高中化高三大題練習(xí)解題3函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第15練存在與恒成立問(wèn)題

高中化學(xué)教學(xué)同步課件專(zhuān)題3函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第15練存在與恒成立問(wèn)題題型分析·高考展望“存在”與“恒成立”兩個(gè)表示范圍的詞語(yǔ)在題目中出現(xiàn)是近年高考的一大熱點(diǎn)，其本質(zhì)是“特稱(chēng)”與“全稱(chēng)”量詞的一個(gè)延伸，弄清其含義，適當(dāng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化來(lái)加以解決.此類(lèi)題目主要出現(xiàn)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的解答題中，難度高，需要有較強(qiáng)的分析能力和運(yùn)算能力.訓(xùn)練時(shí)應(yīng)注意破題方法的研究.常考題型精析高考題型精練題型一恒成立問(wèn)題題型二存在性問(wèn)題?？碱}型精析題型一恒成立問(wèn)題例1

(2014·浙江)已知函數(shù)f(x)＝x3＋3|x－a|(a>0)，若f(x)在[－1,1]上的最小值記為g(a).(1)求g(a)；解因?yàn)閍>0，－1≤x≤1.所以①當(dāng)0<a<1時(shí)，若x∈[－1，a]，則f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3<0，故f(x)在(－1，a)上是減函數(shù)；若x∈[a,1]，則f(x)＝x3＋3x－3a，f′(x)＝3x2＋3>0，故f(x)在(a,1)上是增函數(shù).所以g(a)＝f(a)＝a3.②當(dāng)a≥1時(shí)，有x≤a，則f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3<0，故f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)，所以，g(a)＝f(1)＝－2＋3a.(2)證明：當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，恒有f(x)≤g(a)＋4.證明令h(x)＝f(x)－g(a).①當(dāng)0<a<1時(shí)，g(a)＝a3.若x∈[a,1]，則h(x)＝x3＋3x－3a－a3，h′(x)＝3x2＋3，所以h(x)在(a,1)上是增函數(shù)，所以，h(x)在[a,1]上的最大值是h(1)＝4－3a－a3，且0<a<1，所以h(1)≤4.故f(x)≤g(a)＋4.若x∈[－1，a]，則h(x)＝x3－3x＋3a－a3，h′(x)＝3x2－3，所以h(x)在(－1，a)上是減函數(shù)，所以，h(x)在[－1，a]上的最大值是h(－1)＝2＋3a－a3.令t(a)＝2＋3a－a3，則t′(a)＝3－3a2>0，知t(a)在(0,1)上是增函數(shù).所以，t(a)<t(1)＝4，即h(－1)<4.故f(x)≤g(a)＋4.②當(dāng)a≥1時(shí)，g(a)＝－2＋3a，故h(x)＝x3－3x＋2，h′(x)＝3x2－3，此時(shí)h(x)在(－1,1)上是減函數(shù)，因此h(x)在[－1,1]上的最大值是h(－1)＝4.故f(x)≤g(a)＋4.綜上，當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，恒有f(x)≤g(a)＋4.點(diǎn)評(píng)恒成立問(wèn)題一般與不等式有關(guān)，解決此類(lèi)問(wèn)題需要構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值，從而說(shuō)明函數(shù)值恒大于或恒小于某一確定的值.變式訓(xùn)練1

(2015·山東)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.(1)討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；解由題意知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1，＋∞)，令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞).①當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝1，此時(shí)f′(x)＞0，函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；②當(dāng)a＞0時(shí)，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8).f′(x)≥0，函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；設(shè)方程2ax2＋ax－a＋1＝0的兩根為x1，x2(x1＜x2)，所以當(dāng)x∈(－1，x1)時(shí)，g(x)＞0，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)＜0，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)＞0，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；因此函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).(ⅲ)當(dāng)a＜0時(shí)，Δ＞0，由g(－1)＝1＞0，可得x1＜－1.當(dāng)x∈(－1，x2)時(shí)，g(x)＞0，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)＜0，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；所以函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)；

④當(dāng)a＜0時(shí)，設(shè)h(x)＝x－ln(x＋1).所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因此當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，h(x)＞h(0)＝0，即ln(x＋1)＜x.可得f(x)＜x＋a(x2－x)＝ax2＋(1－a)x，此時(shí)f(x)＜0，不合題意.綜上所述，a的取值范圍是[0,1].題型二存在性問(wèn)題

由(1)得，當(dāng)t∈(0，x0)時(shí)，u′(t)>0，在(0，x0)上u(t)是增函數(shù)，又u(0)＝0，從而當(dāng)t∈(0，x0]時(shí)，u(t)>0，所以u(píng)(t)在(0，x0]上無(wú)零點(diǎn).使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.故g(x)＝(1＋sinx)h(x)與h(x)有相同的零點(diǎn)，因?yàn)閤1＝π－t1，t1>x0，所以x0＋x1<π.點(diǎn)評(píng)“存在”是特稱(chēng)量詞，即“有的”意思，證明這類(lèi)問(wèn)題的思路是想法找到一個(gè)“x0”使問(wèn)題成立即可，必要時(shí)需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.若證“存在且唯一”則需說(shuō)明除“x0”外其余不能使命題成立，或利用函數(shù)單調(diào)性證明此類(lèi)問(wèn)題.

