】如圖，是5c的外角N￡CA的平分線，C。與過A,B,。三點的。。相交于點D.(1)求證：BD=AD;⑵若AB=CD,—=—,求sin/AC5的值。AC5【解析】（1）連接。A,DB,證：.BD=AD,：.BD=AD.（2）連接。。并延長交A5于點孔連接05,易證CLA3,貝必/=必，?.%〃一「「 -AC-m-AC-BT1-AB ,BF_痛?An——CD9??AC——tiU,??AC——HL）,?? ,?? ,BD5BD10OF=710,BD=410,：.DF=3>/10,設OB=OD=R,則=3而一H,在尸中，（癡）2+（3后一尺）2=型，：.R=^^~,3OB5BF3sinZACB=sinZBDA=smZBOF==—.OB5.如圖，。O為乙ABC的外接圓，AB=BC,若AC=2,BC=<10，求cosZCBO的值.解：延長BO交AC于點H,VAB=CB，二BH垂直平分CA,即ZCHB=90°,CH=1AC=1,在RtABCH中，BC=<10，,BH=\，BC2—CH2=3,TOC\o"1-5"\h\zBH3 3<10；.cosZCBO=cosZCBH= =—^== .BC<10 10.如圖，AB是。O的直徑，ZB=ZCAD.(1)求證：AC是的切線；(2)若點E是的BD中點，連接AE交BC于點/，當BD=5,CD=4時，求tanZFAD的值.解：(1)略；(2)易證△BDA^AADC,，AD2=BD-CD=4X5=20,二AD=2<5,二AC=v,AD2+CD2=6,VZBAE=ZDAE.AZBAE+ZB=ZDAE+ZCAD.即ZAFC=ZFAC,?二AC=FC=6,FD=FC—CD=2,，tanZFAD=FD= =—.AD2*-5 53.如圖，。O經(jīng)過ABCD的頂點A,D,C,邊AB與。O相切于點A,邊BC與。O相交于點E,(1)求證：AB=AE；(2)若AB=2,AD=J17，求sinZBAE的值.解：(1)略；(2)連接AO并延長交CD于點H,交。O于點F,連接EF,VAB是。O的切線，AZBAF=90°,VAB〃CD,AZAHD=90°,DH=1CD=1,AH=%'AD2-HD2=4,2連接OD,設OA=OD=r,AOH=4—r,Ar=(4一r)2+1,_8=1717 17 _8=17Ar=—,AAF=2r=—,AsinZBAE=sinZF==-py8 4 AF 17"44.如圖，在AABC中，ZBAE=90°，以AB為直徑的。O交AC于點D,E是BC的中點，連接DE交OC于OF25點F,若〒=—，求tanZCFE的值.CF32解：連接OE,OD,BD,易證BD±AC,OD±DE,OE〃AC,

???△OEFsACDF,：.OE=OF=H,DCCF32設OE=25,CD=32,則AC=2OE=50,AAD=18,又4ABD^AACB,AAB2=AD-AC=18X50,AAB=30,OD=AO=15,RtAABC中BC="02—302=40,AED=EB=20,32640???DF=RtAABC中BC="02—302=40,AED=EB=20,32640???DF=一X20=——,AtanZCFE=tanZOFD=57 57DF=CF=32EFOF25,OD15 171DF640 128DF=32D57,575.過。O外一點P作PB,PC切。O于B,C兩點，直徑BA的延長線交PC的延長線于點D,且DA=AB，連接PA交。O于點E,(1)求tanZACD的值；(2)求tanZPAC的值.解：(1)連接BC,設的半徑為r,=2v'2r,tanZACD=tanZABC=證ZDCA=ZABC,得△DCA^ADBC,ACD2=DA?DB=8r2,ACDACAD 2r <2BCCD2V2r2'(2)連接BE,OP,由tanZABC=—；=,OP交BC于點H,BC交AP于點G,易證AC〃OP,可設AC=2,BC=2\；2，則CH=BH=1BC=\；2,BH1由tanZBPO=tanZABC= =—；=,APH=2,PH\：2CGAC由^ACGsAPHG,得 =GHPH豆—CG 2 Y2AtanZPAC== =-■-.AC 2 4=「.CG=GH==,2【版塊二】已知三角函數(shù)值求其他值方法技巧利用已知三角函數(shù)值得線段比值，設參數(shù)，求其他值.題型一已知一個角的三角函數(shù)值，求另一個教的三角函數(shù)值3例1.