專題23三角形內接矩形（含解析）

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專題23三角形內接矩形

1．如圖，在△ABC中，BC＝8，高AD＝6，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，點G，F(xiàn)在BC上，當四邊形EFGH是矩形，且EF＝2EH時，則矩形EFGH的周長為（）

A．B．C．D．

2．如圖，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置邊長分別3，4，x的三個正方形，則x的值為（）

A．5B．6

C．7D．12

3．如圖，已知在中，為直角，，，在內從左往右疊放邊長為1的正方形小紙片，第一層小紙片的一條邊都在上，依次這樣往上疊放上去，則第二層最多能疊放個正方形小紙片.

4．如圖，在Rt△ABC中∠C=90°，放置邊長分別為4、6、x的三個正方形，則x的值為

5．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的邊QM在BC上，其余兩個頂點P，N分別在AB，AC上．

（1）當矩形的邊PN=PQ時，求此時矩形零件PQMN的面積；

（2）求這個矩形零件PQMN面積S的最大值．

6．如圖，一塊直角三角形木板，其中，現(xiàn)在要把它們加工成一個面積最大的矩形，甲、乙兩位木工師傅的加工方法分別如圖1、圖2所示，請用學過的知識說明哪位師傅的加工方法符合要求．

7．一塊直角三角形木料板的一條直角邊長，面積為，現(xiàn)要把它加工成一個面積較大的正方形桌面，甲、乙兩位同學的加工方法分別如圖甲、乙，請你用學過的知識說明哪位同學的加工方法更好（加工損耗忽略不計，結果可保留分數(shù)）

8．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成長方形零件PQMN，使長方形PQMN的邊QM在BC上，其余兩個頂點P，N分別在AB，AC上，求這個長方形零件PQMN面積S的最大值．

9．已知一塊等腰三角鐵板廢料如圖所示，其中AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，現(xiàn)要用這塊廢料裁一塊正方形DEFG鐵板，使它的一邊DE落在△ABC的一腰上，頂點F、G分別落在另一腰AB和BC上，求；

(1)等腰三角形ABC的面積S△ABC；

(2)正方形DEFG的邊長．

10．如圖，△ABC是一塊三角形余料，AB=AC=13cm，BC=10cm，現(xiàn)在要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在△ABC的邊上，其余兩個頂點分別在三角形另外兩條邊上．試求正方形的邊長是多少？

11．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一邊在BC上，其余兩個頂點分別在邊AB、AC上．若這個矩形的邊PN∶PQ＝1∶2，則這個矩形的長、寬各是多少？

12．一塊材料的形狀是等腰△ABC，底邊BC=120cm，高AD=120cm．

(1)若把這塊材料加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上（如圖1），則這個正方形的邊長為多少？

(2)若把這塊材料加工成正方體零件（如圖2，陰影部分為正方體展開圖），則正方體的表面積為多少？

13．如圖1，是一張等腰直角三角形彩色紙，，將斜邊上的高四等分，然后裁出3張寬度相等的長方形紙條．

（1）分別求出3張長方形紙條的長度；

（2）若用這些紙條為一幅正方形美術作品鑲邊（紙條不重疊），如圖2，正方形美術作品的面積最大不能超過多少（用含a的代數(shù)式表示）．

14．已知：如圖，有一塊面積等于1200cm2的三角形紙片ABC，已知底邊與底邊BC上的高的和為100cm（底邊BC大于底邊上的高），要把它加工成一個正方形紙片，使正方形的一邊EF在邊BC上，頂點D、G分別在邊AB、AC上，求加工成的正方形鐵片DEFG的邊長．

15．如圖，有一塊三角形土地，它的底邊m，高m，某單位要沿底邊BC建一座是矩形的大樓，且使矩形的兩個端點D、G分別在AB、AC上，當這座大樓的地基面積為1875時，求這個矩形沿BC邊所占的EF的長．

16．課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．

(1)加工成的正方形零件的邊長是多少mm？

(2)如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少？請你計算．

(3)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．

17．問題提出：數(shù)學課本上有這樣一道題目：如圖①，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？

初步思考：

（1）試計算出正方形零件的邊長；

深入探究：

（2）李華同學通過探究發(fā)現(xiàn)如果要把△ABC按照圖②加工成三個相同大小的正方形零件，△ABC的邊BC與高AD需要滿足一定的數(shù)量關系．則這一數(shù)量關系是：．（直接寫出結論，不用說明理由）；

