基于非仿射隨機波動率模型的歐式期權(quán)定價

基于非仿射隨機波動率模型的歐式期權(quán)定價

1仿射與非仿射隨機波動率模型1973年，著名的加權(quán)價格公式是從赫羅運動的假設(shè)下獲得的。在幾何布朗運動假設(shè)下,股票收益率服從正態(tài)分布并且波動率是常數(shù)。然而,這些嚴(yán)格假設(shè)都偏離了實際情況,造成期權(quán)定價的誤差以及“波動率微笑”(volatilitysmile)現(xiàn)象。大量研究表明,金融資產(chǎn)的收益率并非服從正態(tài)分布,而是呈現(xiàn)出尖峰、厚尾和非對稱性等特征;波動率并非常數(shù),而具有時變性和波動率聚集(volatilityclustering)特征;收益率與波動率之間存在著負(fù)向相關(guān)關(guān)系,即所謂的“杠桿效應(yīng)”(leverageeffect)。為了刻畫金融資產(chǎn)收益率和波動率的這些特征,眾多學(xué)者對經(jīng)典的Black-Scholes模型進(jìn)行了擴展,提出了許多有影響的替代模型,例如Cox和Ross提出的不變方差彈性(constantelasticityofvariance,CEV)模型,Merton提出的跳躍-擴散模型,Hull和White,Stein和Stein和Heston提出的隨機波動率模型等。由于隨機波動率模型能夠刻畫金融資產(chǎn)收益率波動的時變性、波動率聚集以及杠桿效應(yīng),這類模型在金融計量經(jīng)濟學(xué)文獻(xiàn)中引起了廣泛的關(guān)注。其中,Heston模型是最著名的隨機波動率模型之一。Heston模型設(shè)定相對簡單,它是一個仿射(affine)隨機波動率模型,它最突出的優(yōu)點在于能夠給出普通歐式期權(quán)的閉型定價公式以及解釋期權(quán)定價中的“波動率微笑”現(xiàn)象。因此,Heston模型在金融市場上得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用。然而,近幾年的大量研究發(fā)現(xiàn),仿射隨機波動率模型對于波動過程的平方根設(shè)定并不能很好的刻畫金融時間序列的非線性特征事實,越來越多的學(xué)者開始關(guān)注非仿射(non-affine)隨機波動率模型。特別地,Chourdakis通過構(gòu)造連續(xù)時間馬爾科夫鏈來模擬隱波動率過程,提出了一個近似的方法對非仿射對數(shù)方差模型下的期權(quán)定價進(jìn)行了研究。Christoffersen等采用S&P500看漲期權(quán)價格數(shù)據(jù)為研究樣本,實證檢驗了仿射與非仿射隨機波動率模型的定價效果。實證結(jié)果表明,非仿射隨機波動率模型比仿射隨機波動率模型具有明顯更優(yōu)越的期權(quán)定價效果,非仿射隨機波動率模型期權(quán)定價的均方根誤差比仿射隨機波動率模型的要低25-27%。Christoffersen等從實現(xiàn)波動率(realizedvolatilities)、S&P500收益、期權(quán)面板數(shù)據(jù)三個不同的數(shù)據(jù)源對仿射與非仿射隨機波動率模型進(jìn)行了實證比較研究。結(jié)果表明,非仿射線性隨機波動率模型(方差是線性擴散過程)在這三個數(shù)據(jù)源中都比仿射隨機波動率模型具有更優(yōu)越的表現(xiàn)。Durham采用S&P500指數(shù)及其期權(quán)數(shù)據(jù)為研究樣本,研究了仿射與非仿射隨機波動率模型的風(fēng)險中性建模。實證結(jié)果表明,非仿射對數(shù)波動率模型比仿射隨機波動率模型具有明顯更優(yōu)越的表現(xiàn)。Hansis對仿射與非仿射隨機波動率模型在模擬分布、期權(quán)定價以及資產(chǎn)配置方面的影響進(jìn)行了研究。結(jié)果表明,出于實際應(yīng)用中易于實現(xiàn)的考慮,可以使用仿射跳躍隨機波動率模型,這與Ignatieva等的結(jié)果是一致的。Chourdakis和Dotsis采用極大似然方法研究了非仿射波動率過程的參數(shù)估計問題。Drimus基于變換方法,研究了3/2非仿射隨機波動率模型下實現(xiàn)方差期權(quán)的定價與對沖問題。