全等三角形的性質(zhì)及應用（測試）

專題03全等三角形的性質(zhì)及應用專題測試學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題1．（2018秋?西湖區(qū)校級月考）如圖，點F、A、D、C在同一直線上，△ABC≌△DEF，DF＝4，則AC等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【點撥】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC＝DF，即可得出選項．【解析】解：∵△ABC≌△DEF，DF＝4，∴AC＝DF＝4，故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，能熟記全等三角形的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關鍵，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．2．（2019春?臨安區(qū)期中）如圖，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，則∠BCA′的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．50°【點撥】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角的和差即可得到結論．【解析】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′＝∠ACB＝70°，∵∠ACB′＝100°，∴∠BCB′＝∠ACB′﹣∠ACB＝30°，∴∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝40°，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2018秋?紹興期末）如圖，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，點A，D，E在同一條直線上，∠ACB＝20°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．55° B．60° C．65° D．70°【點撥】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可．【解析】解：∵，△ABC≌△EDC．∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°，∵點A，D，E在同一條直線上，∴∠ADC+∠EDC＝180°，∵∠EDC+∠E+∠DCE＝180°，∴∠ADC＝∠E+20°，∵∠ACE＝90°，AC＝CE∴∠DAC+∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45°在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，即45°+70°+∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝65°，故選：C．【點睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答．4．（2018秋?西湖區(qū)校級月考）如圖所示，△ABE≌△ADC≌△ABC，若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，則∠α的度數(shù)為（）A．80° B．100° C．60° D．45°【點撥】設∠1、∠2、∠3分別為28x、5x、3x，三角形內(nèi)角和定理列出方程，分別求出∠1、∠2、∠3的度數(shù)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解析】解：設∠1、∠2、∠3分別為28x、5x、3x，由三角形內(nèi)角和定理得，28x+5x+3x＝180°，解得，x＝5°，則∠1、∠2、∠3分別為140°、25°、15°，由翻折變換的性質(zhì)可知，∠EAC＝360°﹣∠1﹣∠BAE＝80°，∠E＝∠3＝∠DCA，∠a＝∠EAC＝80°，故選：A．【點睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握翻折變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵．5．（2019?湖州）如圖，已知在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，則四邊形ABCD的面積是（）A．24 B．30 C．36 D．42【點撥】過D作DH⊥AB交BA的延長線于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH＝CD＝4，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論．【解析】解：過D作DH⊥AB交BA的延長線于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四邊形ABCD的面積＝S△ABD+S△BCD＝AB?DH+BC?CD＝×6×4+×9×4＝30，故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵．6．（2019秋?臺州期中）如圖，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若CD＝4，則AD的長為（）A．2 B．3 C．4 【點撥】作DE⊥BC于E，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答．【解析】解：作DE⊥BC于E，∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，∴DE＝CD＝2，∵BD平分∠ABC，∠CAB＝90°，DE⊥BC，∴AD＝DE＝2，故選：A．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．7．（2019秋?龍灣區(qū)期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，DE是AC邊的中垂線，分別交AC，AB于點E，D，則△DBC的周長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【點撥】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DC，根據(jù)三角形的周長公式計算即可．【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵DE是AC邊的中垂線，∴DA＝DC，△DBC的周長＝BD+CD+BC＝BD+AD+BC＝5+3＝8，故選：C．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．8．（2019?諸城市二模）如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M，N；②作直線MN交AB于點D，連接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．90° B．95° C．