(2)已知函數(shù)f(x)在[－1,1]上存在零點(diǎn)，0≤b－2a≤1，求b的取值范圍.解設(shè)s，t為方程f(x)＝0的解，且－1≤t≤1，

高考題型精練123456789101112

高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112∴φ(x)在(0,1]上遞增，φ(x)max＝φ(1)＝－6，∴a≥－6.高考題型精練123456789101112當(dāng)x∈[－2，－1)時(shí)，φ′(x)<0，當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，φ′(x)>0.∴當(dāng)x＝－1時(shí)，φ(x)有極小值，即為最小值.高考題型精練123456789101112∴a≤－2.綜上知－6≤a≤－2.答案C高考題型精練123456789101112

A高考題型精練1234567891011123.若存在正數(shù)x使2x(x－a)<1成立，則a的取值范圍是(

)A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)∴f′(x)＝1＋2－xln2>0.高考題型精練123456789101112∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)>f(0)＝0－1＝－1，∴a的取值范圍為(－1，＋∞)，故選D.答案D高考題型精練123456789101112

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高考題型精練1234567891011125.若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(－∞，0) B.(－∞，4]C.(0，＋∞) D.[4，＋∞)解析2xlnx≥－x2＋ax－3，高考題型精練123456789101112當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)<0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(1)＝4，所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范圍是(－∞，4].答案B高考題型精練1234567891011126.若x∈[0，＋∞)，則下列不等式恒成立的是(

)則f′(x)＝－sinx＋x≥0(x≥0)，高考題型精練123456789101112答案C高考題型精練1234567891011127.已知函數(shù)f(x)＝2ax3－3ax2＋1，g(x)＝

若任意給定的x0∈[0,2]，總存在兩個(gè)不同的xi(i＝1,2)∈[0,2]，使得f(xi)＝g(x0)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(－∞，－1)B.(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.[－1,1]高考題型精練123456789101112

高考題型精練123456789101112同時(shí)f(x)在0≤x≤1時(shí)，函數(shù)值從1增大到1－a，在1≤x≤2時(shí)，函數(shù)值從1－a減少到1＋4a，所以“任意給定的x0∈[0,2]，總存在兩個(gè)不同的xi(i＝1,2)∈[0,2]，使得f(xi)＝g(x0)成立”高考題型精練123456789101112解得a<－1.答案A高考題型精練1234567891011128.(2014·江蘇)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對(duì)于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.解析作出二次函數(shù)f(x)的圖象，對(duì)于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，高考題型精練1234567891011129.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若對(duì)于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______.解析若x＝0，則不論a取何值，f(x)≥0顯然成立；高考題型精練123456789101112g(x)在區(qū)間[－1,0)上單調(diào)遞增，所以g(x)min＝g(－1)＝4，從而a≤4，綜上可知a＝4.答案4高考題型精練12345678910111210.已知函數(shù)f(x)＝x－

，g(x)＝x2－2ax＋4，若對(duì)于任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.因此函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，所以x∈[0,1]時(shí)，f(x)min＝f(0)＝－1.高考題型精練123456789101112根據(jù)題意可知存在x∈[1,2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，即x2－2ax＋5≤0，則要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，高考題型精練123456789101112高考題型精練12345678910111211.(2015·湖南)已知a>0，函數(shù)f(x)＝aexcosx(x∈[0，＋∞)).記xn為f(x)的從小到大的第n(n∈N*)個(gè)極值點(diǎn).(1)證明：數(shù)列{f(xn)}是等比數(shù)列；證明

f′(x)＝aexcosx－aexsinx高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112(2)若對(duì)一切n∈N*，xn≤|f(xn)|恒成立，求a的取值范圍.解

對(duì)一切n∈N*，xn≤|f(xn)|恒成立，高考題型精練123456789101112令g′(t)＝0得t＝1.當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g′(t)＜0，所以g(t)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)t＞1時(shí)，g′(t)＞0，所以g(t)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)閤1∈(0,1)，且當(dāng)n≥2時(shí)，xn∈(1，＋∞)，xn＜xn＋1，高考題型精練123456789101112所以[g(xn)]min＝min{g(x1)，g(x2)}高考題型精練12345