然而,由于非仿射隨機波動率模型標(biāo)的資產(chǎn)對數(shù)價格分布的特征函數(shù)所滿足的偏微分方程是非線性的,特征函數(shù)的精確解析解無法獲得,通常不能得到歐式期權(quán)價格的閉型解。因此,為了計算非仿射隨機波動率模型下的期權(quán)價格,學(xué)者們主要采用MonteCarlo模擬方法。雖然MonteCarlo方法可以得到較為精確的期權(quán)價格,但它具有計算量大、耗時長等缺點。此外,MonteCarlo方法每次只能得到同個標(biāo)的資產(chǎn)下的一個期權(quán)價格,無法滿足非仿射隨機波動率模型應(yīng)用于實際期權(quán)定價的計算要求?？傊?為了更好的描述資產(chǎn)價格的動態(tài)特征,我們有必要引入更現(xiàn)實的非仿射隨機波動率模型。與此同時,需要尋找更為快速和有效的數(shù)值計算方法來計算非仿射隨機波動率模型下的期權(quán)價格,本文,我們首先應(yīng)用擾動法,將非仿射隨機波動率模型的特征函數(shù)所滿足的偏微分方程線性化,從而推導(dǎo)出特征函數(shù)的近似解析解;然后,應(yīng)用傅里葉變換及其逆變換,進(jìn)而推導(dǎo)出非仿射隨機波動率模型下歐式期權(quán)的擬閉型定價公式,該定價公式在數(shù)值上可以利用快速傅里葉變換(FFT)方法進(jìn)行計算,并且應(yīng)用FFT方法可以通過一次計算同時得到多個不同執(zhí)行價格的歐式期權(quán)的價格,部分克服了MonteCarlo方法的缺點,具有較高的計算效率;繼而利用FFT期權(quán)定價方法,我們研究了非仿射隨機波動率模型隱含的“波動率微笑”;最后,采用香港金融市場上的恒生指數(shù)認(rèn)購權(quán)證進(jìn)行實證研究,比較了Black-Scholes模型和非仿射隨機波動率期權(quán)定價模型的定價結(jié)果,表明了非仿射隨機波動率期權(quán)定價模型的定價精確性。2非模仿隨機波動率模型及其特征函數(shù)的導(dǎo)出2.1資產(chǎn)生產(chǎn)率設(shè)St是t時刻資產(chǎn)的價格,vt是t時刻資產(chǎn)收益率的方差(波動率的平方),本文研究的非仿射隨機波動率模型的形式如下:dSt=μStdt+√vtStdW1tdvt=κ(θ-vt)dt+σvγ/2tdW2t(1)其中μ,κ,θ,σ和γ都是常數(shù),且κ,θ,σ和γ都大于零。θ是資產(chǎn)收益率方差的長期均值,κ是方差均值回歸的速度,σ是資產(chǎn)收益率方差的方差。W1t和W2t是兩個標(biāo)準(zhǔn)的布朗運動,且相關(guān)系數(shù)corr(dW1t,dW2t)=ρ。典型地,ρ<0,這意味著資產(chǎn)收益率與波動率之間存在負(fù)向相關(guān)關(guān)系,即負(fù)的收益率聯(lián)系著一個波動率的增加,這代表“杠桿效應(yīng)”。從(1)中可以看到,波動率過程與Chan等提出的用來描述利率過程的CEV模型相似,因此,非仿射隨機波動率模型(1)在很多文獻(xiàn)中也被稱為CEV模型。在非仿射隨機波動率模型(1)中,對于不同的參數(shù)限定,可以得到不同的嵌套模型,例如Heston模型(γ=1)和Nelson提出的GARCH擴散模型(γ=2)。因此,我們研究的非仿射隨機波動率模型具有較強的一般性,應(yīng)用前景廣泛。事實上,非仿射隨機波動率模型(1)在金融計量經(jīng)濟學(xué)文獻(xiàn)中已經(jīng)引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注,例如Chacko和Viceira,Chernov等,Jones,Ait-Sahalia和Kimmel,Chourdakis和Dotsis,Christoffersen等。根據(jù)風(fēng)險中性定價原理,為了計算期權(quán)的價格,我們需要確定風(fēng)險中性概率測度下的隨機過程。根據(jù)Heston和Jones,假設(shè)方差風(fēng)險溢價是方差的線性函數(shù),即λ(St,vt,t)=λvt,則風(fēng)險中性調(diào)整的非仿射隨機波動率模型為:dSt=rStdt+√vtStdW*1tdvt=κ*(θ*-vt)dt+σvγ/2tdW*2t(2)其中r是無風(fēng)險利率,κ*=κ+λ,θ*=κθ/(κ+λ)。