直線的方程（七大考點(diǎn)）

直線的方程1.掌握直線方程的點(diǎn)斜式和斜截式,并會(huì)用它們求直線的方程.2.會(huì)用直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程解決直線的平行與垂直問題.3.掌握直線方程的兩點(diǎn)式、斜截式和一般式,并會(huì)熟練應(yīng)用.4.會(huì)選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问角笾本€方程.5.掌握一般式與其他形式的互化.一、直線的點(diǎn)斜式方程1．點(diǎn)斜式方程的推導(dǎo)如圖,直線l經(jīng)過點(diǎn),且斜率為k.設(shè)為直線l上不同于點(diǎn)P0的任意一點(diǎn),因?yàn)橹本€l的斜率為k,由斜率公式得,即．2．直線的點(diǎn)斜式方程方程由直線上一定點(diǎn)及該直線的斜率k確定,我們把它叫做直線的點(diǎn)斜式方程,簡稱點(diǎn)斜式．（1）當(dāng)直線l的傾斜角為0°時(shí),,即k=0,這時(shí)直線l與x軸平行或重合,直線l的方程是,即（2）當(dāng)直線l的傾斜角為90°時(shí),由于無意義,直線沒有斜率,這時(shí)直線l與y軸平行或重合,它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．又因?yàn)檫@時(shí)直線l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x0,所以它的方程是或.二、直線的斜截式方程1．斜截式方程的推導(dǎo)如圖,如果斜率為k的直線l過點(diǎn),這時(shí)P0是直線l與y軸的交點(diǎn),代入直線的點(diǎn)斜式方程,得,即.2．直線的斜截式方程我們把直線l與y軸的交點(diǎn)(0,b)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距．這樣,方程y=kx+b由直線的斜率k與它在y軸上的截距b確定,我們把方程叫做直線的斜截式方程,簡稱斜截式．其中,k和b均有明顯的幾何意義：k是直線的斜率,b是直線在y軸上的截距．三、直線的兩點(diǎn)式方程當(dāng)時(shí),經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率.任取中的一點(diǎn),例如,取點(diǎn),由直線的點(diǎn)斜式方程,得,當(dāng)時(shí),上式可寫為，這就是經(jīng)過兩點(diǎn)(其中)的直線的方程,我們把它叫做直線的兩點(diǎn)式方程,簡稱兩點(diǎn)式．四、直線的截距式方程已知直線l與x軸的交點(diǎn)為,與y軸的交點(diǎn)為,其中,則由直線的兩點(diǎn)式方程可以得到直線l的方程為我們把直線l與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)a叫做直線在x軸上的截距,此時(shí)直線在y軸上的截距是b.方程由直線l在兩條坐標(biāo)軸上的截距a與b確定,我們把方程叫做直線的截距式方程,簡稱截距式．五、直線的一般式方程關(guān)于的二元一次方程都表示一條直線．我們把關(guān)于的二元一次方程(其中不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式．六、直線方程的一般式與斜截式、截距式的互化一般式斜截式截距式(其中不同時(shí)為0)考點(diǎn)01點(diǎn)斜式方程1．若光線沿傾斜角為的直線射向軸上的點(diǎn)，經(jīng)軸反射，則反射直線的點(diǎn)斜式方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意先寫出反射光線的傾斜角和斜率，再應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線的方程即可.【詳解】光線沿傾斜角為的直線射向軸上經(jīng)軸反射，則反射直線的傾斜角為,反射光線斜率為,且反射光線過點(diǎn),這反射光線所在直線方程為點(diǎn)斜式方程是.故選:B.2．直線l的斜率為方程的根，且在y軸上的截距為5，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依題意，由點(diǎn)斜式寫出直線的方程.【詳解】由題意，方程的根為1，所以，直線l的方程為.故選：C.3．已知直線的方程是，則（）A．直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為-1 B．直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為-1C．直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為-1 D．直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為1【答案】C【分析】將直線的方程化為點(diǎn)斜式方程的形式，即可得出答案.【詳解】根據(jù)已知可得出直線的點(diǎn)斜式方程為，所以，直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為-1.故選：C.4．求經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角是直線傾斜角的2倍的直線的點(diǎn)斜式方程．【答案】【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)斜式方程求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以該直線傾斜角為，所以所求直線的傾斜角為，其斜率為，所以所求直線的點(diǎn)斜式方程為．5．已知直線與直線和的交點(diǎn)分別為，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為.【答案】【分析】設(shè)，由中點(diǎn)公式列出方程組，求得，進(jìn)而求得直線的斜率為，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線和的交點(diǎn)分別為，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式可得，解得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.故答案為：.6．已知在第一象限的中，，，，，求直線BC的點(diǎn)斜式方程.【答案】【分析】結(jié)合圖象求出直線斜率，代入點(diǎn)斜式方程求解即可.【詳解】如圖：