（3）若△ABC可以按照圖③加工成四個大小相同的正方形，且∠B=30°，求證：AB=BC．

18．課本中有一道作業(yè)題：

有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長是多少mm？

小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題．

（1）如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm？請你計算．

（2）如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．

參考答案：

1．C

【分析】通過證明△AEF∽△ABC，可得，可求EH的長，即可求解．

【詳解】∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴，

∵EF＝2EH，BC=8，AD=6，

∴

∴EH＝，

∴EF＝，

∴矩形EFGH的周長＝

故選：C．

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，根據(jù)相似三角形對應邊成比例建立方程是解題的關鍵．

2．C

【分析】根據(jù)已知條件可以推出△CEF∽△MOE∽△PFN然后把它們的直角邊用含x的表達式表示出來，利用對應邊的比相等，即可推出x的值．

【詳解】解：如圖：

在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置邊長分別3，4，x的三個正方形，

△CEF∽△MOE∽△PFN

則有,

∴，

解得：x=0(舍)，x=7，

故選C．

【點睛】本題考查相似三角形的性質，在圖形中找到相似三角形是解題的關鍵．

3．7

【分析】求出AB的長后，根據(jù)相似三角形的性質求出EF的長度，從而判定可放置的正方形的個數(shù).

【詳解】

解：由勾股定理得：AB==13．

由三角形的面積計算公式可知：△ABC的AB邊上的高=．

如圖所示：根據(jù)題意有：△CAB∽△CEF

∴==

∴EF==

∴第二層可放置7個小正方形紙片．

故答案為7.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定、正方形的性質等問題，解題的關鍵是在掌握所學知識點的同時，要具有綜合分析問題、解決問題的能力．

4．10.

【分析】根據(jù)已知條件可以證明△CEF∽△OME∽△PFN，然后把它們的直角邊用x表示出來，利用對應邊成比例，即可求解.

【詳解】解：在Rt△ABC中∠C=90°，放置邊長分別為4、6、x的三個正方形

∴∠OEM+∠FEC=90°，∠OEM+∠EMO=90°，∠C=∠EOM=90°

∴∠EMO=∠FEC

∴△OME∽△CEF

同理可以證得△PFN∽△OME

∴△CEF∽△OME∽△PFN

∵EF=x，MO=4，PN=6

∴OE=x-4，PF=x-6

∴（x-4）：6=4：（x-6）

∴（x-4）（x-6）=24

解得x=10或x=0（舍去）

故答案為：10.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，正方形的性質，解題的關鍵在于能夠找到相似三角形進行求解.

5．（1）矩形零件PQMN的面積為2304mm2;（2）這個矩形零件PQMN面積S的最大值是2400mm2.

【分析】（1）設PQ=xmm，則AE=AD-ED=80-x，再證明△APN∽△ABC，利用相似比可表示出,根據(jù)正方形的性質得到（80-x）=x,求出x的值，然后結合正方形的面積公式進行解答即可．

（2）由（1）可得，求此二次函數(shù)的最大值即可．

【詳解】解：（1）設PQ=xmm，

易得四邊形PQDE為矩形，則ED=PQ=x，

∴AE=AD-ED=80-x，

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

，

即，

，

∵PN=PQ，

，

解得x=48．

故正方形零件PQMN面積S=48×48=2304（mm2）．

（2）

當時，S有最大值==2400（mm2）．

所以這個矩形零件PQMN面積S的最大值是2400mm2.

【點睛】本題考查綜合考查相似三角形性質的應用以及二次函數(shù)的最大值的求法．

6．有最大面積是3，兩個師傅的做法均符合要求，理由見解析．

【分析】根據(jù)相似三角形求矩形的長與寬的函數(shù)關系式，然后表示出有關面積的函數(shù)關系式并求出其最大值，找到最大的方案即可．

【詳解】解：（1）如圖1，設，矩形的面積記為，

由題意，，

即：

解得其中

有最大面積是3．

（2）如圖2，作于點，交與點

，

設，則

即：

整理得：

故兩個師傅的做法均符合要求．

圖2

【點睛】此題考查了相似三角形的性質，相似三角形的對應邊成比例；解此題的關鍵是將實際問題轉化為數(shù)學問題進行解答．

7．甲同學的加工方法更好．

【分析】先根據(jù)直角三角形的面積公式、勾股定理求出BC、AC的長，再根據(jù)相似三角形的判定與性質求出正方形的邊長，然后求出兩個正方形的面積，比較大小即可得．

【詳解】解：

甲同學：

設正方形的邊長為

則

由正方形的性質得：

，即

解得

則正方形的面積為

乙同學：

設正方形的邊長為，則

由正方形的性質得：

，即

解得

在和中，

，即

解得

則正方形的面積為

因

則甲同學的加工方法更好．

【點睛】本題考查了正方形的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質等知識點，理解題意，掌握正方形與相似三角形的性質結合是解題關鍵．