W*1t和W*2t是風(fēng)險中性概率測度P*下標(biāo)準(zhǔn)的布朗運動,且相關(guān)系數(shù)corr(dW*1t,dW*2t)=ρ。2.2線性偏微分方程的近似根據(jù)Carr和Madan(1999),為了應(yīng)用FFT,我們需要計算風(fēng)險中性概率測度下標(biāo)的資產(chǎn)對數(shù)價格lnST的特征函數(shù):f*(x,v,τ;φ)=E*[eiφlnST|lnSt=x,vt=v](3)其中Τ≥t,τ=Τ-t,i=√-1,E*[?]為風(fēng)險中性概率測度下的期望。給定風(fēng)險中性概率測度下標(biāo)的資產(chǎn)價格動態(tài)過程(2),根據(jù)Feynman-Kac定理,可知特征函數(shù)f*(x,v,τ;φ)滿足如下的偏微分方程12v?2f?x2+ρσv(γ+1)/2?2f?x?v+12σ2vγ?2f?v2+(r-12v)?f?x+κ*(θ*-v)?f?v-?f?τ=0(4)邊界條件為:f*(x,v,0;φ)=eiφlnST(5)顯然,方程(4)是一個非線性偏微分方程,通常情況下我們無法獲得其解析解。下面,我們應(yīng)用擾動法,使用線性偏微分方程對其進(jìn)行近似。將v(γ+1)/2和vγ在方差的長期均值v=θ*處一階泰勒近似展開,得到:v(γ+1)/2≈θ*(γ+1)/2(1-γ2)+γ+12θ*(γ-1)/2v(6)vγ≈θ*γ(1-γ)+γθ*γ-1v(7)將(6)和(7)代入方程(4),我們得到如下近似方程:12v?2f?x2+ρσ[θ*(γ+1)/2(1-γ2)+γ+12θ*(γ-1)/2v]×?2f?x?v+12σ2[θ*γ(1-γ)+γθ*γ-1v]?2f?v2+(r-12v)×?f?x+κ*(θ*-v)?f?v-?f?τ=0(8)可以看到,此時(8)是一個線性的偏微分方程。為了求解(8),采用待定系數(shù)法,假設(shè)特征函數(shù)f*(x,v,t;φ)具有如下的函數(shù)形式:f*(x,v,τ;φ)=eC(τ)+D(τ)v+iφx(9)為了滿足邊界條件,我們有:C(0)=D(0)=0(10)將(9)代入方程(8),我們有:?C?τ+?D?τv=12σ2θ*γ(1-γ)D2+[ρσiφθ*(γ+1)/2(1-γ2)+κ*θ*]D+riφ+[12σ2γθ*γ-1D2+[ρσiφγ+12θ*(γ-1)/2-κ*]D+12iφ(iφ-1)]v(11)整理得:?C?τ=12σ2θ*γ(1-γ)D2+[ρσiφθ*(γ+1)/2(1-γ2)+κ*θ*]D+riφ(12)?D?τ=12σ2γθ*γ-1D2+[ρσiφγ+12θ*(γ-1)/2-κ*]D+12iφ(iφ-1)(13)(12)和(13)是兩個線性的常微分方程,容易求得其解為:C(τ)=iφrτ-1γθ*γ-1σ2[ρσiφθ*(γ+1)/2(1-γ2)+κ*θ*]×[2ln(2d-(d-g)(1-e-dτ)2d)+(d-g)τ]+σ2θ*γ(1-γ)2(σ2γθ*γ-1)2[-4gln(2d-(d-g)(1-e-dτ)2d)+(d2-g2)(d-g)τ+(d-g)3e-dττ-4d(d-g)(1-e-dτ)2d-(d-g)(1-e-dτ)](14)D(τ)=2ζ(1-e-dτ)2d-(d-g)(1-e-dτ)(15)其中:ζ=-12(iφ+φ2)d=√g2-2σ2ζγθ*γ-1g=κ*-ρσγ+12θ*(γ-1)/2iφ3歐洲的優(yōu)先性價格3.1標(biāo)的資產(chǎn)1.k根據(jù)Carr和Madan,一旦得到了風(fēng)險中性概率測度下標(biāo)的資產(chǎn)對數(shù)價格分布的特征函數(shù),我們便可以利用傅里葉變換及其逆變換得到歐式期權(quán)的定價公式,利用FFT可以實現(xiàn)定價公式的快速數(shù)值計算?？紤]到期期限為T的歐式看漲期權(quán),設(shè)期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)到期日的即期價格為ST,用k表示期權(quán)執(zhí)行價格K的對數(shù),即k=lnK,CT(k)表示期限為T、執(zhí)行價格為ek的看漲期權(quán)在當(dāng)前時刻的理論價格。