第21講“三向”行程問題（教）

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號：年級：五年級課時數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：奧數(shù)學(xué)科教師：授課主題第21講——“三向”行程問題授課類型T同步課堂P實戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)教學(xué)目標熟練掌握“路程和＝速度和×?xí)r間”這一公式并能利用其解決相向行程問題（相遇問題）、同向行程問題（追及問題）、背向行程問題（相離問題）。授課日期及時段T（Textbook-Based）——同步課堂知識梳理知識梳理一、相向行程問題（相遇問題）甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實質(zhì)上是甲和乙一起走了A,B之間這段路程，如果兩人同時出發(fā)，那么相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇時間+乙的速度×相遇時間＝（甲的速度+乙的速度）×相遇時間＝速度和×相遇時間.一般地，相遇問題的關(guān)系式為：速度和×相遇時間=路程和，即二、同向行程問題（追及問題）有兩個人同時行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問題”.實質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計算兩人走的路程之差（追及路程）.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同的時間（追及時間）內(nèi)：追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及時間-乙的速度×追及時間＝（甲的速度-乙的速度）×追及時間＝速度差×追及時間.一般地，追擊問題有這樣的數(shù)量關(guān)系：追及路程=速度差×追及時間，即例如：假設(shè)甲乙兩人站在100米的跑道上，甲位于起點(0米)處，乙位于中間5米處，經(jīng)過時間t后甲乙同時到達終點，甲乙的速度分別為和，那么我們可以看到經(jīng)過時間t后，甲比乙多跑了5米，或者可以說，在時間t內(nèi)甲的路程比乙的路程多5米，甲用了時間t追了乙5米三、背向行程問題（相離問題）相離問題：“兩物體從同一地點出發(fā)，相背而行”，注意對“速度和”的理解，注意時間的因素圖示：甲出發(fā)點乙AB關(guān)系式：相離距離=速度和×相背而行的時間.典例分析典例分析考點一：相向行程問題（相遇問題）例1、一輛客車與一輛貨車同時從甲、乙兩個城市相對開出，客車每小時行46千米，貨車每小時行48千米。3.5小時兩車相遇。甲、乙兩個城市的路程是多少千米？【解析】本題是簡單的相遇問題，根據(jù)相遇路程等于速度和乘以相遇時間得到甲乙兩地路程為：（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）．例2、大頭兒子的家距離學(xué)校3000米，小頭爸爸從家去學(xué)校接大頭兒子放學(xué)，大頭兒子從學(xué)?；丶遥麄兺瑫r出發(fā)，小頭爸爸每分鐘比大頭兒子多走24米，50分鐘后兩人相遇，那么大頭兒子的速度是每分鐘走多少米？【解析】大頭兒子和小頭爸爸的速度和：(米/分鐘)，小頭爸爸的速度：(米/分鐘)，大頭兒子的速度：(米/分鐘)．例3、甲、乙兩輛汽車分別從、兩地出發(fā)相對而行，甲車先行小時，甲車每小時行千米，乙車每小時行千米，小時相遇，求、兩地間的距離．【解析】這題不同的是兩車不“同時”．（法）求、兩地間的路程就是求甲、乙兩車所行的路程和．這樣可以充分別求出甲車、乙車所行的路程，再把兩部分合起來．（千米），（千米），（千米）．（法）還可以先求出甲、乙兩車小時所行的路程和，再加上甲車小時所行的路程．（千米），（千米）．例4、甲、乙兩輛汽車分別從、兩地出發(fā)相向而行，甲車先行3小時后乙車從地出發(fā)，乙車出發(fā)小時后兩車還相距千米．甲車每小時行千米，乙車每小時行千米．求、兩地間相距多少千米？【解析】題目中寫的“還”相距千米指的就是最簡單的情況。畫線段圖如下：由圖中可以看出，甲行駛了(小時)，行駛距離為：(千米)；乙行駛了小時，行駛距離為：(千米)，此時兩車還相距千米，所以、兩地間相距：(千米)也可以這樣做：兩車小時一共行駛：(千米)，、兩地間相距：(千米)，所以，、兩地間相距千米．例5、甲、乙二人分別從東、西兩鎮(zhèn)同時出發(fā)相向而行．出發(fā)小時后，兩人相距千米；出發(fā)小時后，兩人還相距千米．問出發(fā)多少小時后兩人相遇？【解析】根據(jù)小時后相距千米，小時后相距千米，可以求出甲、乙二人小時行的路程和為千米，即可求出兩人的速度和：（千米），根據(jù)相遇問題的解題規(guī)律；相隔距離÷速度和=相遇時間，可以求出行千米需要：（小時）．例6、兩列城鐵從兩城同時相對開出，一列城鐵每小時走千米，另一列城鐵每小時走千米，在途中每列車先后各停車次，每次停車分鐘，經(jīng)過小時兩車相遇，求兩城的距離？【解析】速度和：（千米），兩城距離：（千米）．例7、兩地相距3300米，甲、乙二人同時從兩地相對而行，甲每分鐘行82米，乙每分鐘行83米，已經(jīng)行了15分鐘，還要行多少分鐘兩人可以相遇？【解析】根據(jù)題意列綜合算式得到：（分鐘），所以兩個人還需要5分鐘相遇。例8、甲、乙二人同時從地去地，甲每分鐘行米，乙每分鐘行米，乙到達地后立即返回，并與甲相遇，相遇時，甲還需行分鐘才能到達地，、兩地相距多少米？【解析】相遇時甲走了距離減去(米)，乙走了距離加上米，乙比甲多走了米，這個路程差需要(分鐘)才能達到，這分鐘兩人一共行走了米．所以距離為米．考點二：同向行程問題（追及問題）例1、甲、乙兩地相距240千米，一列慢車從甲地出發(fā)，每小時行60千米．同時一列快車從乙地出發(fā)，每小時行90千米．兩車同向行駛，快車在慢車后面，經(jīng)過多少小時快車可以追上慢車？（火車長度忽略不計）【解析】追及路程即為兩地距離240千米，速度差（千米），所以追及時間（小時）。例2、甲、乙兩列火車同時從地開往地，甲車小時可以到達，乙車每小時比甲車多行千米，比甲車提前小時到達．求、兩地間的距離．【解析】這道題的路程差比較隱蔽，需要仔細分析題意，乙到達時，甲車離終點還有兩小時的路程，因此路程差是甲車兩小時的路程．方法一：如圖：甲車小時可以到達，乙車比甲車提前小時到達，因此，乙車到達時用了：(小時)，此時路程差為：(千米)，此時路程差就是甲車小時的路程，所以甲車速度為：(千米/小時)，、兩地間的距離：(千米)方法二：如圖：假設(shè)兩車都行了小時，則甲車剛好到達，乙車則超出了：(千米)，這段路程正好是乙車小時走的，因此乙車速度：(千米/小時)，乙車到達時用了：(小時)，、兩地間的距離：(千米)。例3、軍事演習(xí)中，“我”海軍英雄艦追及“敵”軍艦，追到A島時，“敵”艦已在10分鐘前逃離，“敵”艦每分鐘行駛1000米，“我”海軍英雄艦每分鐘行駛1470米，在距離“敵”艦600米處可開炮射擊，問“我”海軍英雄艦從A島出發(fā)經(jīng)過多少分鐘可射擊敵艦？【解析】“我”艦追到A島時，“敵”艦已逃離10分鐘了，因此，在A島時，“我”艦與“敵”艦的距離為10000米（=1000×10）.又因為“我”艦在距離“敵”艦600米處即可開炮射擊，即“我”艦只要追上“敵”艦9400（=10000米-600米例4、龜、兔進行1000米的賽跑．小兔斜眼瞅瞅烏龜，心想：“我小兔每分鐘能跑100米，而你烏龜每分鐘只能跑10米，哪是我的對手．”比賽開始后，當小兔跑到全程的一半時，發(fā)現(xiàn)把烏龜甩得老遠，便毫不介意地躺在旁邊睡著了．當烏龜跑到距終點還有40米時，小兔醒了，拔腿就跑．請同學(xué)們解答兩個問題：它們誰勝利了？為什么？⑴烏龜勝利了．因為兔子醒來時，烏龜離終點只有40米，烏龜需要(分鐘)就能到達終點，而兔子離終點還有500米，需要(分鐘)才能到達，所以烏龜勝利了．⑵烏龜跑到終點還要(分鐘)，而小兔跑到終點還要(分鐘)，慢1分鐘．當勝利者烏龜跑到終點時，小兔離終點還有：(米)．