數(shù)學(xué)建模降落傘的選購問題123

數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)建模實(shí)訓(xùn)論文實(shí)訓(xùn)題目：降落傘的選購模型學(xué)生、學(xué)號(hào)、專業(yè)班級(jí)指導(dǎo)教師:2014年12月降落傘的選購模型摘要近幾年自然災(zāi)害頻繁發(fā)生，因此得進(jìn)行大規(guī)模的搶險(xiǎn)救災(zāi)活動(dòng)，例如汶川大地震。所以降落傘的選購是一個(gè)最大問題。選擇合理的降落傘并使投資費(fèi)用最少是值得我們考慮的問題。本題目就是關(guān)于降落傘的選購方案的最優(yōu)化問題，目的是在滿足空投要求的條件下，使費(fèi)用最少，從而達(dá)到節(jié)約支出的目的。為了方便研究我們先進(jìn)行受受力分析：把降落傘和物資看做一個(gè)整體，忽略了傘和繩子的質(zhì)量，降落傘在降落過程中除受到豎直向下的重力作用外還受到豎直向上的空氣阻力的作用，而由題可知空氣阻力又與阻力系數(shù)(k)、加速度(a)、傘的受力面積(s)有關(guān)。運(yùn)動(dòng)速度(v)和受力面積(s)是已知的，所以要想確定每種傘的最大承載量，就必須先要確定空氣的阻力系數(shù)(k)。為了方便對(duì)物資進(jìn)行受力分析，我們把降落傘和物資看作一個(gè)整體?？芍矬wA只受到豎直向上的空氣阻力和豎直向下的重力作用。又由題可知空氣阻力與降落速度v和傘的受力面積S的乘積成正比。則物體A在豎直方向上受到的合外力為：F^=mg-kSv合通過對(duì)降落傘在空中的受力情況的分析建立起了高度與時(shí)間的方程，然后以高度與時(shí)間的方程作為擬合曲線與題中給出的時(shí)間與高度的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得出阻力系數(shù)k的值k=2.9377。我們建立了速度與質(zhì)量的方程，并證明其為嚴(yán)格增函數(shù)(證明過程見建模與求解)。由于題中已限制降落傘的最大落地速度為20m/s，所以當(dāng)速度為20m/s時(shí)，傘的承載量最大。建立高度與時(shí)間，速度與時(shí)間的方程組，代入最大速度20m/s，高度500m,傘的半徑（題中已給出可能選購的每種傘的半徑）。傘面費(fèi)用C1、繩索費(fèi)用C2、固定費(fèi)用C3。傘面費(fèi)用由傘的半徑r決定；繩索費(fèi)用C2由繩索的長度及單價(jià)決定，由圖一可知繩索的長度又由降落傘的半徑?jīng)Q定即L=。r，則繩索費(fèi)用為C=4*<2r*16；固定費(fèi)用為定值q=200，總費(fèi)用C=C1+C2+C3最后運(yùn)用LINGO軟件進(jìn)行線性規(guī)劃求解得一共需要四個(gè)n2=0，n2.5=0，A3=1，n33.5=1，n4=2最少總費(fèi)用為3682.34元。關(guān)鍵字：最大承載量、線性規(guī)劃、Matlab、數(shù)據(jù)擬合一■問題的重述向?yàn)?zāi)區(qū)空投救災(zāi)物資共2000公斤，需選購一批降落傘。已知空投高度為500米，要求降落傘落地時(shí)的速度不能超過20米/秒。降落傘面是半徑為廠的半球面，用16根每根長為L的繩索連接的載重m位于球心正下方球面處。每個(gè)降落傘的價(jià)格由三部分組成。傘面費(fèi)用q由傘的半徑r決定，見表1-1；繩索費(fèi)用q由繩索總長度及單價(jià)4元/米決定；固定費(fèi)用q為200元。降落傘在降落過程中受到的空氣阻力，可以認(rèn)為與降落速度和傘面積的乘積成正比。