因?yàn)?，所以，故直線BC的點(diǎn)斜式方程為.7．已知、在直線上.(1)求直線的方程；(2)若直線傾斜角是直線傾斜角的2倍，且與的交點(diǎn)在軸上，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出直線方程；（2）設(shè)直線的傾斜角為，則，利用二倍角公式求出，再求出直線與軸的交點(diǎn)，再由斜截式得到直線的方程.【詳解】（1）因?yàn)?、在直線上，所以，所以直線的方程為，即.（2）設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，所以直線的斜率，對(duì)于，令得，即直線與軸交于點(diǎn)，所以直線的方程為.考點(diǎn)02兩點(diǎn)式方程8．過兩點(diǎn)，的直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由兩點(diǎn)式得出直線方程，令，即可解出直線在軸上的截距.【詳解】過兩點(diǎn)，的直線的為，令，解得：，故選：A.9．經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線方程是.【答案】【分析】根據(jù)直線的兩點(diǎn)式即可求解.【詳解】根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程得，整理得.故答案為：10．經(jīng)過點(diǎn)，的直線在軸上的截距為．【答案】27【分析】先求得經(jīng)過兩點(diǎn)和的直線方程，然后求得橫截距.【詳解】經(jīng)過兩點(diǎn)和的直線方程為，即，令，得.故答案為：27.11．在中,,則邊上的中線所在的直線的一般方程為.【答案】【分析】邊上的中線過的中點(diǎn)及點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo),求出中點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo),用兩點(diǎn)式即可求出方程.【詳解】解:由題知,,故的中點(diǎn)坐標(biāo)為:,因?yàn)?所以邊上的中線所在的直線為:,即:.故答案為:12．已知三角形三頂點(diǎn)，求：(1)邊上的高所在的直線方程；(2)邊的中線所在的直線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)高與所在邊垂直關(guān)系求斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線方程；（2）中點(diǎn)公式寫出中點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)式寫出中線所在直線方程.【詳解】（1）邊所在直線的斜率為，邊上的高所在的直線的斜率為2.邊上的高所在的直線方程為，即.（2）易知邊的中點(diǎn)為，則邊的中線過點(diǎn)和.所以邊的中線所在直線方程為，即.13．在中，，B，C兩點(diǎn)分別在x軸與y軸上，且直線在y軸上的截距為1，直線的傾斜角為.求：(1)直線的方程；(2)的面積S.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線，點(diǎn)斜式求直線；（2）由（1）得、、，進(jìn)而可得的面積，即可求結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)橹本€在y軸上的截距為1，所以其過點(diǎn)，所以直線的方程為：，化簡得.由已知直線的斜率為：，所以直線的方程為：，化簡得.（2）由（1）知：直線為，令，得，故.直線為，令，得，故，所以.考點(diǎn)03截距式方程14．過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線有（