100° D．105°【點撥】由CD＝AC，∠A＝50°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可求得∠ADC的度數(shù)，又由題意可得：MN是BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得：CD＝BD，則可求得∠B的度數(shù)，繼而求得答案．【解析】解：∵CD＝AC，∠A＝50°，∴∠ADC＝∠A＝50°，根據(jù)題意得：MN是BC的垂直平分線，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B，∴∠B＝∠ADC＝25°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故選：D．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．9．（2018秋?蒼南縣期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜邊AB的中垂線DE分別交BC，AB于點D，E．已知BD＝5，CD＝3，則AC的長為（）A．8 B．4 C． D．2【點撥】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理即可得到結論．【解析】解：∵斜邊AB的中垂線DE分別交BC，AB于點D，E，∴AD＝BD＝5，∵CD＝3，∴AC＝＝4，故選：B．【點睛】本題考查的是勾股定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．10．（2018秋?長興縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB于點E，則下列結論：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC＝4BE，則S△ABC＝8S△BDE．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【點撥】根據(jù)題中條件，結合圖形及角平分線的性質(zhì)得到結論，與各選項進行比對，排除錯誤答案，選出正確的結果．【解析】解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠C＝∠E＝90°，∵AD＝AD，∴△DAC≌△DAE（AAS），∴∠CDA＝∠EDA，∴①AD平分∠CDE正確；無法證明∠BDE＝60°，∴③DE平分∠ADB錯誤；∵BE+AE＝AB，AE＝AC，∵AC＝4BE，∴AB＝5BE，AE＝4BE，∴S△ADB＝5S△BDE，S△ADC＝4S△BDE，∴S△ABC＝9S△BDE，∴④錯誤；∵∠BDE＝90°﹣∠B，∠BAC＝90°﹣∠B，∴∠BDE＝∠BAC，∴②∠BAC＝∠BDE正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，是一道結論開放性題目，考查了學生利用角平分線的性質(zhì)解決問題的能力，有利于培養(yǎng)發(fā)散思維能力．二、填空題11．（2019秋?蒼南縣期中）如圖，已知△ABC≌△DEF，A和D是對應頂點，若∠A＝80°，∠B＝65°，則∠F＝35°．【點撥】利用三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠F＝∠ACB＝35°．【解析】解：∵∠A＝80°，∠B＝65°，∴∠ACB＝180°﹣80°﹣65°＝35°，∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB＝35°，故答案為：＝35．【點睛】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，關鍵是掌握全等三角形的對應角相等．12．（2017秋?嵊州市期末）如圖，已知△ABC≌△EDF，點F，A，D在同一條直線上，AD是∠BAC的平分線，∠EDA＝30°，∠E＝70°，則∠ADC的度數(shù)是65°．【點撥】由全等三角形的性質(zhì)可求得∠B和∠BAC的度數(shù)，由角平分線可求得∠BAD的度數(shù)，利用三角形的外角可求得∠ADC的度數(shù)．【解析】解：∵△ABC≌△EDF，∴∠B＝∠EDA＝30°，∠BAC＝∠E＝70°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠BAC＝35°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°+35°＝65°，故答案為：65°．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵，即對應角相等、對應邊相等．13．（2019秋?慈溪市期中）如圖，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，若S△ABC＝12，DF＝2，AC＝5，則AB的長是7．【點撥】依據(jù)角平分線的定義即可求出DE的值，代入三角形面積公式得出關于AB的方程，求出AB即可．【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝2，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴12＝×AB×DE+×AC×DF，即24＝AB×2+5×2，∴AB＝7，故答案為：7．【點睛】本題考查了角平分線性質(zhì)，三角形的面積的應用，解題時注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．14．（2019秋?諸暨市期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝110°，EF，MN分別為AB，AC的垂直平分線，則∠FAN＝40°．【點撥】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C的度數(shù)，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到FA＝FB，NA＝NC，得到∠BAF＝∠B，∠CAN＝∠C，進而得出結論．【解析】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，∵EF，MN分別為AB，AC的垂直平分線，∴FA＝FB，NA＝NC，∴∠BAF＝∠B，∠CAN＝∠C，∴∠BAF+∠CAN＝70°，∴∠FAN＝∠BAC﹣（∠BAF+∠CAN）＝110°﹣70°＝40°，故答案為：40°．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．15．（2018秋?江干區(qū)期末）在平面直角坐標系中，已知A（2，3），B（﹣1，3），C（0，5），若△CAB與△DBA全等，則點D的坐標為（0，1）或（1，1）或（1，5）．【點撥】根據(jù)題意畫出符合條件的圖形，根據(jù)圖形結合A、B、C的坐標即可得出答案．【解析】解：如圖所示，共有3個符合條件的點，∵△CAB與△DBA全等，∴AB＝AB，BC＝AD或BC＝BD，∵A（2，3），B（﹣1，3），C（0，5），∴D1的坐標是（0，1），或（1，1）或（1，5）．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和坐標與圖形性質(zhì)，注意要進行分類討論，能求出符合條件的所有情況是解此題的關鍵．16．（2019秋?