8．這個長方形零件PQMN面積S的最大值是2400mm2

【詳解】試題分析：設長方形零件PQMN的邊PN=a，PQ=x，則AE=80﹣x，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示a，故S=xa，從而得出二次函數(shù)解析式，根據(jù)解析式及自變量取值范圍求S的最大值．

試題解析：設長方形零件PQMN的邊PN=a，PQ=x，則AE=80﹣x．∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC．

∴=．

因此，=．

解得a=120﹣x．

所以長方形PQMN的面積S=xa=x（120﹣x）=﹣x2+120x．

當x=﹣=40時，a=60．

S最大值=40×60=2400（mm2）．

所以這個長方形零件PQMN面積S的最大值是2400mm2.

點睛：本題主要運用了相似三角形的性質，對應邊的比等于對應高的比，同時考查了二次函數(shù)最值的求法，解題時靈活運用相似三角形的判定與性質解題是關鍵.

9．(1)S△ABC＝1200cm2

(2)正方形DEFG的邊長為

【分析】（1）過A作AH⊥BC于H，根據(jù)等腰三角形的性質得到BH＝BC＝30（cm），根據(jù)勾股定理得到AH＝＝＝40（cm），由三角形的面積公式即可得到結論；

（2）過B作BM⊥AC交FG于N，根據(jù)三角形的面積公式得到BM＝48（cm），根據(jù)正方形的性質得到FG∥DE，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論．

【詳解】（1）過A作AH⊥BC于H，

∵AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，

∴BH＝BC＝30（cm），

∴AH＝＝＝40（cm），

∴S△ABC＝BCAH＝60×40＝1200（cm2）；

（2）過B作BM⊥AC交FG于N，

則S△ABC＝ACBM＝1200，

∵AC＝50cm，

∴BM＝48（cm），

∵四邊形DEFG是正方形，

∴FG∥DE，

∴BN⊥FG，△BFG∽△BAC，

∴＝，

∴，

∴FG＝，

∴正方形DEFG的邊長為．

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，正方形的性質，等腰三角形的性質，正確的作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．

10．這個正方形的邊長為cm或cm

【分析】分正方形的邊在BC和AC上兩種情形，結合相似三角形的判定和性質求解即可解決問題；

【詳解】解：①當正方形的邊在BC上時，過點A作AN⊥BC

∵△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，

∴在Rt△ABN中，AN=12，

∵四邊形DEFG是正方形，

∴ED∥BC，DE=GF，

∴△AED∽△ACB，

又∵AN⊥BC，

∴AN⊥DE，DG=ED=EF，

∴，

設DE=x，則AM=12﹣x，

∴，

解得：x=．

②當正方形的邊在AC上時，作BK⊥AC于N交DG于M，

設EF=x，

則BK=，

∵GD∥AC，

∴，解得x=

答：這個正方形的邊長為cm或cm．

【點睛】本題考查相似三角形性質的應用．解題時關鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應邊成比例列出方程，建立適當?shù)臄?shù)學模型來解決問題．

11．矩形的長為mm，寬是mm．

【分析】根據(jù)PQ∥BC證明△APQ∽△ABC，設PN為xmm，則PQ為2xmm，列出比例關系求解即可．

【詳解】解：∵PQMN是矩形，

∴PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC，

設邊PN為xmm，則PQ為2xmm，

即

∵AD是高，

∴PN∥AD，

∴△PBN∽△ABD，

∴

即，，

∵AP+BP＝AB，

∴＝1，

解得x＝，2x＝．

即長為mm，寬為mm．

答：矩形的長為mm，寬是mm．

【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，解題關鍵是熟練運用相似三角形的判定，證明三角形相似，列出比例式求解．

12．(1)這個正方形的邊長為60cm；

(2)正方體的表面積為3456cm2

【分析】（1）設正方形的邊長為xcm，證明△AEH∽△ABC，利用相似三角形的性質得到，然后代值求出x值即可；

（2）設正方體的棱長為acm，同樣證明△AMN∽△ABC，利用相似三角形的性質得到，然后代值求出a值即可．

【詳解】（1）解：設正方形的邊長為xcm，

∵四邊形EFGH是正方形，

∴EH∥BC，EF=EH=xcm，又AD⊥BC，

∴∠AEH=∠ABC，∠AHE=∠ACB，AD⊥EH，DK=EF=xcm，

∴△AEH∽△ABC，

∴，

∵BC=120cm，AD=120cm，

∴，

解得：x=60，

答：方形的邊長為60cm；

（2）解：設正方體的棱長為acm，

由題意知：MN∥BC，AP⊥MN，MN=a，PD=4a，

∴△AMN∽△ABC，

∴，即，

解得：a=24

∴正方體的表面積為6×242=3456cm2．

【點睛】本題考查相似三角形的應用舉例，涉及正方形的性質、平行線的性質、相似三角形的判定與性質、正方體的展開圖和表面積等知識，熟練掌握相似三角形的性質是解答的關鍵．