例5、小明步行上學(xué)，每分鐘行70米．離家12分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)小明的明具盒忘在家中，爸爸帶著明具盒，立即騎自行車以每分鐘280米的速度去追小明．問爸爸出發(fā)幾分鐘后追上小明？當爸爸追上小明時他們離家多遠？【解析】當爸爸開始追小明時，小明已經(jīng)離家：(米)，即爸爸要追及的路程為840米,也就是爸爸與小明的距離是840米，我們把這個距離叫做“路程差”，爸爸出發(fā)后，兩人同時走，每過1分，他們之間的距離就縮短(米)，也就是爸爸與小明的速度差為(米/分),爸爸追及的時間：(分鐘)．當爸爸追上小明時，小明已經(jīng)出發(fā)(分鐘)，此時離家的距離是：(米)例6、甲、乙兩架飛機同時從一個機場起飛，向同一方向飛行，甲機每小時行千米，乙機每小時行千米，飛行小時后它們相隔多少千米？這時候甲機提高速度用小時追上乙機，甲機每小時要飛行多少千米？【解析】①小時后相差多少千米：（千米）．②甲機提高速度后每小時飛行多少千米：（千米）．例7、王芳和李華放學(xué)后，一起步行去體校參加排球訓(xùn)練，王芳每分鐘走米，李華每分鐘走米，出發(fā)分鐘后，王芳返回學(xué)校取運動服，在學(xué)校又耽誤了分鐘，然后追趕李華．求多少分鐘后追上李華？【解析】已知二人出發(fā)分鐘后，王芳返回學(xué)校取運動服，這樣用去了分鐘，在學(xué)校又耽誤了分鐘，王芳一共耽誤了(分鐘)．李華在這段時間比王芳多走：(米)，速度差為：(米/秒)，王芳追上李華的時間是：(分鐘)。例8、甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離.【解析】先畫圖如下：若設(shè)甲、乙二人相遇地點為C，甲追及乙的地點為D，則由題意可知甲從A到CA到D則用26分鐘，因此，甲走C到D之間的路程時，所用時間應(yīng)為：（26-6）=20（分）。同時，由上圖可知，C、D間的路程等于BC加BD.即等于乙在6分鐘內(nèi)所走的路程與在26分鐘內(nèi)所走的路程之和，為50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度為1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B間的距離。50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分），（80+50）×6＝130×6=780（米）考點三、背向行程問題（相離問題）例1、兩列火車從相距千米的兩城背向而行，甲列車每小時行千米，乙列車每小時行千米，小時后，甲、乙兩車相距多少千米？【解析】因為是背向而行，所以每過1小時,兩車就多相距(千米),則小時后兩車相距是：（千米）．例2、小強每分鐘走米，小季每分鐘走米，兩人同時從同一地點背向走了分鐘，小強掉頭去追小季，追上小季時小強共走了多少米？【解析】小強走的時間是兩部分，一部分是和小季背向走的時間，另一部分是小季追他的時間，要求追及時間，就要求出他們的路程差．路程差是兩人相背運動的總路程：(米)追及時間為：(分鐘)小強走的總路程為：(米).例3、甲乙兩車分別從A、B兩地同時相向開出，4小時后兩車相遇，然后各自繼續(xù)行駛3小時，此時甲車距B地10千米，乙車距A地80千米．問：甲車到達B地時，乙車還要經(jīng)過多少時間才能到達A地?【解析】由4時兩車相遇知，4時兩車共行A，B間的一個單程．相遇后又行3時，剩下的路程之和10＋80＝90（千米）應(yīng)是兩車共行4－3＝1（時）的路程．所以A，B兩地的距離是（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）。因為7時甲車比乙車共多行80－10＝70（千米），所以甲車每時比乙車多行70÷7＝10（千米），又因為兩車每時共行90千米，所以每時甲車行50千米，乙車行40千米．行一個單程，乙車比甲車多用360÷40－360÷50＝9－7．2＝1．8（時）＝1時48分．例4、甲、乙兩車同時從地向地開出，甲每小時行千米，乙每小時行千米，開出小時后，甲車因有緊急任務(wù)返回地；到達地后又立即向地開出追乙車，當甲車追上乙車時，兩車正好都到達地，求、兩地的路程．【解析】根據(jù)題意畫出線段圖：從圖中可以看出，當甲開始追乙的時候兩車的路程差正好是乙車已經(jīng)行駛的小時的路程，那么根據(jù)追及路程和速度差可以求出追及時間，而追及時間正好是甲車從地到地所用的時間，由此可以求出、兩地的路程,追及路程為：(千米),追及時間為：(小時),、兩地的路程為：(千米).P(Practice-Oriented)——實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練課堂狙擊1、兩地間的路程有255千米，兩輛汽車同時從兩地相對開出，甲車每小時行45千米，乙車每小時行40千米。甲、乙兩車相遇時，各行了多少千米？【解析】根據(jù)相遇公式知道相遇時間是：255÷（45+40）=255÷85=3（小時），所以甲走的路程為：45×3=135（千米），乙走的路程為：40×3=120（千米）.2、、兩地相距米，包子從地到地需要秒，菠蘿從地到地需要秒，現(xiàn)在包子和菠蘿從、兩地同時相對而行，相遇時包子與地的距離是多少米？【解析】包子的速度：(米／秒)，菠蘿的速度：(米／秒)，相遇的時間：(秒)，包子距地的距離：(米)．3、甲、乙兩列火車從相距千米的兩地相向而行，甲車每小時行千米，乙車每小時行千米，乙車先出發(fā)小時后，甲車才出發(fā)．甲車行幾小時后與乙車相遇？【解析】甲、乙兩車出發(fā)時間有先有后，乙車先出發(fā)小時，這段時間甲車沒有行駛，那么乙車這小時所行的路程不是甲、乙兩車同時相對而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時相對而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙兩車同時相對而行的時間．乙車先行駛路程：(千米)，甲、乙兩車同時相對而行路程：(千米)，甲、乙兩車速度和：(千米／時)，甲車行的時間：(小時)．4、媽媽從家出發(fā)到學(xué)校去接小紅，媽媽每分鐘走米．媽媽走了分鐘后，小紅從學(xué)校出發(fā)，小紅每分鐘走米．再經(jīng)過分鐘媽媽和小紅相遇．從小紅家到學(xué)校有多少米？【解析】媽媽先走了分鐘，就是先走了（米）．分鐘后媽媽和小紅相遇，也就是說媽媽和小紅共同走了分鐘，這一段的路程為：（米），這樣媽媽先走的那一段路程，加上后來媽媽和小紅走的這一段路程，就是小紅家到學(xué)校的距離．即（米）．5、甲、乙兩輛汽車從、兩地同時相向開出，出發(fā)后小時，兩車相距千米；出發(fā)后小時，兩車相遇．、兩地相距多少千米？【解析】公式“相遇時間路程和速度和”中，對于速度不變的兩車，“相遇時間”與“路程和”是一一對應(yīng)的．如圖所示小時的相遇時間與、兩地的距離相對應(yīng)，()小時的相遇時間與千米相對應(yīng).兩車的速度之和是：(千米/時).、兩地相距：(千米)6、兩地相距400千米，兩輛汽車同時從兩地相對開出，甲車每小時行40千米，乙車每小時比甲車多行5千米，4小時后兩車相遇了嗎？為什么？【解析】(千米)，(千米)，340千米<400千米，因為兩車4小時共行340千米，所以4小時后兩車沒有相遇．7、孫悟空在花果山，豬八戒在高老莊，花果山和高老莊中間有條流沙河，一天，他們約好在流沙河見面，孫悟空的速度是200千米／小時．豬八戒的速度是150千米／小時，他們同時出發(fā)2小時后還相距500千米，則花果山和高老莊之間的距離是多少千米？【解析】注意：“還相距”與“相距”的區(qū)別．建議教師畫線段圖．可以先求出2小時孫悟空和豬八戒走的路程：(千米)，又因為還差500米，所以花果山和高老莊之間的距離：(千米)．8、兩列貨車從相距450千米的兩個城市相向開出，甲貨車每小時行38千米，乙貨車每小時行40千米，同時行駛4小時后，還相差多少千米沒有相遇？【解析】所求問題＝全程－小時行駛的路程和．路程和：（千米），（千米）．9、小明的家住學(xué)校的南邊，小芳的家在學(xué)校的北邊，兩家之間的路程是1410米，每天上學(xué)時，如果小明比小芳提前3分鐘出發(fā)，兩人可以同時到校．已知小明的速度是70米/分鐘，小芳的速度是80米/分鐘，求小明家距離學(xué)校有多遠？兩人的速度和是（米），所剩路程需：（分鐘）走完．小明家距離學(xué)校（米）．10、小明每天早晨按時從家出發(fā)上學(xué)，李大爺每天早晨也定時出門散步，兩人相向而行，小明每分鐘行米，李大爺每分鐘行米，他們每天都在同一時刻相遇．有一天小明提前出門，因此比平時早分鐘與李大爺相遇，這天小明比平時提前多少分鐘出門？【解析】因為提前分鐘相遇，說明李大爺出門時，小明已經(jīng)比平時多走了兩人分鐘合走的路，即多走了（米），所以小明比平時早出門（分）．11、哥哥和弟弟在同一所學(xué)校讀書．哥哥每分鐘走65米，弟弟每分鐘走40米，有一天弟弟先走5分鐘后，哥哥才從家出發(fā)，當?shù)艿艿竭_學(xué)校時哥哥正好追上弟弟也到達學(xué)校，問他們家離學(xué)校有多遠?【解析】哥哥出發(fā)的時候弟弟走了：（米），哥哥追弟弟的追及時間為：（分鐘），所以家離學(xué)校的距離為：（米）.12、小明以每分鐘50米的速度從學(xué)校步行回家，12分鐘后小強從學(xué)校出發(fā)騎自行車去追小明，結(jié)果在距學(xué)校1000米處追上小明，求小強騎自行車的速度.【解析】小強出發(fā)的時候小明走了（米），被小強追上時小明又走了：（分鐘），說明小強8分鐘走了1000米，所以小強的速度為：（米/分鐘）.13、小聰和小明從學(xué)校到相距米的電影院去看電影．小聰每分鐘行米，他出發(fā)后分鐘小明才出發(fā)，結(jié)果倆人同時到達影院，小明每分鐘行多少米？【解析】要求小明每分鐘走多少米，就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的時間；要求小明所用的時間，就要先求小聰所用的時間，小聰所用的時間是：(分鐘)，小明所用的時間是：(分鐘)，小明每分鐘走的米數(shù)是：(米)．14、小王、小李共同整理報紙，小王每分鐘整理份，小李每分鐘整理份，小王遲到了分鐘，當小王、小李整理同樣多份的報紙時，正好完成了這批任務(wù)．一共有多少份報紙？【解析】本題可用追及問題思路解題，類比如下：路程差：小王遲到分鐘這段時間，小李整理報紙的份數(shù)（份），速度差：（份/分鐘）．此時可求兩人整理同樣多份報紙時，小王所用時間，即追及時間是（分鐘）．共整理報紙：（份）。15、東、西兩鎮(zhèn)相距69千米。張、王二人同時自兩鎮(zhèn)之間的某地相背而行，6小時后二人分別到達東、西兩鎮(zhèn)。已知張每小時比王多行1.5千米。二人每小時各行多少千米？出發(fā)地距東鎮(zhèn)有多少千米？【解析】由二人6小時共行69千米，可求出他們的速度和是（69÷6）千米/小時。張每小時比王多行1.5千米，這是他們的速度差。從而可以分別求出二人的速度。張每小時行：（69÷6+1.5）÷2=（11.5+1.5）÷2=13÷2=6.5（千米）王每小時行：6.5-1.5=5（千米）出發(fā)地距東鎮(zhèn)的距離是：6.5×6=39（千米）。16、甲、乙兩地相距260千米，客車和貨車分別從甲、乙兩地同時相向而行，在距乙地95千米處相遇，相遇后兩車又繼續(xù)前進，客車到乙地，貨車到甲地后，都立即返回，兩車又在距甲地多少千米處相遇？【解析】如下圖：第一次相遇點距乙地95千米，即兩車合走1個全程的時間里，貨車走了95千米。兩車從出發(fā)到第二次相遇合行了3個全程，總共行駛了兩車合行3個全程的時間，則貨車從乙地出發(fā)，經(jīng)過甲地到達第二次相遇地點，也就行駛了3個95千米（紅色線條全長）。如上圖，兩車第二次相遇點距甲地的距離，就是貨車行駛的總路程減去甲乙兩地距離的差：95×3－260＝25（千米）。17、在一環(huán)形跑道上，甲從A點，乙從B點同時反向而行，6分鐘后兩人相遇，再過4分鐘甲到達B地，又過8分鐘兩人再次相遇，甲、乙各行一周各需多少分鐘？【解析】如下圖，藍色線條是甲走的路程，圖中標注的時間是指甲走過每一段路程花費的時間；紅色線條是乙走過的路程；細線條是第一次相遇前甲乙兩人走過的路程，粗線條是第一次相遇和再次相遇之間兩人走過的路程。從上圖中可以看出，從第一次相遇到再次相遇，走了（8＋4）分鐘，兩人合走的路程正好是一周。甲乙合走A、B兩點間路程（黃色）用了6分鐘。甲乙兩人的速度是一定的，路程與時間成正比例。（8＋4）÷6＝2，所以環(huán)形跑道一周的路程正好是A、B間路程（黃色）的2倍。甲從A走到B用了（6＋4）分鐘，所以甲走一周需要時間：（6＋4）×2＝20（分）。從B點到第一次相遇地點，乙走了6分鐘，甲走了4分鐘，即甲走1分鐘的路程，乙需要（6÷4）分鐘，所以乙走完全程需要時間：6÷4×20＝30（分）。課后反擊1、聰聰和明明同時從各自的家相對出發(fā)，明明每分鐘走20米，聰聰騎著腳踏車每分鐘比明明快42米，經(jīng)過20分鐘后兩人相遇，你知道聰聰家和明明家的距離嗎？【解析】方法一：由題意知聰聰?shù)乃俣仁牵?米/分)，兩家的距離明明走過的路程聰聰走

過的路程(米)，請教師畫圖幫助學(xué)生理解分析．注意利用乘法分配律的反向應(yīng)用就可以得到公式：．對于剛剛學(xué)習(xí)奧數(shù)的孩子，注意引導(dǎo)他們認識、理解及應(yīng)用公式．方法二：直接利用公式：(米)．2、甲、乙兩車分別從相距千米的、兩城同時出發(fā)，相對而行，已知甲車到達城需小時，乙車到達城需小時，問：兩車出發(fā)后多長時間相遇？【解析】要求兩車的相遇時間，則必須知道它們各自的速度，甲車的速度是（千米／時），乙車的速度是（千米／時），則相遇時間是（小時）．3、甲、乙兩列火車從相距千米的兩地相向而行，甲車每小時行千米，乙車每小時行千米，乙車先出發(fā)小時后，甲車才出發(fā)．甲車行幾小時后與乙車相遇？【解析】甲、乙兩車出發(fā)時間有先有后，乙車先出發(fā)小時，這段時間甲車沒有行駛，那么乙車這小時所行的路程不是甲、乙兩車同時相對而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時相對而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙兩車同時相對而行的時間．乙車先行駛路程：(千米)，甲、乙兩車同時相對而行路：(千米)，甲、乙兩車速度和：(千米)，與乙車相遇時甲車行的時間為：(小時)．4、甲乙兩座城市相距千米，貨車和客車從兩城同時出發(fā)，相向而行．貨車每小時行千米，客車每小時行千米．客車在行駛中因故耽誤小時，然后繼續(xù)向前行駛與貨車相遇．問相遇時客車、貨車各行駛多少千米？【解析】因為客車在行駛中耽誤小時，而貨車沒有停止繼續(xù)前行，也就是說，貨車比客車多走小時．如果從總路程中把貨車單獨行駛小時的路程減去，然后根據(jù)余下的就是客車和貨車共同走過的．再求出貨車和客車每小時所走的速度和，就可以求出相遇時間．然后根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，可以分別求出客車和貨車在相遇時各自行駛的路程．相遇時間：（小時）相遇時客車行駛的路程:(千米)相遇時貨車行駛的路程：（千米）．5、一輛公共汽車和一輛小轎車同時從相距千米的兩地相向而行，公共汽車每小時行千米，小轎車每小時行千米，問幾小時后兩車相距千米？【解析】兩車在相距千米的兩地相向而行，距離逐漸縮短，在相遇前某一時刻兩車相距千米，這時兩車共行的路程應(yīng)為（）千米．即(小時)．需要注意的是當兩車相遇后繼續(xù)行駛時，兩車之間的距離又從零逐漸增大，到某一時刻，兩車再一次相距千米．這時兩車共行的路程為千米，即（小時)．6、兩列火車從相距千米的兩城相向而行，甲列車每小時行千米，乙列車每小時行千米，小時后，甲、乙兩車還相距多少千米？【解析】兩車的相距路程減去小時兩車共行的路程，就得到了兩車還相距的路程：（千米）．7、甲、乙兩輛汽車同時從地出發(fā)去地，甲車每小時行千米，乙車每小時行千米．途中甲車出故障停車修理了小時，結(jié)果甲車比乙車遲到小時到達地．、兩地間的路程是多少？【解析】由于甲車在途中停車小時，比乙車遲到小時，說明行這段路程甲車比乙車少用小時．可理解成甲車在途中停車小時，兩車同時到達，也就是乙車比甲車先行小時，兩車同時到達地，所以，也可以用追及問題的數(shù)量關(guān)系來解答．即：行這段路程甲車比乙車少用的時間是：(小時)，乙車小時行的路程是：(千米)，甲車每小時比乙車多行的路程是：(千米)，甲車所需的時間是：(小時)，、兩地間的路程是：(千米)．8、學(xué)校和部隊駐地相距千米，小宇和小宙由學(xué)校騎車去部隊駐地，小宇每小時行千米，小宙每小時行千米．當小宇走了千米后，小宙才出發(fā)．當小宙追上小宇時，距部隊駐地還有多少千米？【解析】追及時間為：(小時)，此時距部隊駐地還有：(千米)．9、小紅和小強同時從家里出發(fā)相向而行。小紅每分鐘走52米，小強每分鐘走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分鐘出發(fā)，但速度不變，小強每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強的家相距多遠?【解析】因為小紅的速度不變，相遇地點不變，所以小紅兩次走的時間相同，推知小強第二次比第一次少走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小強第二次走了14分，第一次走了18分，兩人的家相距（52+70）×18=2196（米）．10、甲、乙兩車從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行。如果甲車提前一段時間出發(fā)，那么兩車將提前30分相遇。已知甲車速度是60千米／時，乙車速度是40千米／時。問：甲車提前了多少分出發(fā)？【解析】50分。因為提前30分相遇，甲車應(yīng)提前走了(千米)，所以甲車提前出發(fā)（時）。11、一輛慢車從甲地開往乙地，每小時行千米，開出小時后，一輛快車以每小時千米的速度也從甲地開往乙地．在甲乙兩地的中點處快車追上慢車，甲乙兩地相距多少千米？【解析】慢車先行的路程是：(千米)，快車每小時追上慢車的千米數(shù)是：(千米)，追及的時間是：(小時)，快車行至中點所行的路程是：(千米)，甲乙兩地間的路程是：(千米)．12、六年級同學(xué)從學(xué)校出發(fā)到公園春游，每分鐘走米，分鐘以后，學(xué)校有急事要通知學(xué)生，派李老師騎自行車從學(xué)校出發(fā)分鐘追上同學(xué)們，李老師每分鐘要行多少米才可以準時追上同學(xué)們？【解析】同學(xué)們分鐘走（米），即路程差．然后根據(jù)速度差＝路程差÷追及時間，可以求出李老師和同學(xué)們的速度差，又知道同學(xué)們的速度是每分鐘米，就可以得出李老師的速度．即（米）．13、下午放學(xué)時，弟弟以每分鐘40米的速度步行回家.5分鐘后，哥哥以每分鐘60米的速度也從學(xué)校步行回家，哥哥出發(fā)后，經(jīng)過幾分鐘可以追上弟弟？（假定從學(xué)校到家有足夠遠，即哥哥追上弟弟時，仍沒有回到家）.【解析】若經(jīng)過5分鐘，弟弟已到了A地，此時弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分鐘比弟弟多走20米，幾分鐘可以追上這200米呢？40×5÷（60-40）=200÷20=10（分鐘），哥哥10分鐘可以追上弟弟.14、甲地和乙地相距千米，平平和兵兵由甲地騎車去乙地，平平每小時行千米，兵兵每小時行千米，當平平走了千米后，兵兵才出發(fā)，當兵兵追上平平時，距乙地還有多少千米？【解析】平平走了千米后，兵兵才出發(fā)，這千米就是平平和兵兵相距的路程．由于兵兵每小時比平平多走(千米)，要求兵兵幾小時可以追上千米，也就是求千米里包含著幾個千米，用(小時)．因為甲地和乙地相距千米，兵兵每小時行千米，小時走了(千米)，所以兵兵追上平平時，距乙地還有(千米)。15、上一次龜兔賽跑兔子輸?shù)煤懿环猓谑窍驗觚斣俅蜗聭?zhàn)書，比賽之前，為了表示它的大度，它讓烏龜先跑10分鐘，但是兔子不知道烏龜經(jīng)過鍛煉，速度已經(jīng)提高到5倍，那么這一次誰將獲得勝利呢？【解析】由烏龜速度提高到5倍，可知烏龜現(xiàn)在的速度為(米/分)，烏龜先跑10分鐘，即兔子開始跑時，烏龜已經(jīng)跑了(米)，還剩(米)，需要(分鐘)就可以到達終點，而兔子到達終點需要的時間是：(分鐘)，所以，兔子和烏龜同時到達終點．16、從甲城到乙城的鐵路線上每隔10千米有一個小車站。一列慢車上午9點以45千米／時的速度由甲城開往乙城，另一列快車上午9點30分以60千米／時的速度也由甲城開往乙城。鐵路部門規(guī)定，同方向前進的兩列火車之間相距不能少于8千米。問：這列慢車最遲應(yīng)該在距甲城多遠的小車站停車讓快車超過？【解析】60千米。解：快車距離慢車8千米需要(時)。此時慢車距甲城（千米）。所以慢車應(yīng)在距甲城60千米的小車站停車。17、哥哥由家向東到工廠去上班，每分鐘走85米，弟弟同時由家往西到學(xué)校去上學(xué)，每分鐘走75米。幾分鐘后二人相距960米？【解析】二人同時、同地相背而行，只要求出速度和，由“時間=距離÷速度和”即可求出所行時間。因此，得：960÷（85+75）=960÷160=6（分鐘）。18、甲、乙二人從同一城鎮(zhèn)某車站同時出發(fā)，相背而行。甲每小時行6千米，乙每小時行7千米。8小時后，甲、乙二人相距多少千米？【解析】先求出二人速度之和，再乘以時間就得到二人之間的距離。（6+7）×8=13×8=104（千米）19、甲、乙兩輛汽車分別以不同的速度同時從A、B兩地相對而行，途中相遇，相遇點距A地60千米。相遇后兩車以原速前進，到底目的地后，兩車立即返回，在途中又第二次相遇，這時距A地40千米。問第一次相遇點距B地多少千米？【解析】甲、乙兩輛汽車同時從A、B兩地相對而行，行駛情況如下圖。藍色線條表示甲車行駛路線，紅色線條表示乙車行駛路線；細線條是第一次相遇前兩車行駛路程，粗線條表示兩車從第一次相遇到第二次相遇之間行使的路程。從圖中可以看出，從出發(fā)到第一次相遇，兩車合走了1個全程（細線條）；從第一次相遇到第二次相遇，兩車合走了2個全程（粗線條）；兩車總共合走了3個全程。每輛汽車的速度是一定的，所以它們各自行駛的路程與時間成正比例。（方法一）如上圖，第一次相遇時，即兩車合走1個全程的時間里，甲走了60千米。兩車總共合走了3個全程，則甲車從A地出發(fā)，經(jīng)過B地到達第二次相遇地點，總共行駛了3個60千米（藍色線條全長），加上第二次相遇地點到A地40千米，共2個全程。所以A、B兩地的距離為：（60×3＋40）÷2＝110（千米）。所以第一次相遇地點到B地的距離為：110－60＝50（千米）。（方法二）如上圖，從第一次相遇到第二次相遇，即兩車合走2個全程的時間里，乙從第一次相遇點經(jīng)過A地到達第二次相遇地點，共走了（60＋40）千米。則乙從出發(fā)到第一次相遇，即兩車合走1個全程的時間里，行駛的路程為：（60＋40）÷2＝50（千米）。第一次相遇點距B地的距離就是乙從出發(fā)到第一次相遇行駛的路程，即50千米。直擊賽場直擊賽場1、(希望杯一試)甲乙兩人分別以每小時6千米，每小時4千米的速度從相距30千米的兩地向?qū)Ψ降某霭l(fā)地前進．當兩人之間的距離是10千米【解析】有兩種情況，一種是甲乙兩人一共走了(千米)，一種是甲乙兩人一共走了(千米)，所以有兩種答案：(小時)或(小時)2、（迎春杯初試）小張和小王早晨8時整從甲地出發(fā)去乙地，小張開車，速度是每小時60千米。小王步行，速度為每小時4千米。如果小張到達乙地后停留1小時立即沿原路返回，恰好在10時整遇到正在前往乙地的小王。那么甲、乙兩地之間的距離是_______千米?！窘馕觥扛鶕?jù)分析得：（千米）.3、（希望杯二試）甲、乙兩人分別從相距260千米的A、B兩地同時沿筆直的公路乘車相向而行，各自前往B地、A地。甲每小時行32千米，乙每小時行48千米。甲、乙各有一個對講機，當他們之間的距離小于20千米時，兩人可用對講機聯(lián)絡(luò)。問：(1)兩人出發(fā)后多久可以開始用對講機聯(lián)絡(luò)?(2)他們用對講機聯(lián)絡(luò)后，經(jīng)過多長時間相遇?(3)他們可用對講機聯(lián)絡(luò)多長時間?【解析】(1)(260-20)÷(32+48)=3(小時)。(2)20÷(32+48)=0.25(小時)。