如圖，已知AB是。O的直徑，弦CD與直徑AB相交于點F,且ZBAC=30°,cosZBAD=:，求sin4ZAFD的值.CH解析：過點F作FM±BC于M，過點B作BH±CF于H,VcosZBCH=cosZBAD=-BCCM=~CF'21設CM=3a,CF=4a,AFM=、門a，又?//ABC=60°,ABM=~^~a,BF=2<21~3~a,(9v,7+(9v,7+7<3) 77； a，12由面積法：BC?FM=FC?BH,.\(—^~a+3a)??門a=4a?BH,??BH=BH 3、；3+、；7??sinZAFD=sinZBFH= = BF8點評：求垂線段常用面積法，要充分利用已知角去求未知角的三角函數(shù)值題型二已知三角函數(shù)值，求線段長3,、一一一例2.如圖，△ABC內(nèi)接于。O,AB=AC,BC=6,CO的延長線父AB于D,sinZBAC=5,求AC和CD的長.，1解：延長AO交BC于點E，延長CD交。O于點F,則CE=-BC=3,TOC\o"1-5"\h\z3 CE3又?「sinZCOE=sinZBAC=一，二——=一，?CO=5,OE=4,5 CO5廠”廠底 ODAO5 25 90?AC=v'AE2+CE2=3<10，又：BF〃AE，所以——=——=—,?OD=一,?CD=一.DFBF8 13 13題型三已知三角函數(shù)值，求線段比例3.如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作。O,0O與BC邊的交點D恰好為BC的中點，過點D作DE±ACOF于點E，連接OC交DE于點F,若sinZABC=:，求丫的值.FCOFOD解析：連接AD,OD,OOD//AC,?——=——,VAB是。O的直徑，，ZADB=ZADC=90°,，sinZFCECAD3ABC= =—，設AD=3x,AB=4x,易證：AC=AB=4x,OD=2x.AB49 7 OF OD 2x 8ODE±AC,.△ADCMAED,.AD2=AE?AC,?AE=—x,EC=-x,?——=——=與一=一4 4 FC EC 7x 74題型四已知三角函數(shù)，求三角形面積或周長例4.如圖，AC是。O的直徑，B,E是。O上兩點，AE與BC交于點F,且△BEF的面積為10,cosZBFA=23，求A4CF的面積.皿 BF2解析：連接AB，則ZABC=90°,.cosZBFA= =—，易證△BEF^^ACF,AF3SBF2 4 9 45?S^=（AF）2=（3）2=9,?S△ac=4><10=耳?△ACF1.如圖，在A4BC中，AB=AC,以AB為直徑的。O與邊BC,AC,分別交于D,E兩點，過點D作DF±AC

于點F,若1.如圖，在A4BC中，AB=AC,1 AG2中，AG=—AE=2,cosA= =一2 AO5解：連接OD,作OG±1 AG2中，AG=—AE=2,cosA= =一2 AO5???AO=5,?'.OG=OA2^2—AG2=\.'52—22=<21，,DF=OG=.如圖，aBC內(nèi)接于。O,ZBAC的平分線AD交。O于點D，過點D作DF//BC,交AB的延長線于點F,3若AB為。O的直徑，tanZF=：,求sinZCAD的值.43解：連接BD,OD,易證：OD±DF,「tanZF=:，設OD=3m(m>0),則DF=4m,OF=5m,4DAAF8mTOC\o"1-5"\h\zAAF=8m，：ZFAD=ZFDB,ZE=ZF,/.△AFDs△DFB,A——= =一=2,BDDF4m設DA=2n(n>0),則BD=n,AAB=<5n.BD n <5「BD=CD,，zBAD=ZCAD,AsinZCAD=sinZBAD= =^^=—\o"CurrentDocument"AB5nn 5.如圖，。O為^ABC的外接圓，點I為^ABC的內(nèi)心，AI的延長線交。O于點D,交BC于點E,OO的半4徑為5,當sinZBAC=5，且OI±AD時，求△ABC的周長.? 1解：連接BD,CD.BC=2RsinZBAC=2X5X.=8.因OI±AD,易證：AI=ID=BD=CD=-AD,易證△J 乙ABAD(BE+CE)=2BC,△ABCAD交。O于點E，連接BEDBEs^DAB(BE+CE)=2BC,△ABCAD交。O于點E，連接B