為了確定阻力系數(shù)，用半徑為r=3米、載重m=300公斤的降落傘從500米高度做降落試驗(yàn)，測得各時(shí)刻珀勺高度「見表1-2。試確定降落傘的選購方案，即共需多少個(gè)，每個(gè)傘的半徑多大（在表1-1中選擇），在滿足空投要求的條件下，使得費(fèi)用最低。表1-1降落傘的傘面費(fèi)用半徑（米）2.02.53.03.54.0傘面費(fèi)用C1（元）75140220350500表1-2降落試驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)時(shí)刻六秒）036912151821242730高度x（米）500470425372317264215160108551二、模型的假設(shè)1、空投物資的總數(shù)2000kg可以任意分割；2、假設(shè)空投物資的瞬時(shí)傘已打開；3、降落傘和繩的質(zhì)量可以忽略不計(jì)；4、降落傘的落地速度不會(huì)超過20m/s；5、空氣的阻力系數(shù)與除空氣外的其它因素?zé)o關(guān);6、假設(shè)降落傘只受到豎直方向上的空氣阻力作用；7、每個(gè)降落傘載的物重都不會(huì)超過降落過程中的最大載重。三、符號(hào)說明f 空氣阻力k 阻力系數(shù)M(廠)半徑為r的降落傘的最大載重sr 半徑為r的降落傘的傘面面積H3 t時(shí)刻降落傘的下降高度v(t) t時(shí)刻降落傘的下降速度nr 購買半徑為r的降落傘數(shù)目C1 傘面費(fèi)C2 繩索費(fèi)C3 固定費(fèi)用L 降落傘每根繩索的長度。 降落傘的加速度g 重力加速度,g=9.8m/s2、問題的分析由題意可知每個(gè)傘的價(jià)格由三部分組成：傘面費(fèi)用C1、繩索費(fèi)用c2、固定費(fèi)用c3。傘面費(fèi)用由傘的半徑r決定；繩索費(fèi)用C2由繩索的長度及單價(jià)決定，由圖一可知繩索的長度又由降落傘的半徑?jīng)Q定即L7丫，則繩索費(fèi)用為C廣4*收r*16；固定費(fèi)用為定值q=200。因?yàn)轭}中已給出每種傘面的半徑，所以每種傘的價(jià)格為定值。要想確定選購方案，即共需半徑(在題中給出的半徑中選擇)為多大的傘的數(shù)量，在滿足空投物資要求的條件下使總費(fèi)用最少。因此，我們需要確定每種傘的最大承載量。然后進(jìn)行線性規(guī)劃，確定總費(fèi)用最少和每種傘的個(gè)數(shù)。要確定最大載重量，我們需對(duì)降落傘進(jìn)行受力分析(如圖4.2)。降落傘在降落過程中除受到豎直向下的重力作用外還受到豎直向上的空氣阻力的作用，而由題可知空氣阻力又與阻力系數(shù)(k)、運(yùn)動(dòng)速度(a)、傘的受力面積(S)有關(guān)。運(yùn)動(dòng)速度(v)和受力面積(s)是已知的，所以要想確定每種傘的最大承載量，就必須先要確定空氣的阻力系數(shù)(k)。圖4.1圖4.2對(duì)圖4.2的分析可知降落傘的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是做加速度趨近于0的加速運(yùn)動(dòng)。因此，我們可以建立一個(gè)位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，在根據(jù)題中所給的數(shù)據(jù)擬合出阻力系數(shù)k的值。然后再建立一個(gè)速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立求解出最大載重量(其中高度和速度由題目已經(jīng)給出)。最后用LINGO軟件進(jìn)行線性規(guī)劃算出問題要的結(jié)果。(1)首先確定的系數(shù)k

