專題提升(六)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合

專題提升(六)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合【經(jīng)典母題】圖Z6－1如圖Z6－1是一個光學(xué)儀器上用的曲面橫截面示意圖，圖中的曲線是一段反比例函數(shù)的圖象，端點A的縱坐標為80，另一端點B的坐標為B(80圖Z6－1【解析】利用待定系數(shù)法設(shè)出反比例函數(shù)的表達式后，代入點B的坐標即可求得反比例函數(shù)的表達式．解：設(shè)反比例函數(shù)的表達式為y＝eq\f(k,x)，∵一個端點B的坐標為(80，10)，∴k＝80×10＝800，∴反比例函數(shù)的表達式為y＝eq\f(800,x).∵端點A的縱坐標為80，∴80＝eq\f(800,x)，x＝10，∴點A的橫坐標為10，∴自變量的取值范圍為10≤x≤80.【思想方法】求反比例函數(shù)的表達式宜用待定系數(shù)法，設(shè)y＝eq\f(k,x)，把已知一點代入函數(shù)表達式求出k的值即可．【中考變形】1．已知正比例函數(shù)y＝ax與反比例函數(shù)y＝eq\f(b,x)的圖象有一個公共點A(1，2)．(1)求這兩個函數(shù)的表達式；(2)在圖Z6－2中畫出草圖，根據(jù)圖象寫出正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時x的取值范圍．圖Z6－2 中考變形1答圖解：(1)把A(1，2)代入y＝ax，得2＝a，即y＝2x；把A(1，2)代入y＝eq\f(b,x)，得b＝2，即y＝eq\f(2,x)；(2)畫草圖如答圖所示．由圖象可知，當(dāng)x＞1或－1＜x＜0時，正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值．2．如圖Z6－3，已知一次函數(shù)y＝k1x＋b與反比例函數(shù)y＝eq\f(k2,x)的圖象交于第一象限內(nèi)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，8))，Q(4，m)兩點，與x軸交于A點．(1)分別求出這兩個函數(shù)的表達式；(2)寫出點P關(guān)于原點的對稱點P′的坐標；(3)求∠P′AO的正弦值．圖Z6－3【解析】①將P點坐標代入反比例函數(shù)關(guān)系式，即可求出反比例函數(shù)表達式；將Q點代入反比例函數(shù)關(guān)系式，即可求出m的值；將P，Q兩個點的坐標分別代入一次函數(shù)關(guān)系式，即可求出一次函數(shù)的表達式．②根據(jù)平面直角坐標系中，兩點關(guān)于原點對稱，則橫、縱坐標互為相反數(shù)，可以直接寫出點P′的坐標；③過點P′作P′D⊥x軸，垂足為D，可構(gòu)造出′AD，又∵點A在一次函數(shù)的圖象上，∴可求出點A坐標，得到OA長度，利用P′點坐標，可以求出P′D，P′A，即可得到∠P′AO的正弦值．解：(1)∵點P在反比例函數(shù)的圖象上，∴把點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，8))代入y＝eq\f(k2,x)，得k2＝4，∴反比例函數(shù)的表達式為y＝eq\f(4,x)，∴Q點坐標為(4，1)．把Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，8))，Q(4，1)分別代入y＝k1x＋b中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8＝\f(1,2)k1＋b，,1＝4k1＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－2，,b＝9.))∴一次函數(shù)的表達式為y＝－2x＋9；(2)P′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－8))；(3)如答圖，過點P′作P′D⊥x軸，垂足為D.∵P′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－8))，中考變形2答圖∴OD＝eq\f(1,2)，P′D＝8.∵點A在y＝－2x＋9的圖象上，∴點A坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，0))，即OA＝eq\f(9,2)，∴DA＝5，∴P′A＝eq\r(P′D2＋DA2)＝eq\r(89).∴sin∠P′AD＝eq\f(P′D,P′A)＝eq\f(8,\r(89))＝eq\f(8\r(89),89).∴sin∠P′AO＝eq\f(8\r(89),89).3．[2017·成都]如圖Z6－4，在平面直角坐標系xOy中，已知正比例函數(shù)y＝eq\f(1,2)x與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象交于A(a，－2)，B兩點．(1)求反比例函數(shù)表達式和點B的坐標；(2)P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上一點，過點P作y軸的平行線，交直線AB于點C，連結(jié)PO，若△POC的面積為3，求點P的坐標．