）A．4條 B．2條 C．3條 D．1條【答案】C【分析】考慮截距為0，截距相等且不為0，截距互為相反數(shù)且不為0，求出相應(yīng)的方程，得到答案.【詳解】當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入，求得，故方程為；當(dāng)截距不為0時(shí)，①截距相等時(shí)，設(shè)方程為，將代入，即，解得：，故方程為；②截距互為相反數(shù)時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入，即，解得：，故方程為；一條是截距為0，一條是截距相等(不為0)，一條是截距互為相反數(shù)(不為0)，共3條.故選：C15．過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分直線過點(diǎn)和直線不過點(diǎn)兩種情況求解即可.【詳解】當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線為，則，得，所以直線方程為，即；當(dāng)直線不過點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線方程為（），把代入，解得，所以直線方程為.綜上可知，直線方程為或.故選：C16．已知、，則在軸上的截距是，且經(jīng)過線段中點(diǎn)的直線方程為．【答案】【分析】求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用截距式可得出所求直線的方程.【詳解】因?yàn)?、，則線段的中點(diǎn)為，又因?yàn)樗笾本€在軸上的截距為，故所求直線方程為，即.故答案為：.17．求經(jīng)過點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為的直線的方程.【答案】或【分析】依題意設(shè)所求直線的方程為，即可得到方程組，解得、，即可得解.【詳解】由題意知，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零，故可設(shè)所求直線的方程為，由已知可得，解得或，所以或，故直線的方程為或．18．過點(diǎn)(5，0)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之差為2的直線方程是.【答案】=1或=1【分析】設(shè)直線的方程為，根據(jù)條件先求a,再列方程求解即可.【詳解】設(shè)直線的方程為=1，點(diǎn)在直線上，∴.由得或，∴所求直線的方程為=1或=1.故答案為:或.19．已知直線l的傾斜角為銳角，并且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，周長為12，求直線l的方程．【答案】直線l的方程為或或或．【分析】設(shè)直線的截距，根據(jù)題意列式求解，再利用直線的截距式方程運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)直線l在x，y的截距分別為，由題意可得，解得或，又因?yàn)橹本€l的傾斜角為銳角，則直線l的斜率，即，可得或或或，所以直線l的方程為或或或20．已知直線l過定點(diǎn)．(1)當(dāng)直線l的傾斜角是直線的傾斜角的二倍時(shí)，求直線l方程．(2)當(dāng)直線l與x軸正半軸交于A點(diǎn)、y軸正半軸交于B點(diǎn)，且的面積為12時(shí)，求直線l的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知直線斜率可求得其傾斜角，由此可得所求直線的傾斜角和斜率，利用點(diǎn)斜式即可整理得到直線方程；（2）設(shè)直線方程的截距式方程,由直線過點(diǎn)(2，3)及的面積列方程組求得兩截距.【詳解】（1）直線的斜率為，則該直線的傾斜角為，又所求的直線傾斜角為時(shí)，它的斜率為，所以所求直線方程為，即：；（2）設(shè)直線方程為：，則

①；∴的面積為

②，由①②解得：；所以所求的直線方程為即．考點(diǎn)04一般式方程21．直線的傾斜角等于（

）A． B． C． D．不存在【答案】B【分析】設(shè)直線的傾斜角為，求出即得解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由題得，所以直線的斜率，因?yàn)?，所?故選：B22．已知直線經(jīng)過第一、二、四三個(gè)象限，則（

）A．若，則， B．若，則，C．若，則， D．若，則，【答案】D【分析】根據(jù)直線所過象限得到，從而進(jìn)行判斷.【詳解】經(jīng)過第一、二、四三個(gè)象限，則，故變形為，故，則同號(hào)，異號(hào)，若，則，若，則，D選項(xiàng)正確，其他三個(gè)選項(xiàng)均錯(cuò)誤.故選：D23．對(duì)于直線，下列選項(xiàng)正確的為（