為了方便對(duì)物資進(jìn)行受力分析，我們把降落傘和物資看作一個(gè)整體如圖二。由假設(shè)5可知物體A只受到豎直向上的空氣阻力和豎直向下的重力作用。又由題可知空氣阻力與降落速度v和傘的受力面積S的乘積成正比。則物體A在豎直方向上受到的合外力=mg=mg-kSv由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程得mg一kSv

m由物體位移H和時(shí)間（t）的二次微分等于加速度建立方程得d2Hmg一kSvdt2用MATLAB解微分方程得（程序見附錄1）TOC\o"1-5"\h\zJCDHBimdViudav [. |X|liLegditBehucJkskt爪 Htlp aI1-VWqvtaIYUJLAI?thie￥i*凡Ikm工orTQO.dStcrtiad. 算?B=dsolve『加*口2H"DH53"/H(0)=0?DH(0)=0'/tP) -r色打T2和盯力力-(例如？- (S~2*k-2JImgt m2g+^^-———kS k2S2mgt m2g~kS~k2S2題目已經(jīng)給t-h數(shù)據(jù)為

時(shí)刻t（s）036912151821242730高度h（m）500470425372317264215160108551對(duì)給定的數(shù)據(jù)以h（t）為擬合函數(shù)進(jìn)行擬合，r=3m,m=300kg,g=9.8,s=2兀r2得出k=2.9377。（程序見附錄2）IComBinKlVxudavEiLeEdit Utsktopfind。汗HelpMqvta ￥atckthi= *口,=4^MmorrQ4.d幣慮Startsad."kMT占他 L52吐2J- 2- 性k2J?sdal：^[036gl2151g2182150]：ydala=[50D47042537231T2&1215160LOB551].xQ=[]J,K=13q.Gurvtfit(Sncrfiinl,kO,sdata,yd3ta)L口「alidnimuj!口口信“1|]■日.LjqcLLCvefi-fcs-tapped.hecullsethe￡ma.lcliHng.Eintherunofsquaresre1ivet□it:5inrtialvalueislessthanthedefaultvalueuftheEiiniTtiEit口Itiz&i匚：—?StqpciiiigcriSfia.dgtBilG|O7J1-=:（2）求解最大承載量用速度對(duì)時(shí)間的微分等于加速度，且v0=0建立方程組得:dv_mg一kSvvdtmvV0二0用MATLAB解得（程序見附錄3）—kStgmgmem店kS由前面的H(t)和v(t)函數(shù)建立方程組得v(t)=mg一mge才

ksksH(t)=%+4e?一生ksk2s2 k2s2S=2幾r2H=500—hk=2.9377,g=9.8,r=[22.533.54]因?yàn)榻德鋫阍谙侣溥^程中其質(zhì)量是不變的，所以我們把v(t)關(guān)系式中t看做一個(gè)定值，則關(guān)于m的方程為^kStgmgmem店kS從上式我們可以知道v(m)是關(guān)于m的單調(diào)遞增函數(shù)證明過程如下由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)大于零，則原函數(shù)是單調(diào)遞增的。一階導(dǎo)數(shù)小于零，則原函數(shù)是單調(diào)遞減的。gmgmemkSkS對(duì)v(m)求一階導(dǎo)數(shù)得—kSt —kSt一gemgtemg

V（mX 一丁+戰(zhàn)由上式分析可知無法確定其是否大于零，在對(duì)其求二階導(dǎo)數(shù)為v'、（m）=則一階導(dǎo)數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)m趨近于無窮大時(shí)對(duì)一階導(dǎo)數(shù)求極限可知—kSt —kStlim（一"-ge^+且）=1+g=0m…kS m SkkSkS由此可得v'(m)>0則原函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，即速度V和m是成正比關(guān)系的。又如果存在平衡狀態(tài)則必須滿足mg=kvs，那么v=鱉而又通過對(duì)ksv(t)=等-等e寸分析，只有在tf+8時(shí)，才有丫(t)f等，這與實(shí)際矛盾，故降落ksks ks傘是一直做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，不存在平衡狀態(tài)。因此，求最大載重量取傘在下降到地面的瞬間達(dá)到最大速度v(t)=20m/s，此時(shí)H(t)=500m，由方程組調(diào)用MATLAB分別解得半徑為r的降落傘在滿足空投條件下的最大載重量M(r)如下表(程序見附錄5)