圖Z6－4中考變形3答圖解：(1)∵點A(a，－2)在正比例函數(shù)y＝eq\f(1,2)x圖象上，∴－2＝eq\f(1,2)a，∴a＝－4，∴點A坐標為(－4，－2)．又∵點A在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象上，∴k＝xy＝－4×(－2)＝8，∴反比例函數(shù)的表達式為y＝eq\f(8,x).∵A，B既在正比例函數(shù)圖象上，又在反比例函數(shù)圖象上，∴A，B兩點關(guān)于原點O中心對稱，∴點B的坐標為(4，2)；(2)如答圖，設(shè)點P坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(8,a)))(a＞0)，∵PC∥y軸，點C在直線y＝eq\f(1,2)x上，∴點C的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,2)a))，∴PC＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－\f(8,a)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a2－16,2a)))，∴S△POC＝eq\f(1,2)PC·a＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a2－16,2a)))·a＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a2－16,4)))＝3，當(dāng)eq\f(a2－16,4)＝3時，解得a＝eq\r(28)＝2eq\r(7)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(7)，\f(4\r(7),7))).當(dāng)eq\f(a2－16,4)＝－3時，解得a＝2，∴P(2，4)．綜上所述，符合條件的點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(7)，\f(4\r(7),7)))，(2，4)．4．如圖Z6－5，一次函數(shù)y＝kx＋b與反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)的圖象交于A(1，4)，B(4，n)兩點．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)求一次函數(shù)的表達式；(3)P是x軸上的一個動點，試確定點P并求出它的坐標，使得PA＋PB最?。畧DZ6－5解：(1)∵點A(1，4)在函數(shù)y＝eq\f(m,x)上，∴m＝xy＝4，∴反比例函數(shù)的表達式為y＝eq\f(4,x)；(2)把B(4，n)代入y＝eq\f(4,x)，4＝xy＝4n，得n＝1，∴B(4，1)，∵直線y＝kx＋b經(jīng)過A，B，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝k＋b，,1＝4k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝5，))∴一次函數(shù)的表達式為y＝－x＋5；(3)點B關(guān)于x軸的對稱點為B′(4，－1)，設(shè)直線AB′的表達式為y＝ax＋q，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝a＋q，,－1＝4a＋q，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(5,3)，,q＝\f(17,3)，))∴直線AB′的表達式為y＝－eq\f(5,3)x＋eq\f(17,3)，令y＝0，解得x＝eq\f(17,5)，∴當(dāng)點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,5)，0))時，PA＋PB最?。?．[2017·廣安]如圖Z6－6，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)的圖象在第一象限交于點A(4，2)，與y軸的負半軸交于點B，圖Z6－6且OB＝6.(1)求函數(shù)y＝eq\f(m,x)和y＝kx＋b的表達式．(2)已知直線AB與x軸相交于點C.在第一象限內(nèi)，求反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)的圖象上一點P，使得S△POC＝9.解：(1)∵點A(4，2)在反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)的圖象上，∴m＝4×2＝8，∴反比例函數(shù)的表達式為y＝eq\f(8,x).∵點B在y軸的負半軸上，且OB＝6，∴點B的坐標為(0，－6)，把點A(4，2)和點B(0，－6)代入y＝kx＋b中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝2，,b＝－6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝－6.))∴一次函數(shù)的表達式為y＝2x－6；(2)設(shè)點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(8,n)))(n＞0)．