）A．直線l傾斜角為 B．直線l在y軸上的截距為C．直線l不過第二象限 D．直線l過點(diǎn)【答案】C【分析】將直線的一般方程化成斜截式方程即可得直線斜率和在y軸上的截距，可判斷AB；畫出直線的圖象可判斷C，將點(diǎn)代入直線方程可判斷D.【詳解】將直線改寫成斜截式方程為由斜截式方程的幾何意義可知，斜率為，所以直線傾斜角滿足，即，故A錯(cuò)誤；易知，直線l在y軸上的截距為，所以B錯(cuò)誤；畫出直線l的圖象如下：由圖象可知，直線l不過第二象限，故C正確；將點(diǎn)代入直線方程得，所以直線l不過點(diǎn)，即D錯(cuò)誤.故選：C.24．已知點(diǎn)，則直線的一般式方程為.【答案】【分析】利用點(diǎn)斜式求出直線方程，再化為一般式即可.【詳解】，則直線的方程為，即.故答案為：.25．過點(diǎn)且與直線成角的直線方程是．【答案】或【分析】首先將直線方程化為斜截式，即可求出直線的斜率與傾斜角，從而求出所求直線的傾斜角，即可得到所求直線的斜率，即可得解.【詳解】解：直線，即，所以直線的斜率，則直線的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為或，所以所求直線的斜率不存在或，又直線過點(diǎn)，所以所求直線方程為或，故答案為：或.26．如果直線的傾斜角為，那么的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的之間的關(guān)系，結(jié)合余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可,【詳解】由，所以該直線的斜率為，因?yàn)?，所以，或，故答案為?7．設(shè)直線l的方程為（），若直線l的斜率為，則；若直線l在x軸、y軸上的截距之和等于0，則.【答案】51【分析】將一般式化為斜截式以及截距式即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€l的斜率存在，所以直線l的方程可化為，由題意得，解得.直線l的方程可以化為，由題意得，解得.故答案為：5，1考點(diǎn)05直線的定點(diǎn)問題28．不論k為任何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直線方程即，一定經(jīng)過和的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組可求定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】直線即，根據(jù)的任意性可得，解得，不論取什么實(shí)數(shù)時(shí)，直線都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．故選：B29．無論取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將直線方程可化為，再解方程組即可.【詳解】直線方程可化為，解方程組，得，即定點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.30．若直線恒過點(diǎn)A，點(diǎn)A也在直線上，其中均為正數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)直線的定點(diǎn)可得，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，令，解得，即直線恒過點(diǎn).又因?yàn)辄c(diǎn)A也在直線上，則，可得，且，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立所以的最大值為.故選：B.31．已知直線過定點(diǎn)A，直線過定點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則．【答案】13【分析】根據(jù)題意求點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合垂直關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于直線，即，令，則，則，可得直線過定點(diǎn)，對(duì)于直線，即，令，則，則，可得直線過定點(diǎn)，因?yàn)?，則，即，所以.故答案為：13.

32．已知實(shí)數(shù)滿足，則直線過定點(diǎn).【答案】【分析】根據(jù)題意化簡直線方程為，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解】由實(shí)數(shù)滿足，可得,代入直線方程，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以直線過定點(diǎn).故答案為：.33．已知點(diǎn)，若直線與的延長線（有方向）相交，則的取值范圍為．【答案】【分析】先求出的斜率，再利用數(shù)形結(jié)合思想，分情況討論出直線的幾種特殊情況，綜合即可得到答案.【詳解】如下圖所示，

由題知，直線過點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線化為，一定與相交，所以，當(dāng)時(shí)，，考慮直線的兩個(gè)極限位置.①經(jīng)過，即直線，則；②與直線平行，即直線，則，因?yàn)橹本€與的延長線相交，所以，解得，所以.故答案為：.34．已知直線.求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限.【答案】證明見解析【分析】方法一：將方程整理成點(diǎn)斜式，從而可求出直線過的定點(diǎn)在第一象限，進(jìn)而可證得結(jié)論；方法二：直線l的方程可化為，從而可求出直線過的定點(diǎn)在第一象限，進(jìn)而可證得結(jié)論.【詳解】方法一：將直線l的方程整理為，∴l(xiāng)的斜率為a，且過定點(diǎn)，而點(diǎn)在第一象限（如圖），故不論a為何值，l恒過第一象限.

方法二：直線l的方程可化為.要使上式對(duì)任意的a總成立，必有，即即l過定點(diǎn)，而點(diǎn)在第一象限（如圖），故不論a為何值，l恒過第一象限.

