【解析】2023-2023高考數(shù)學(xué)真題分類匯編9 三角函數(shù)及解三角形

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2023-2023高考數(shù)學(xué)真題分類匯編9三角函數(shù)及解三角形

一、選擇題

1．（2023·全國乙卷）在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】兩角和與差的正弦公式；正弦定理

【解析】【解答】，由正弦定理可得，

，或（舍去），

又，，.

故選：C

【分析】先利用正弦定理邊化角化簡，再結(jié)合三角形內(nèi)角和為求。

2．（2023·新高考Ⅱ卷）已知為銳角，則（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】二倍角的余弦公式

【解析】【解答】由，

又∵為銳角，

故選：D

【分析】直接用二倍角公式求解。

3．（2022·浙江）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（）

A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度

C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度

【答案】D

【知識點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

【解析】【解答】函數(shù)圖象平移滿足左加右減，，因此需要將函數(shù)圖象向右平移個單位長度，可以得到的圖象.

故答案為：D

【分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)圖象的平移即可求解．

4．（2022·浙江）設(shè)，則“”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】，則；，則，若可推出，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故充分部必要條件.

故答案為：A

【分析】利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，充要條件的定義判定即可．

5．（2022·全國甲卷）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當(dāng)時，（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】扇形的弧長與面積

【解析】【解答】解：如圖，連接OC，

因為C是AB的中點，

所以O(shè)C⊥AB，

又CD⊥AB，所以O(shè)，C，D三點共線，

即OD=OA=OB=2，

又∠AOB=60°，

所以AB=OA=OB=2，

則，

故，

所以.

故選：B.

【分析】連接OC，分別求出AB，OC，CD，再根據(jù)題意的新定義即可得出答案.

6．（2023·全國甲卷）已知為函數(shù)向左平移個單位所得函數(shù)，則與的交點個數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【知識點】正弦函數(shù)的圖象；誘導(dǎo)公式

【解析】【解答】由題意得

作出和草圖如下：

，

此時在直線上，當(dāng)時，

，

此時在直線上，當(dāng)時，

，

此時在直線上，當(dāng)時，

由圖形及分析可知和的交點個數(shù)為3.

故選：C

【分析】求出變換后的函數(shù)解析式，畫圖分析值域范圍得出交點個數(shù).

7．（2023·全國甲卷）“”是“”的（）

A．充分條件但不是必要條件

B．必要條件但不是充分條件

C．充要條件

D．既不是充分條件也不是必要條件

【答案】B

【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】若，

∵，

此時，即，

∴當(dāng)，此時不一定成立，充分性不成立；

反之，當(dāng)，，此時，必要性成立；

故選：B.

【分析】利用同角三角基本關(guān)系可將化簡，結(jié)合條件的判斷可得出答案.

8．（2023·天津卷）已知函數(shù)的一條對稱軸為直線，一個周期為4，則的解析式可能為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】三角函數(shù)的周期性；函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】∵T=4，

∴，故C、D不符合題意，錯誤；

對A，其對稱軸為，解得，

故此時對稱軸為奇數(shù)，不滿足對稱軸直線，不符合題意，錯誤；

對B，其對稱軸為，解得，

故此時對稱軸為偶數(shù)，滿足對稱軸直線，符合題意；

故選：B.

【分析】由正余弦函數(shù)周期算法排除CD，再根據(jù)對稱軸求法排除A檢驗B.

9．（2023·全國乙卷）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條對稱軸，則（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】正弦函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】在區(qū)間單調(diào)遞增，又和是的對稱軸，，，解得，

，即，，

.

故選：D

【分析】分析題意根據(jù)單調(diào)性和對稱軸求出，，再代入求解.

10．（2023·上海卷）設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，在上的最小值為，當(dāng)變化時，以下不可能的情形是（）.

A．且B．且C．且D．且

【答案】D

【知識點】正弦函數(shù)的圖象

【解析】【解答】①若，則在區(qū)間上的最小值為，在上的最小值為，排除A.

②若，則在區(qū)間上的最小值為，在上的最小值為，排除B.

③若，則在區(qū)間上的最小值為，在上的最小值為，排除C.

故選：D.

【分析】結(jié)合正弦函數(shù)正負(fù)性分界點利用排除法選擇，為排除A選項，需選擇即；

為排除B選項，需選擇，即；為排除C選項，需選擇，即.

11．（2022·天津市）已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：

①的最小正周期為；

②在上單調(diào)遞增；

③當(dāng)時，的取值范圍為；

④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．

以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【知識點】函數(shù)的值域；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；三角函數(shù)的周期性；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

【解析】【解答】因為，所以的最小正周期為，①不正確；

令，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，②正確；因為，，所以，③不正確；

由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確．

故答案為：A．

【分析】利用已知條件結(jié)合正弦型函數(shù)的最小正周期公式、正弦型函數(shù)的圖象判斷單調(diào)性的方法、正弦型函數(shù)的圖象在給定區(qū)間求值域的方法、正弦型函數(shù)的圖象變換，進(jìn)而找出正確說法的個數(shù)。

12．（2022·新高考Ⅱ卷）若，則（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識點】兩角和與差的余弦公式；兩角和與差的正弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】根據(jù)兩角和的正弦、余弦公式化簡已知式子得：，

即：，

即：，

所以，

故答案為：C

【分析】由兩角和差的正、余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.

13．（2022·全國甲卷）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】正弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的零點與最值

【解析】【解答】解：依題意可得ω>0，因為x∈（0，π），所以，

要使函數(shù)在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點、兩個零點，又y=sinx，的圖象如下所示：

則，

解得，

即ω∈．

故選：C

【分析】由x的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式，解得即可．

14．（2022·全國甲卷）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】函數(shù)的圖象與圖象變化；正弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的奇偶性與對稱性

【解析】【解答】解：由題意知：曲線C為，

又曲線C關(guān)于y軸對稱，則，

解得，

又ω>0，

故當(dāng)k=0時，ω的最小值為.

故選：C.

【分析】先由平移求出曲線C的解析式，再結(jié)合對稱性得，即可求出ω的最小值.

15．（2022·北京）已知函數(shù)，則（）

A．在上單調(diào)遞減

B．在上單調(diào)遞增

C．在上單調(diào)遞減

D．在上單調(diào)遞增

【答案】C

【知識點】二倍角的余弦公式；余弦函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】，選項A中：，此時單調(diào)遞增；選項B中：，此時先遞增后遞減；選項C中：，此時單調(diào)遞減；選項D中：，此時先遞減后遞增.

故答案為：C

【分析】先根據(jù)余弦的二倍角公式化簡，再逐項分析選項即可.

16．（2022·新高考Ⅰ卷）記函數(shù)的最小正周期為T，若則的圖像關(guān)于點中心對稱，則（）

A．1B．C．D．3

【答案】A

【知識點】正弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的奇偶性與對稱性；正弦函數(shù)的周期性

【解析】【解答】解：由題意得，，

又的圖像關(guān)于點中心對稱，

則b=2，且，

所以，

則，

解得，

又，

則k=2，，

故，

故選：A

【分析】由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先求得b，，再求得即可.

17．（2023·全國甲卷）函數(shù)的圖象由的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【知識點】正弦函數(shù)的圖象；誘導(dǎo)公式

【解析】【解答】由題意得

作出和草圖如下：

，

此時在直線上，當(dāng)時，

，

此時在直線上，當(dāng)時，

，

此時在直線上，當(dāng)時，

由圖形及分析可知和的交點個數(shù)為3.

故選：C

【分析】求出變換后的函數(shù)解析式，畫圖分析值域范圍得出交點個數(shù).

二、填空題

18．（2023·上海卷）已知，求；

【答案】

【知識點】二倍角的正切公式

【解析】【解答】∵，

∴.

故答案為：

【分析】代入正切二倍角公式即得答案.

19．（2023·北京）若點與點關(guān)于軸對稱，寫出一個符合題意的．

【答案】（滿足即可）

【知識點】誘導(dǎo)公式

【解析】【解答】解：由題意得，對比誘導(dǎo)公式sinα=sin(π-α)，cosα=-cos(π-α)得，

解得

當(dāng)k=0時，

故答案為：

【分析】根據(jù)點的對稱性，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.

20．（2023·北京卷）已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為，．

【答案】；

【知識點】象限角、軸線角；終邊相同的角

【解析】【解答】取，，滿足為第一象限角，且，但，

能說明p為假命題一組的值為，.

故答案為：；

【分析】舉反例即可.

21．（2023·全國乙卷）若，則．

【答案】

【知識點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

【解析】【解答】，，，

，又，解得，，

.

故答案為：

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解和。

22．（2023·上海卷）在中，，求；

【答案】

【知識點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；余弦定理

【解析】【解答】∵在中，

根據(jù)余弦定理，

在，∠A0，因為x∈（0，π），所以，

要使函數(shù)在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點、兩個零點，又y=sinx，的圖象如下所示：

則，

解得，

即ω∈．

故選：C

【分析】由x的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式，解得即可．

14．【答案】C

【知識點】函數(shù)的圖象與圖象變化；正弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的奇偶性與對稱性

【解析】【解答】解：由題意知：曲線C為，

又曲線C關(guān)于y軸對稱，則，

解得，

又ω>0，

故當(dāng)k=0時，ω的最小值為.

故選：C.

【分析】先由平移求出曲線C的解析式，再結(jié)合對稱性得，即可求出ω的最小值.

15．【答案】C

【知識點】二倍角的余弦公式；余弦函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】，選項A中：，此時單調(diào)遞增；選項B中：，此時先遞增后遞減；選項C中：，此時單調(diào)遞減；選項D中：，此時先遞減后遞增.

故答案為：C

【分析】先根據(jù)余弦的二倍角公式化簡，再逐項分析選項即可.

16．【答案】A

【知識點】正弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的奇偶性與對稱性；正弦函數(shù)的周期性

【解析】【解答】解：由題意得，，

又的圖像關(guān)于點中心對稱，

則b=2，且，

所以，

則，

解得，

又，

則k=2，，

故，

故選：A

【分析】由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先求得b，，再求得即可.

17．【答案】C

【知識點】正弦函數(shù)的圖象；誘導(dǎo)公式

【解析】【解答】由題意得

作出和草圖如下：

，

此時在直線上，當(dāng)時，

，

此時在直線上，當(dāng)時，

，

此時在直線上，當(dāng)時，

由圖形及分析可知和的交點個數(shù)為3.

故選：C

【分析】求出變換后的函數(shù)解析式，畫圖分析值域范圍得出交點個數(shù).

18．【答案】

【知識點】二倍角的正切公式

【解析】【解答】∵，

∴.

故答案為：

【分析】代入正切二倍角公式即得答案.

19．【答案】（滿足即可）

【知識點】誘導(dǎo)公式

【解析】【解答】解：由題意得，對比誘導(dǎo)公式sinα=sin(π-α)，cosα=-cos(π-α)得，

解得

當(dāng)k=0時，

故答案為：

【分析】根據(jù)點的對稱性，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.

20．【答案】；

【知識點】象限角、軸線角；終邊相同的角

【解析】【解答】取，，滿足為第一象限角，且，但，

能說明p為假命題一組的值為，.

故答案為：；

【分析】舉反例即可.

21．【答案】

【知識點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

【解析】【解答】，，，

，又，解得，，

.

故答案為：

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解和。

22．【答案】

【知識點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；余弦定理

【解析】【解答】∵在中，

根據(jù)余弦定理，

在，∠A<，即，

∴

故答案為：

【分析】根據(jù)已知三角形三邊可使用余弦定理求出∠A余弦值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)而得出答案.

23．【答案】

【知識點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

【解析】【解答】根據(jù)圖象設(shè)，

，，

由圖象可知，，，

不妨令

，解得，

，，即

或

又，，

故答案為：

【分析】結(jié)合圖象和得，求出，再根據(jù)和確定，進(jìn)而求解。

24．【答案】；

【知識點】二倍角的余弦公式；誘導(dǎo)公式

【解析】【解答】∵，利用誘導(dǎo)公式可得，

變形可得，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，

解得，，

．

故答案為：；

【分析】由誘導(dǎo)公式求出，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式推導(dǎo)出sinα＝，最后根據(jù)余弦的二倍角公式即可求的值．

25．【答案】3

【知識點】余弦函數(shù)的周期性；余弦函數(shù)的零點與最值

【解析】【解答】解：函數(shù)，（，）

的最小正周期為，因為，

又，所以，即，

又為的零點，所以，解得，

因為，所以當(dāng)時.

故答案為：3

【分析】先表示周期，再根據(jù)求出，最后根據(jù)為函數(shù)的零點，即可求出的取值，從而得解.

26．【答案】1；

【知識點】兩角和與差的正弦公式；正弦函數(shù)的零點與最值

【解析】【解答】，解得；，故.

【分析】根據(jù)函數(shù)的零點為，代入解析式即可求出A的值；從而得到函數(shù)的解析式，利用兩角差的正弦公式化簡，再將代入即可求得.

27．【答案】（1）因為

所以，

因為，所以.

（2）因為，

所以，所以的最大值為，最小值為.

若選條件①：因為的最大值為，最小值為，所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在；

若選條件②：因為在上單調(diào)遞增，且，

所以，所以，，

所以，

又因為，所以，

所以，

所以，因為，所以.

所以，；

若選條件③：因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在處取得最小值，即.

以下與條件②相同．

【知識點】正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦函數(shù)的零點與最值

【解析】【分析】（1）代入，又求解的值；

（2）若選擇條件①不符合題意；

若選擇條件②：由在區(qū)間上單調(diào)遞增，，知進(jìn)而求出再代入解析式由和求的值；

若選擇條件③由在區(qū)間上單調(diào)遞增，，在區(qū)間上單調(diào)遞減知，進(jìn)而求出再代入解析式由和求的值。

28．【答案】（1）由余弦定理知，又，

∴2bccosA=2cosA

.

（2）在三角形中有

由正弦定理知，

，即，

，即，

【知識點】兩角和與差的正弦公式；正弦定理的應(yīng)用；余弦定理的應(yīng)用

【解析】【分析】(1)由已知條件聯(lián)想利用余弦定理化簡即得答案。

(2)根據(jù)已知條件結(jié)合正弦定理將邊統(tǒng)一化成角，結(jié)合內(nèi)角和與和差角公式消去角C，整理即得，再結(jié)合面積公式求解。

29．【答案】（1）根據(jù)題意，由余弦定理得

∴

由正弦定理，得.

（2）如下圖所示，由(1)得，，，

又∵，

∴，，

∴，解得，

由，解得，

∴，

【知識點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】(1)由已知條件的兩邊及夾角可先使用余弦定理計算第三邊，再根據(jù)正弦定理可得；

(2)根據(jù)題意結(jié)合草圖分析，計算的面積只需結(jié)合(1)及三角基本關(guān)系求AD邊可得答案.

30．【答案】（1）解：因為，即，而，代入得，解得：．

（2）解：由（1）可求出，而，所以，又，所以．

（3）解：因為，所以，故，又，所以，，而，所以，

故．

【知識點】兩角和與差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合余弦定理得出實數(shù)c的值。

（2）利用已知條件結(jié)合三角形中角的取值范圍、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和正弦定理，進(jìn)而得出角B的正弦值。

（3）利用已知條件結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號得出角A的取值范圍，再結(jié)合三角形中內(nèi)角和為180度的性質(zhì)，進(jìn)而得出角B的取值范圍，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和二倍角的正弦公式和余弦公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角差的正弦公式，進(jìn)而得出的值。

31．【答案】（1）解：∵

且

∴

∵sinB＞0

∴

∴C=C-A（舍）或C+（C-A）=π

即：2C-A=π

又∵A+B+C=π，A=2B

∴C=

（2）證明：由可得，

，再由正弦定理可得，

，然后根據(jù)余弦定理可知，

，化簡得：

，故原等式成立．

【知識點】兩角和與差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；

（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定