假設(shè)時刻T標(biāo)的資產(chǎn)價格ST的對數(shù)sT=lnST在風(fēng)險中性概率測度下的分布密度函數(shù)為qT(s)。根據(jù)風(fēng)險中性定價原理,歐式看漲期權(quán)的價格為:CT(k)=e-rT∫∞k(es-ek)qT(s)ds(16)然而,考慮到CT(k)在(-∞,∞)上不是平方可積的,Carr和Madan定義了如下調(diào)整的看漲期權(quán)價格:cT(k)=eαkCT(k)(17)其中α>0是阻尼因子。對cT(k)作傅里葉變換:ψT(ξ)=∫∞-∞eiξkcT(k)dk(18)將(16)和(17)代入(18),我們有:ψΤ(ξ)=∫-∞∞eiξkeαke-rΤ∫k∞(es-ek)qΤ(s)dsdk=∫-∞∞e-rΤqΤ(s)∫-∞s(es+αk-e(α+1)k)eiξkdkds=∫-∞∞e-rΤqΤ(s)[e(α+1+iξ)sα+iξ-e(α+1+iξ)sα+1+iξ]ds=e-rΤf*(x,v,Τ;φ=ξ-(α+1)i)α2+α-ξ2+i(2α+1)ξ(19)其中f*是風(fēng)險中性概率測度下標(biāo)的資產(chǎn)對數(shù)價格sT=lnST的特征函數(shù)。從而,通過傅里葉逆變換我們可以得到歐式看漲期權(quán)的價格:CΤ(k)=e-αk2π∫-∞∞e-iξkψΤ(ξ)dξ=e-αkπ∫0∞e-iξkψΤ(ξ)dξ(20)對積分(20)使用數(shù)值積分的復(fù)合梯形公式,我們有:CΤ(ku)≈e-αkuπ∑j=1Νe-i2πΝ(j-1)(u-1)eibξjψΤ(ξj)η(21)其中ξj=η(j-1)ku=-b+2bΝ(u-1)b=Νλ2λη=2πΝ事實上,期權(quán)定價公式(21)的精確性還可以進(jìn)一步改進(jìn),對(20)使用復(fù)合Simpson公式,我們得到歐式看漲期權(quán)的價格為:CΤ(ku)≈e-αkuπ∑j=1Νe-i2πΝ(j-1)(u-1)eibξj×ψΤ(ξj)η3(3+(-1)j-δj-1)(22)其中δn是Kronecker-δ函數(shù),即:δn={1,當(dāng)n=00,其它顯然,在數(shù)值計算上,(22)可以直接應(yīng)用FFT進(jìn)行計算。3.2fft不斷被強調(diào)的模型參數(shù)c下面,我們討論FFT期權(quán)定價方法的定價精確性。FFT期權(quán)定價算法采用MATLAB軟件編程,在IntelCore21.79GHz計算機上實現(xiàn)。為比較起見,我們采用MonteCarlo方法作為基準(zhǔn)。根據(jù)風(fēng)險中性定價方法,到期期限為T、執(zhí)行價格為K的歐式看漲期權(quán)的價格為:C=e-rTE*[max{ST-K,0}](23)其中E*[·]是風(fēng)險中性概率測度下的期望。從而,歐式看漲期權(quán)價格的MonteCarlo估計為:C?=e-rΤ1Μ∑i=1Μmax{SΤ(i)-Κ,0}(24)其中M是標(biāo)的資產(chǎn)價格路徑模擬數(shù)目。為了實際應(yīng)用FFT期權(quán)定價方法,我們需要確定參數(shù)η,N和α。我們設(shè)定η=0.25和N=4096,相應(yīng)的對數(shù)執(zhí)行價格的間隔為8π/4096≈0.0061,這對于實際應(yīng)用已經(jīng)足夠。對于阻尼因子α,我們設(shè)為α=3。其它參數(shù)為κ=10,θ=0.2,σ=0.7,ρ=-0.5,γ=2,λ=0,v0=0.2,r=5%,T=1,S0=1。我們使用FFT期權(quán)定價方法計算看漲期權(quán)的價格,然后將其與用M=50000抽樣路徑得到的MonteCarlo估計結(jié)果進(jìn)行比較。表1給出了FFT期權(quán)定價的結(jié)果?？梢钥吹?FFT期權(quán)定價方法的絕對百分誤差(|PE|)沒有超過1.6%,表明FFT期權(quán)定價方法是非常精確的。