考點(diǎn)06直線圖象的辨析35．已知，，則下列直線的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線斜率與軸上的截距的關(guān)系判斷選項(xiàng)即可得解.【詳解】，直線的方程在軸上的截距不小于2，且當(dāng)時(shí)，軸上的截距為2，故D正確，當(dāng)時(shí)，,故B不正確，當(dāng)時(shí)，或，由圖象知AC正確.故選：B36．直線l1：y＝ax＋b與直線l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象只可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線的斜率和縱截距的正負(fù)進(jìn)行判斷．【詳解】對(duì)B，斜率為正，在軸上的截距也為正，故不可能有斜率為負(fù)的情況.故B錯(cuò).當(dāng)時(shí)，和斜率均為正，且截距均為正.僅D選項(xiàng)滿足.故選：D37．兩直線與的圖象可能是圖中的哪一個(gè)（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)兩直線斜率符號(hào)相同可得出合適的選項(xiàng).【詳解】直線的斜率為，直線的斜率為，所以，直線與直線斜率的符號(hào)相同，故只有B選項(xiàng)合乎題意.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了直線圖象的識(shí)別，一般從斜率和截距來進(jìn)行分析，屬于基礎(chǔ)題.38．方程表示的直線可能是A． B． C． D．【答案】C【解析】分和兩種情況討論，即得答案.【詳解】由題意，排除.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與軸的交點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，排除.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，排除，選.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查由直線方程識(shí)別圖象，考查分類討論，屬于基礎(chǔ)題.考點(diǎn)07由直線的位置關(guān)系求方程39．已知直線和，則（

）A．和可能重合B．和不可能垂直C．和可能平行D．在上存在一點(diǎn)，使得以為中心旋轉(zhuǎn)后與重合【答案】D【分析】根據(jù)可得A，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，B錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)是直線和的交點(diǎn)時(shí)，以為中心旋轉(zhuǎn)后可以與重合，可得D正確．【詳解】由題意得：所以直線和不可能平行或重合，故A，C錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，直線和垂直，故B錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)是直線和的交點(diǎn)時(shí)，以為中心旋轉(zhuǎn)后可以與重合，故D正確．故選：D40．直線和直線平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．2或 C．3 D．或3【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行的必要條件列方程求，注意去除兩直線重合的情形即可得．【詳解】因?yàn)橹本€和直線平行，所以，解得或，時(shí)，兩直線直線方程分別為，，兩直線平行．時(shí)，兩直線方程都是，兩直線重合，舍去，∴．故選：C．41．已知直線l與直線垂直，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線l的方程為．【答案】【分析】根據(jù)直線l與直線垂直，設(shè)其方程為，代入點(diǎn)可得答案.【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)橹本€l與直線垂直，設(shè)l的方程為，又由直線l經(jīng)過點(diǎn)，則有，解可得，故直線l的方程為.故答案為：．42．求滿足下列條件的直線方程．(1)直線過點(diǎn)，且與直線平行；(2)直線過點(diǎn)，且與直線垂直．【答案】(1)(2)．【分析】（1）設(shè)所求直線的方程為，將點(diǎn)代入，求得的值，即可求解；（2）設(shè)所求直線的方程為，將點(diǎn)代入，求得的值，即可求解；【詳解】（1）解：由題意，可設(shè)所求直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，可得，解得，故所求直線的方程為；（2）解：由題意，可設(shè)所求直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得，故所求直線的方程為．43．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，.(1)求邊上的高所在直線的方程；(2)求邊上的中線所在直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由兩點(diǎn)式斜率公式求出斜率，利用垂直關(guān)系得的斜率，代入點(diǎn)斜式即可求解；（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)式斜率公式求出的斜率，代入點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】（1）由題意得，且，所以.則邊上的高所在直線的方程為，化簡得.（2）由題知的中點(diǎn)，所以，則邊上的中線所在直線的方程為，化簡得.44．在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)，，試求：(1)直線AB的方程；(2)線段AB的垂直平分線l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由直線的兩點(diǎn)式方程可得答案；（2）求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)、直線l的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得答案.【詳解】（1）由直線的兩點(diǎn)式方程得，∴直線AB的方程為；（2）線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由（1）得直線AB的斜率為，∴直線l的斜率為，∴直線l的方程為，即.45．在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.(1)設(shè)的中點(diǎn)為D，求邊上的中線所在的直線方程；(2)求邊上的高所在的直線方程；【答案】(1)(2)【分析】（1）先由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，再利用點(diǎn)斜式即可求得所在的直線方程；（2）利用直線垂直斜率相等求得，再利用點(diǎn)斜式即可求得邊上的高所在的直線方程；【詳解】（1）因?yàn)椋缘闹悬c(diǎn)，即，故，所以邊上的中線所在的直線方程為，即.（2）因?yàn)椋赃吷系母咚诘闹本€的斜率，所以邊上的高所在的直線方程為，即.46．（福建省寧德市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（B卷））已知直線過點(diǎn)．(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若直線在兩坐標(biāo)軸的截距互為相反數(shù)，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，以及直線的點(diǎn)斜式公式，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，分直線過原點(diǎn)，不過原點(diǎn)兩種情況討論，即可求解．【詳解】（1）因?yàn)橹本€與直線垂直，所以可設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得，所以直線的方程為．（2）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，斜率為，由點(diǎn)斜式求得直線的方程是，即．當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入方程得，所以直線的方程是．綜上，所求直線的方程為或．基礎(chǔ)過關(guān)練1．經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線的點(diǎn)斜式方程為（