鄞州區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，過點G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點G作GD⊥AC于D，下列三個結論：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③點G到△ABC各邊的距離相等；其中正確的結論有①②③（填序號）【點撥】根據(jù)角平分線的定義得出∠EBG＝∠CBG，∠FCG＝∠BCG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EGB＝∠GBC，∠FGC＝∠BCG，求出∠EGB＝∠EBG，∠FCG＝∠FGC，根據(jù)等腰三角形的判定得出BE＝EG，F(xiàn)G＝CF，即可判斷①；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出②即可；根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出③即可．【解析】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，∴∠EBG＝∠CBG，∠FCG＝∠BCG，∵EF∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠FGC＝∠BCG，∴∠EGB＝∠EBG，∠FCG＝∠FGC，∴BE＝EG，F(xiàn)G＝CF，∴EF＝EG+FG＝BE+CF，故①正確；∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，∴∠CBG＝ABC，∠BCG＝，∴∠GBC+∠GCB＝+ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣A，∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（90°﹣A）＝90°+A，故②正確；過G作GQ⊥AB于Q，GW⊥BC于W，∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，GD⊥AC，∴GQ＝GW，GW＝GD，∴GQ＝GW＝GD，即點G到△ABC各邊的距離相等，故③正確；故答案為：①②③．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵．三、解答題17．（2019秋?椒江區(qū)校級月考）如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長線分別交AD，DE于點F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度數(shù)．【點撥】先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，則可計算出∠BAC＝55°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝90°，∠DGB＝65°．【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠EAB＝120°，∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，∵∠CAD＝10°，∴∠BAC＝（120°﹣10°）＝55°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝65°+25°＝90°；∵∠DFB＝∠D+∠DGB，∴∠DGB＝90°﹣25°＝65°．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應用時要會找對應角和對應邊．18．（2019秋?慈溪市期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，邊AB的垂直平分線交AB、AC分別于點D，點E，連結BE．（1）若∠A＝40°，求∠CBE的度數(shù)．（2）若AB＝10，BC＝6，求△BCE的面積．【點撥】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CBA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BE＝AE，得到∠EBA＝∠A＝40°，結合圖形計算即可；（2）根據(jù)勾股定理求出AC，設CE＝x，根據(jù)勾股定理列式求出x，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【解析】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠CBA＝50°，∵DE是AB的垂直平分線∴BE＝AE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠CBE＝∠CBA﹣∠EBA＝10°；（2）∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，設CE＝x，則AE＝BE＝8﹣x∴62+x2＝（8﹣x）2，解得：，∴△BCE的面積為．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．19．（2018秋?奉化區(qū)期末）如圖，已知AC∥BD，AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA，點E在線段CD上．（1）求∠AEB的度數(shù)；（2）求證：CE＝DE．【點撥】（1）由平行線得到∠CAB+∠ABD＝180°，根據(jù)角平分線定義表示出∠EAB、∠EBA，計算這兩個的和，便可求∠AEB度數(shù)；（2）在AB上截取AF＝AC，連接EF，分別證明△ACE≌△AFE，△DEB≌△FEB，借助CE＝EF，DE＝EF，可證CE＝DE．【解析】解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB．同理可得∠EBA＝∠ABD．∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°；（2）如圖，在AB上截取AF＝AC，連接EF，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS）．∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠DEB＝∠FEB．在△DEB和△FEB中∴△DEB≌△FEB（ASA）．∴ED＝EF．∴ED＝CE．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義以及全等三角形的判定和性質(zhì)．20．（2019秋?蒼南縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，GE垂直平分線段AC交AC于點G，交BC于點E，在射線EG上取一點D，使得DE＝AC，過點D作DF⊥BC，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△EFD；（2）若AB＝5，DF＝12，求BE的長．【點撥】（1）證出∠D＝∠C，由AAS即可得出△ABC≌△EFD；（2）連接AE，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝CE，由全等三