2019年天津卷理數(shù)高考試題文檔版（含答案）A3版

2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學（理工類）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3-5頁。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。2.本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：·如果事件、互斥，那么.·如果事件、相互獨立，那么.·圓柱的體積公式，其中表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高.·棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，則A.B.C.D.2.設變量滿足約束條件則目標函數(shù)的最大值為A.2B.3C.5D.63.設，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，輸出的值為A.5B.8C.24D.295.已知拋物線的焦點為，準線為，若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且（為原點），則雙曲線的離心率為A.B.C.D.6.已知，，，則的大小關系為A.B.C.D.7.已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像對應的函數(shù)為.若的最小正周期為，且，則A.B.C.D.8.已知，設函數(shù)若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A.B.C.D.第Ⅱ卷二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9.是虛數(shù)單位，則的值為.10.是展開式中的常數(shù)項為.11.已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為.12.設，直線和圓（為參數(shù)）相切，則的值為.13.設，則的最小值為.14.在四邊形中，，點在線段的延長線上，且，則.三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.16.（本小題滿分13分）設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.（Ⅰ）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（Ⅱ）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.17.（本小題滿分13分）如圖，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長.18.（本小題滿分13分）設橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上.若（為原點），且，求直線的斜率.19.（本小題滿分14分）設是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列滿足其中.（i）求數(shù)列的通項公式；（ii）求.20.（本小題滿分14分）設函數(shù)為的導函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當時，證明；（Ⅲ）設為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點，其中，證明.2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學（理工類）參考解答一.選擇題：本題考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分40分.1.D2.C3.B4.B5.D6.A7.A8.C二.填空題：本題考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分30分.9.10.11.12.13.14.三.解答題15.本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角和正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎知識.考查運算求解能力，滿分13分.（Ⅰ）解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因為，得到，.由余弦定理可得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，從而，，故，16.本小題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等基礎知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.滿分13分.（Ⅰ）解：因為甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7：30之前到校的概率均為，故，從而.所以，隨機變量的分布列為0123隨機變量的數(shù)學期望.（Ⅱ）解：設乙同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為，則，且.由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨立，從而由（Ⅰ）知.17.本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.滿分13分.依題意，可以建立以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸正方向的空間直角坐標系（如圖），可得，.設，則.（Ⅰ）證明：依題意，是平面的法向量，又，可得，又因為直線平面，所以平面.（Ⅱ）解：依題意，.設為平面的法向量，則即不妨令，可得.因此有.所以，直線與平面所成角的正弦值為.（Ⅲ）解：設為平面的法向量，則即不妨令，可得.由題意，有，解得.經(jīng)檢驗，符合題意.所以，線段的長為.18.本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎知識?？疾橛么鷶?shù)方法研究圓錐曲面的性質(zhì).考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力.滿分13分.（Ⅰ）解：設橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，.所以，橢圓的方程為.（Ⅱ）解：由題意，設.設直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立整理得，可得，代入得，進而直線的斜率.在中，令，得.由題意得，所以直線的斜率為.由，得，化簡得，從而.所以，直線的斜率為或.19.本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其前項和公式等基礎知識.考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運算求解能力.滿分14分.（Ⅰ）解：設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.依題意得解得故.所以，的通項公式為的通項公式為.（Ⅱ）（i）解：.所以，數(shù)列的通項公式為.（ii）解：.20.本小題主要考查導數(shù)的運算、不等式證明、運用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎知識和方法.考查函數(shù)思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想.考查抽象概括能力、綜合分析問題和解決問題的能力.滿分14分.（Ⅰ