高中化高三大題練習(xí)解題5數(shù)列第23練?？嫉倪f推公式問(wèn)題的破解方略

高中化學(xué)教學(xué)同步課件專(zhuān)題5數(shù)列第23練常考的遞推公式問(wèn)題的破解方略題型分析·高考展望利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式是高考中?？碱}型，掌握常見(jiàn)的一些變形技巧是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵：一般這類(lèi)題目難度較大，但只要將已知條件，轉(zhuǎn)化為幾類(lèi)“模型”，然后采用相應(yīng)的計(jì)算方法即可解決.?？碱}型精析高考題型精練題型一利用累加法解決遞推問(wèn)題題型二利用累乘法解決遞推問(wèn)題題型三構(gòu)造法求通項(xiàng)公式?？碱}型精析題型一利用累加法解決遞推問(wèn)題例1

(1)(2015·江蘇)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列

前10項(xiàng)的和為_(kāi)_______.解析∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，故S10＝b1＋b2＋…＋b10(2)數(shù)列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝an＋cn(n∈N*，常數(shù)c≠0)，且a1，a2，a3成等比數(shù)列.①求c的值；②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解

①由題意知a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，因?yàn)閍1，a2，a3成等比數(shù)列，所以(2＋c)2＝2(2＋3c).解得c＝0或c＝2，又c≠0，故c＝2.②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.a2－a1＝c，a3－a2＝2c，…an－an－1＝(n－1)c，以上各式相加，得又a1＝2，c＝2，故an＝n2－n＋2(n≥2)，當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－n＋2(n∈N*).變式訓(xùn)練1已知數(shù)列{an}中，a1＝3，a2＝5，其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋2n－1(n≥3)，試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解由Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋2n－1得：Sn－Sn－1＝Sn－1－Sn－2＋2n－1，∴an－an－1＝2n－1(n≥3).∴a2－a1＝5－3＝2，a3－a2＝22＝4，a4－a3＝8，…an－an－1＝2n－1，以上各式相加得：an－a1＝2＋4＋…＋2n－1，∴an＝a1＋2n－2＝3＋2n－2＝2n＋1，∴an＝2n＋1(n≥1).題型二利用累乘法解決遞推問(wèn)題得[(n＋2)an＋1－(n＋1)an](an＋1＋an)＝0，又an>0，所以(n＋2)an＋1＝(n＋1)an，答案B(2)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝1,2n－1an＝an－1(n∈N且n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是____________.以上各式相乘得點(diǎn)評(píng)若由已知遞推關(guān)系能轉(zhuǎn)化成

＝f(n)的形式，且f(n)的前n項(xiàng)積能求，則可采用累乘法.注意驗(yàn)證首項(xiàng)是否符合通項(xiàng)公式.變式訓(xùn)練2數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝

an

(n≥2)，且a1＝1，a2＝2，則{an}的通項(xiàng)公式an＝______________.∴an＝(n－1)·a2＝2(n－1)(n≥3).∵a2＝2滿(mǎn)足an＝2(n－1)，題型三構(gòu)造法求通項(xiàng)公式例3

(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；解由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＋1＝2≠0，于是可知{an＋1}為以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.即an＋1＝2n，∴an＝2n－1，∴所求通項(xiàng)公式為an＝2n－1.點(diǎn)評(píng)構(gòu)造法就是利用數(shù)列的遞推關(guān)系靈活變形，構(gòu)造出等差、等比的新數(shù)列，然后利用公式求出通項(xiàng).此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵在于條件變形：在“an＝can－1＋b”的條件下，可構(gòu)造“an＋x＝c(an－1＋x)”在“an＝

”的條件下，可構(gòu)造“

”.變式訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}中，a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝

求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.高考題型精練

123456789101112解析由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，高考題型精練123456789101112答案C高考題型精練1234567891011122.學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐，每星期一有A，B兩種菜可供選擇.調(diào)查資料表明，凡是在星期一選A種菜的，下星期一會(huì)有20%改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會(huì)有30%改選A種菜.用an，bn分別表示在第n個(gè)星期的星期一選A種菜和選B種菜的人數(shù)，如果a1＝300，則a10為(

)A.350B.300C.400D.450高考題型精練123456789101112由a1＝300，得a2＝300；由a2＝300，得a3＝300；……從而得a10＝300，故選B.答案B高考題型精練1234567891011123.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn等于(

)解析當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，高考題型精練123456789101112答案B高考題型精練123456789101112A.2015B.2009C.1005D.1006高考題型精練123456789101112由倒序相加，得2an＝2(n－1)，an＝n－1，所以a2016＝2016－1＝2015，故選A.答案A高考題型精練1234567891011125.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，則a7等于(

)A.53 B.54

C.55

D.109解析∵an－an－1＝2n(n≥2).∴a2－a1＝4，a3－a2＝6，a4－a3＝8，高考題型精練123456789101112…a7－a6＝14，以上各式兩邊分別相加得a7－a1＝4＋6＋…＋14，答案C高考題型精練123456789101112解析∵an＋1＝an＋a1＋n，a1＝1，∴an＋1－an＝1＋n，∴an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)高考題型精練123456789101112答案B高考題型精練123456789101112

高考題型精練123456789101112∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112

由f(1)＝n2an(n∈N*)，得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2an.高考題型精練123456789101112當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，高考題型精練123456789101112高考題型精練1234567891011129.若f(n)為n2＋1(n∈N*)的各位數(shù)字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，則f2016(4)＝________.解析因?yàn)?2＋1＝17，f(4)＝1＋7＝8，則f1(4)＝f(4)＝8，f2(4)＝f(f1(4))＝f(8)＝11，f3(4)＝f(f2(4))＝f(11)＝5，高考題型精練123456789101112f4(4)＝f(f3(4))＝f(5)＝8，…，所以fk＋1(n)＝f(fk(n))為周期數(shù)列.可得f2016(4)＝5.答案5高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112高考題型精練12345678910111212.(2015·陜西)設(shè)fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.(1)求fn′(2)；解方法一由題設(shè)fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1，所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－2)2n－2＋n·2n－1，

①則2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，

②①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n高考題型精練1234