13．（1），，；（2）

【分析】（1）利用相似三角形的性質求出每個紙條的長；

（2）將（1）中相關數(shù)據(jù)相加，易得紙片的寬度，從而計算出正方形的邊長，從而計算面積即可．

【詳解】解：（1）如圖1，是等腰直角三角形，，是斜邊上的高，

，是斜邊上的中線，

，

∵將斜邊上的高CD四等分，

于是紙條的寬度為：，

，

．

同理，，，

張長方形紙條的長度分別為：，，；

（2）由（1）知，3張長方形紙條的總長度為．

如圖2，圖畫的正方形的邊長為：，

面積為

答：正方形美術作品的面積最大不能超過．

【點睛】此題考查了相似三角形的應用，不僅要計算出紙條的長度，還要計算出寬度，要仔細觀察圖形，尋找隱含條件．

14．24cm

【詳解】試題分析：作AM⊥BC于M,交DG于N,設BC=acm，BC邊上的高為hcm，DG=DE=xcm，根據(jù)題意得出方程組求出BC和，再由平行線得出由相似三角形對應高的比等于相似比得出比例式，即可得出結果．

試題解析：作AM⊥BC于M,交DG于N,如圖所示：

設BC=acm，BC邊上的高為hcm，DG=DE=xcm，

根據(jù)題意得：

解得：或(不合題意,舍去)，

∴BC=60cm，AM=h=40cm，

∵DG∥BC，

∴△ADG∽△ABC，

即

解得：x=24，

即加工成的正方形鐵片DEFG的邊長為24cm.

15．當EF的長為62.5或37.5米時，最大面積為1875平方米

【分析】設DE的長為x，先證△ADG∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應高的比等于相似比得，得，再根據(jù)面積列出，求出x即可．

【詳解】解：設DE的長為x，

∵矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，

∴DG∥BC，

∴△ADG∽△ABC，

∵AH⊥BC，

∴AM⊥DG

∴，

∴，

∴，

∴矩形DEFG面積為：，

解得：x＝30或50，

EF＝DG＝62.5或37.5．

∴當EF的長為62.5或37.5米時，最大面積為1875平方米．

【點睛】本題考查相似三角形的應用，解題關鍵是理清題意正確地找到相似三角形．

16．加工成的正方形零件的邊長是；這個矩形零件的兩條邊長分別為，；的最大值為，此時，．

【分析】（1）設正方形的邊長為xmm，則PN＝PQ＝ED＝x，AE＝ADED＝80x，通過證明△APN∽△ABC，利用相似比可得到，然后根據(jù)比例性質求出x即可；

（2）由于矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，則可設PQ＝x，則PN＝2x，AE＝80x，然后與（1）的方法一樣求解；

（3）設PN＝x，用PQ表示出AE的長度，然后根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

【詳解】（1）如圖，

設正方形的邊長為，則，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

解得．

∴加工成的正方形零件的邊長是；

如圖，

設，則，，

∵，

∴，

∴，即，

解得：，

∴，

∴這個矩形零件的兩條邊長分別為，；

如圖，

設，矩形的面積為，

由條件可得，

∴，

即，

解得：．

則，

故的最大值為，此時，．

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)相似三角形對應高的比等于對應邊的比列式表示出正方形的邊長與三角形的邊與這邊上的高的關系是解題的關鍵．

17．(1)正方形零件的邊長為48mm．(2)AD=BC，(3)證明見解析．

【分析】（1）設正方形零件的邊長為xmm，則KD=EF=x，AK=80﹣x，根據(jù)EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質得到比例式，解方程即可得到結果；

（2）BC=AD，如圖2由已知條件得：EF∥GH∥BC，通過△GBN≌△EGM，得到EG=BG，根據(jù)△AEF∽△AGH，得到比例式，證得AE=EG，于是得到AE=EG=GB，再由△AEF∽△ABC，得到比例式，即可得到結論．

（3）如圖3，過點A作AD⊥BC于D，分別交EF、GH于點M、N，設每個正方形的邊長為