）A． B．.C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由直線得點(diǎn)斜式方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮A斜角為，則斜率，且過點(diǎn)，則，即.故選：A2．已知直線，若，則a＝（

）A．0 B．C．1 D．±1【答案】B【分析】由斜率相等、截距不相等得出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，兩直線l1與l2不能重合，則，即，故.故選：B3．若直線過點(diǎn)，其中，是正實(shí)數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】由點(diǎn)在直線上可知，結(jié)合均值不等式即可求解．【詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，由和都是正實(shí)數(shù)，所以，，．所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故選:B．4．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，M為AB的中點(diǎn)，則中線CM所在直線的方程為()A． B．C． D．【答案】D【分析】求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，由直線的兩點(diǎn)式方程求解.【詳解】點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)，由直線的兩點(diǎn)式方程得，即.故選：D5．（多選）若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，則的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】設(shè)直線的方程，分別求出直線在軸與軸上的截距，由三角形面積為2列方程求出即可得直線的方程.【詳解】易知直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程，令，得；令，得.故圍成的三角形面積為,化簡可得或.對(duì)于方程，，故方程無解.對(duì)于方程，可得或.故直線的方程或，即或.故選:CD.6．（多選）如圖，虛線是某印刷廠的收支差額y關(guān)于印刷量x的圖象，現(xiàn)有一單位需印制一批證書，為此印刷廠員工給出了以下兩種方案，方案一：收取制版費(fèi)和印刷費(fèi)，其中印刷費(fèi)用按原價(jià)的八折收??；方案二：不收取制版費(fèi)，印刷量達(dá)到一定數(shù)量后，超出部分按原價(jià)的六折收取，則符合兩種方案描述的圖象（實(shí)線部分）是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】CD【分析】結(jié)合圖像，對(duì)兩個(gè)方案進(jìn)行分析即可.【詳解】依題意，設(shè)每張證書印刷費(fèi)為元，每張證書印刷損耗為元，其余固定損耗為元，制版費(fèi)為元，顯然，則結(jié)合圖像可知該印刷廠的收支差額y關(guān)于印刷量x的關(guān)系式為，方案一：由于收取制版費(fèi)和印刷費(fèi)，印刷費(fèi)按原價(jià)的八折收取，所以該印刷廠的收支差額y關(guān)于印刷量x的關(guān)系式為，顯然該直線斜率會(huì)比原來的小，截距會(huì)比原來的大，故C選項(xiàng)的圖像滿足；方案二：由于不收取制版費(fèi)，印刷量達(dá)到一定數(shù)量后，超出部分按原價(jià)的六折收取，所以一開始的圖像與原來的一樣，當(dāng)印刷量達(dá)到一定數(shù)量后，收入減少，故收支差額變小，所以D選項(xiàng)的圖像滿足.故選：CD.7．（多選）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為B．直線必過定點(diǎn)C．經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為D．過兩點(diǎn)的所有直線的方程為【答案】AC【分析】根據(jù)直線過原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)直線系方程過定點(diǎn)，可判定B正確；根據(jù)時(shí)，此時(shí)直線的斜率不存在，可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)直線的方程，分類討論，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中：當(dāng)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且等于時(shí)，直線過原點(diǎn)，可設(shè)直線方程為，又直線過點(diǎn)，則，即，此時(shí)直線方程為，滿足題意，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中：直線可化為，由方程組，解得，即直線必過定點(diǎn)，所以B正確；對(duì)于C中，當(dāng)傾斜角時(shí)，此時(shí)直線的斜率不存在，無意義，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)過兩點(diǎn)的所有直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)過兩點(diǎn)的所有直線的方程為或，適合上式，所以過兩點(diǎn)的所有直線的方程為，所以D正確.故選：AC.8．已知直線l與直線的傾斜角相等，且直線過點(diǎn)，則直線l的方程為.【答案】【分析】求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求直線方程即可.【詳解】直線l與直線的傾斜角相等，可得直線的斜率為2，直線過點(diǎn)，則直線l的方程為，即．故答案為：．9．已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù).【答案】1或2【分析】根據(jù)給定條件，求出橫縱截距，列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，因此直線在軸上的截距分別為，于是，即，解得或，所以實(shí)數(shù)或.故答案為：1或210．過點(diǎn)的直線，被直線，所截得的線段的中點(diǎn)恰好在直線上，則直線的方程為．【答案】【分析】先求出線段的中點(diǎn)，在求出直線的斜率，最后用點(diǎn)斜式即可求出直線的方程.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以在直線上，由在直線上，聯(lián)立可得，解得，即中點(diǎn)為，所以直線的斜率，所以的方程為，即．故答案為：．11．設(shè)直線的方程為，根據(jù)下列條件分別確定的值：(1)在軸上的截距是；(2)的斜率是．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)截距的定義可得出關(guān)于的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)直線的斜率可得出關(guān)于的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）解：當(dāng)直線在軸上的截距為時(shí)，有，解得．（2）解：當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，有，解得．12．已知直線過點(diǎn)．(1)若直線過點(diǎn)，求直線的方程；(2)若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，求直線的方程．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）利用直線的兩點(diǎn)式方程求解即可；（2）利用直線的截距式方程求解即可，注意討論截距為0的情況；【詳解】（1）因?yàn)橹本€過，，所以直線方程為，整理得.（2）當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入可得，解得，所以直線方程為；當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入可得，解得，所以直線方程為，綜上所述，直線方程為或.能力提升練1．經(jīng)過點(diǎn)A（3，4）且在兩坐標(biāo)軸上的截距絕對(duì)值相等的直線方程為（