而且,在數(shù)值實驗中,我們發(fā)現(xiàn)FFT期權(quán)定價方法計算4096個對應(yīng)不同執(zhí)行價格的期權(quán)價格只需大約0.03秒,而MonteCarlo模擬計算一個期權(quán)價格需要大約12秒,FFT期權(quán)定價方法的計算速度比MonteCarlo模擬方法快400倍。實際應(yīng)用中往往需要同時計算多個不同執(zhí)行價格下的期權(quán)價格,和MonteCarlo模擬相比,顯然FFT期權(quán)定價方法具有更高的計算效率和更快的計算速度。3.3“波動率”曲線快速和精確的FFT期權(quán)定價方法允許我們進(jìn)一步研究非仿射隨機波動率模型隱含的“波動率微笑”。圖1和圖2分別顯示了不同的γ值(γ=1,1.5和2)和相關(guān)系數(shù)ρ值(ρ=0,-0.5和-1)對隱含波動率曲線的影響?？梢钥吹?隨著γ或者負(fù)相關(guān)性的增加,隱含波動率都有很明顯的下降趨勢。4模型價格與市場價格之間的關(guān)系在期權(quán)定價模型的實際應(yīng)用中,模型的參數(shù)估計一直是一個難點。通常,我們可以采用兩種不同的估計方法:第一種是采用標(biāo)的資產(chǎn)價格歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行估計;第二種是采用期權(quán)價格數(shù)據(jù)估計市場隱含的模型參數(shù)。在第一種方法中,我們只能得到客觀概率測度下的模型參數(shù),而期權(quán)市場中的投資者更加關(guān)心市場期權(quán)價格數(shù)據(jù)中所隱含的模型參數(shù)(風(fēng)險中性參數(shù))。由于本文估計模型參數(shù)的主要目的是為了定價,因此,我們采用第二種方法來估計模型參數(shù)。在非仿射隨機波動率模型中,有6個參數(shù)需要估計:κ*,θ*,σ,ρ,γ和v0,我們將通過求解如下的最小化問題來確定模型參數(shù):minΘ∑i=1Ν(CiΘ(Κi,Τi)-CiΜ(Κi,Τi))2+p(Θ,Θ0)(25)其中Θ=(κ*,θ*,σ,ρ,γ,v0)是參數(shù)向量,Θ0是參數(shù)向量的初值,CΘi(Ki,Ti)和CiΜ(Ki,Ti)分別表示執(zhí)行價格為Ki、到期日為Ti的期權(quán)模型價格與市場價格,p(Θ,Θ0)是一個罰函數(shù)。根據(jù)Mikhailov和Nogel,本文我們?nèi)×P函數(shù)為p(Θ,Θ0)=||Θ-Θ0||2。可以看到,在最小化問題(25)中,我們需要計算權(quán)證的模型價格CΘi,快速和精確的FFT期權(quán)定價方法為我們提供了一個非常有力的工具。最小化問題(25)可以通過不同的算法進(jìn)行求解,例如模擬退火算法(simulatedannealing,SA),自適應(yīng)模擬退火算法(adaptivesimulatedannealing,ASA),Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno(BFGS)算法,以及Nelder-Mead單純形算法等?？紤]到即使是在B-S模型下,CΘi是參數(shù)的非線性函數(shù),最小化問題(25)的目標(biāo)函數(shù)不一定是關(guān)于模型參數(shù)的凸函數(shù),因此,為了避免陷入局部最優(yōu)解,我們需要采用能得到全局最優(yōu)解的算法。本文中我們采用ASA算法,它是一個全局最優(yōu)化算法,可以得到模型參數(shù)的一個全局最優(yōu)解。我們采用2011年3月3日香港金融市場上的恒生指數(shù)認(rèn)購權(quán)證數(shù)據(jù)估計非仿射隨機波動率模型參數(shù)。數(shù)據(jù)來源于香港交易所(HKEx),包括12個不同到期日的172支權(quán)證(每個到期日包含不同的執(zhí)行價的權(quán)證)。取參數(shù)向量的初值為Θ0=(5,0.5,1,-0.5,2.5,0.1),采用ASA算法求解最小化問題(25),得到模型參數(shù)估計見表2。從表2可以看到,恒生指數(shù)方差的長期均值為θ*=0.0997,相當(dāng)于年化波動率約為31.58%,方差均值回歸的速度為κ*=0.6143,杠桿效應(yīng)參數(shù)ρ值為-0.5934,它是一個負(fù)值,說明恒生指數(shù)收益率與波動率過程存在顯著的