在直線y＝2x－6上，當(dāng)y＝0時，x＝3，∴點C的坐標為(3，0)，即OC＝3，∴S△POC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(8,n)＝9，解得n＝eq\f(4,3).∴點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，6)).6．[2017·黃岡]如圖Z6－7，一次函數(shù)y＝－2x＋1與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象有兩個交點A(－1，m)和B，過點A作AE⊥x軸，垂足為E；過點B作BD⊥y軸，垂足為D，且點D的坐標為(0，－2)，連結(jié)DE.(1)求k的值；(2)求四邊形AEDB的面積．圖Z6－7中考變形6答圖解：(1)將點A(－1，m)代入一次函數(shù)y＝－2x＋1，得－2×(－1)＋1＝m，解得m＝3.∴A點的坐標為(－1，3)．將A(－1，3)代入y＝eq\f(k,x)，得k＝(－1)×3＝－3；(2)如答圖，設(shè)直線AB與y軸相交于點M，則點M的坐標為(0，1)，∵D(0，－2)，則點B的縱坐標為－2，代入反比例函數(shù)，得DB＝eq\f(3,2)，∴MD＝3.又∵A(－1，3)，AE∥y軸，∴E(－1，0)，AE＝3.∴AE∥MD，AE＝MD.∴四邊形AEDM為平行四邊形．∴S四邊形AEDB＝S?AEDM＋S△MDB＝3×1＋eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×3＝eq\f(21,4).7．[2016·金華]如圖Z6－8，直線y＝eq\f(\r(3),3)x－eq\r(3)與x，y軸分別交于點A，B，與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k＞0)的圖象交于點C，D，過點A作x軸的垂線交該反比例函數(shù)圖象于點E.(1)求點A的坐標；(2)若AE＝AC，①求k的值；②試判斷點E與點D是否關(guān)于原點O成中心對稱？并說明理由．圖Z6－8 中考變形7答圖解：(1)當(dāng)y＝0時，得0＝eq\f(\r(3),3)x－eq\r(3)，解得x＝3.∴點A的坐標為(3，0)；(2)①如答圖，過點C作CF⊥x軸于點F.設(shè)AE＝AC＝t，點E的坐標是(3，t)，則反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)可表示為y＝eq\f(3t,x).∵直線y＝eq\f(\r(3),3)x－eq\r(3)交y軸于點B，∴B(0，－eq\r(3))．在Rt△AOB中，tan∠OAB＝eq\f(OB,OA)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠OAB＝30°.在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，∴CF＝eq\f(1,2)t，AF＝AC·cos30°＝eq\f(\r(3),2)t，∴點C的坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(\r(3),2)t，\f(1,2)t)).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(\r(3),2)t))×eq\f(1,2)t＝3t，解得t1＝0(舍去)，t2＝2eq\r(3).∴k＝3t＝6eq\r(3).②點E的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2\r(3)))，設(shè)點D的坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(\r(3),3)x－\r(3)))，∴xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)x－\r(3)))＝6eq\r(3)，解得x1＝6(舍去)，x2＝－3，∴點D的坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－2\r(3)))，∴點E與點D關(guān)于原點O成中心對稱．【中考預(yù)測】如圖Z6－9，一次函數(shù)y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點，且與反比例函數(shù)y＝eq\f(n,x)(n為常數(shù)且n≠0)的圖象在第二象限交于點C，CD⊥x軸，垂足為D，若OB＝2OA＝3OD＝6.(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；(2)求兩函數(shù)圖象的另一個交點的坐標；(3)直接寫出不等式kx＋b≤eq\f(n,x)的解集．圖Z6－9解：(1)∵OB＝2OA＝3OD＝6，∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，∵CD⊥DA，∴DC∥OB，∴eq\f(OB,DC)＝eq\f(AO,AD)，∴eq\f(6,DC)＝eq\f(3,5)，∴DC＝10，∴C(－2，10)，B(0，6)，A(3，0)，代入一次函數(shù)y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝6，,3k＋b＝0，))解得eq\b\lc