CdhbanilVimLiv [.||b|['X|lileEditBehucQe5ktopfind中mHtlp?NqvtaIYUJLAI?￥o.tchthie￥i*凡Umm&orTQ4.d『ttin」Stcrtiad.X：--XO-riL': ?；M：白二Aoptions=ajrtinset(?Displayj?itei'),N顯示輸出信息乂=fsoly&f'ftrrrfi-Qi,yDjoptions)Wornof First-order 7rust-reciotiIterationFunc-caurrt f(k) step optinslityisddusQ 3 25D313 43.3 11 6 25DL5D 1 72.6 12 9 2*375 2.5 141 2.51：, 九％ ：格 ■■.：,-q 15 2211ID 15.6E5 75Z 15.65 1：5 1Q131E 3鞏0醛5 1,25&H)3 39.13 2L 161E9.9 。兀6563 L犯巾)3 9L77 24 5T2上匕 9'57陰 L51/03 9L7Aa 27 L21483E-07 3.78^198 D.QD528 9L79 30 3.19748^15 0,00269666 1.23^06 9L7改變r(jià)的大小用matlab計(jì)算最后整理得表5-1不同半徑降落傘的最大載重量r（m）22.533.54最大承載M（r）（kg）151.0942236.0847339.9620462.7260604.3768（3）線性規(guī)劃求解數(shù)量和費(fèi)用由分析可知每種傘的單價(jià)C=C1+C2+C3由題可知C1為表1-1降落傘的傘面費(fèi)用r（m）22.533.54J（元）75140220350500C2為C2=16x,2rX4C3為固定值即C3=200由以上數(shù)據(jù)求得每種傘的單價(jià)見下表表5-2購買不同半徑的降落傘的各需總費(fèi)用r(m)22.533.54C2（元）181.12226.56271.3316.80362.24C456.12566.5691.3866.801062.24我們?cè)O(shè)每種傘分別取n2,n25n3,n35n4個(gè)廁其目標(biāo)函數(shù)為minC=456.12n2+566.56n25+691.36n3+866.80n35+1062.24n4’151.0942n2+236.0847n25+339.9620n3+462.7260n35+604.3768n4>2000st《 n,n,n,n,ngZ? 2 25 3 3,5 4r=2,2.5,3,3.5,4對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化求解C的最小值，就是所需的最小費(fèi)用。用LINGO求解得（程序見附件6）n2=0n2,5=0n3=1n3,5=1n4=2最少總費(fèi)用為3682.34元。六、模型的評(píng)價(jià)與推廣優(yōu)點(diǎn)：本模型的求解過程大量的運(yùn)用了電腦軟件，使得計(jì)算更加精確。缺點(diǎn):1、本模型未考慮降落傘打開的時(shí)間，將其假設(shè)成在下降時(shí)傘就已經(jīng)打開。2、由于在實(shí)際生活中降落傘還受到風(fēng)向的影響，本模型假設(shè)的是理想的狀態(tài)下（無風(fēng)）推廣：1、當(dāng)降落傘的半徑仍為2m,2.5m,3m,3.5m,4m五種時(shí),其它條件不變，現(xiàn)在救災(zāi)物資很多，超過3000kg要求確定選購方案，則只需將其相應(yīng)數(shù)據(jù)改為其它數(shù)據(jù)，如5000kg,9000kg等，就可求出相應(yīng)的選購方案及總費(fèi)用.2、由于本模型假設(shè)的是在物資拋落的瞬時(shí)傘已打開，而在實(shí)際情況中物資拋落后應(yīng)有一段自由落體運(yùn)動(dòng)。在模型的改進(jìn)時(shí)應(yīng)考慮到這一點(diǎn)，以便讓模型更切合實(shí)際。七、參考文獻(xiàn)1、郭高鵬.降落傘的選購問題.docin./p-249481372.html2015-1-62、蕭樹鐵主編.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].,:高等教育，1999713、許波.MATLAB工程數(shù)學(xué)應(yīng)用[M].:清華大學(xué)4、全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會(huì)，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽優(yōu)秀論文匯編，：中國物價(jià)，20025、謝金星，薛毅，優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件，：清華大學(xué)，2005附錄1H=dsolve('m*D2H+k*S*DH=m*g','H(0)=0,DH(0)=0','t')得：g/kA2/SA2*mA2*exp(-k*S/m*t)+g/k/S*m*t-1/kA2/SA2*mA2*g附錄2擬合k建立一^個(gè)名為myfunl的m文件functionF=myfun1(x,xdata)s=2*pi*3A2;m=300;g=9.8;F=500-mA2*g/(x(1)A2*sA2)*exp(-x(1)*s*xdata/m)-m*g*xdata/(x(1)*s)+mA2*g/(x(1)A2*sA2);在matlabcommandwindow中輸入下列命令：xdata=[036912151821242730];ydata=[500 470 425 372 317 264 215 160 108 551];x0=[1];x=lsqcurvefit(myfun1,x0,xdata,ydata)附錄3求解Vv=dsolve('m*Dv+k*S*v-m*g=0','v(0)=0','t')得：v(t)=絲-絲e，kSkS附錄4symsmtgSk；f=g*m/(k*S)-g*m/(k*S)*exp(-k*S*t/m);diff(f,’m’2)求得-g/mA3*tA2*k*s*exp(-k*s/m*t)附錄5求最大承載量在matlab中建立一個(gè)名為myfun的m文件，如下：functionF=myfun(x)r=2.5; %依次輸入不同半徑g=9.8;k=2.9458;s=2*pi*rA2;F=[x(1)A2*g/(kA2*sA2)*exp(-k*s*x(2)/x(1))+x(1)*g*x(2)/(k*s)-x(1)