）A．或 B．或或C．或 D．或或【答案】B【分析】根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等進(jìn)行分類討論，設(shè)直線方程，求出每一種情況的直線方程即可.【詳解】①當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，斜率，所以直線方程為：，即；②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入，的，解得，所以直線方程為：，即；③當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入，的，解得，所以直線方程為：，即；綜上所述，直線方程為：或或.故選：B.2．平面直角坐標(biāo)系中下列關(guān)于直線的幾何性質(zhì)說法中，正確的有幾個(gè)（

）①直線：過點(diǎn)②直線在軸的截距是2③直線的圖像不經(jīng)過第四象限④直線的傾斜角為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①代入驗(yàn)證即可；②當(dāng)時(shí)可得在軸的截距；③由可判斷；④先求斜率可得傾斜角.【詳解】①將代入得，故正確；②當(dāng)時(shí)，，故在軸的截距是，故錯(cuò)誤；③由得，故，故其圖像不經(jīng)過第四象限，故正確；④的斜率為，故傾斜角為，故正確；故選：C3．（多選）已知直線交y軸于點(diǎn)A，將l繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得直線m，則（

）A．直線l與直線m關(guān)于x軸對(duì)稱B．直線l與直線m關(guān)于y軸對(duì)稱C．直線m的方程為D．直線m的方程為【答案】BD【分析】先求得直線m的方程，再分別求得直線l關(guān)于x軸和關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程即可解決.【詳解】直線交y軸于點(diǎn)，斜率，傾斜角為則直線m傾斜角為，斜率，