第三章 行列式

第三章行列式第1頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)關(guān)于x1,x2的二元一次方程組為(1.1)其中a11,a12,a21,a22,b1,b2均為已知參數(shù).用中學(xué)的消元法解此方程組.(1.2)將它代入第一個方程并化簡,得(1.3)式(1.2)和(1.3)給出了兩個變量兩個方程的方程組(1.1)的求解公式(當(dāng)a11a22

a12a21

0時).下面介紹一種更簡單的記法表示求解公式(1.2),(1.3).一、二元一次方程組的求解公式第2頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月二、二階行列式的概念定義1二階行列式主對角線副對角線其中橫排稱為行,豎排稱為列.數(shù)aij(i,j=1,2)表示第i行第j列的元素.

在方程組中,若令第3頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月公式(1.4)與公式(1.2)及(1.3)表示的是同一式子,但顯然公式(1.4)簡單易記得多.1其中D稱為系數(shù)行列式,則當(dāng)系數(shù)行列式D

0時,上述方程組的解可簡記為(1.4)公式(1.4)稱為解兩個方程兩個未知量的二元一次方程組的克萊姆(Cramer)法則.例設(shè)2x1+3x2=5,

3x1+x2=3,解此方程組.1例1解

=2+9=110,=4,在§1中我們利用二階行列式已得到了二元一次方程組的求解公式.但實(shí)際問題中,往往要解多個變量的一次方程組(稱為線性方程組),其中最簡單、最重要的是未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)相同的線性方程組.因此有必要引入高階行列式的概念.第4頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月一、排列的概念定義2將前n個自然數(shù)1,2,…,n按照某一順序排成一行,就稱為一個n級排列.其中若某兩數(shù)之間大數(shù)在前而小數(shù)在后,則稱它們構(gòu)成一個逆序.一個排列中所有逆序數(shù)的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).為了得到n階行列式的定義和討論其性質(zhì),先引入排列和逆序數(shù)的概念.n級排列(i1

i2…in)的逆序數(shù)記為τ(i1i2…in),簡記為τ

.例如,四級排列2314中,2與1,3與1構(gòu)成逆序,故τ(2314)=2;再如六級排列243516中,2與1,4與1,3與1,5與1,4與3均構(gòu)成逆序,故τ(243516)=5.第5頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月奇偶排列：有偶數(shù)個反序的排列叫做一個偶排列；有奇數(shù)個反序的排列叫做奇排列。如四級排列2314是偶排列，而六級排列243516為奇排列.對換：將一個排列中兩個位置上的數(shù)互換而其余不動,則稱對該排列作了一次對換.如排列31524是排列21534經(jīng)過2與3對換而得,而τ(21534)=3,τ(31524)=4,即經(jīng)過對換后排列的奇偶性改變了.第6頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2每一次對換改變排列的奇偶性.證由上述定理可知,在n級排列中,奇偶排列各占一半,即各有(n!/2)個.第7頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

先考察相鄰兩個數(shù)字的對換.設(shè)排列(“…”表不動的數(shù)字)經(jīng)j,k的對換…k

j…顯然這時排列中除j與k兩數(shù)順序改變外,其它任意兩數(shù)的順序并沒有變,而j與k之間,若j<k,則經(jīng)對換后構(gòu)成逆序使排列的逆序數(shù)增加1,若j>k,則經(jīng)對換后成自然順序而使排列的逆序數(shù)減少1,總之，排列的奇偶性改變了.…jk…變成排列再看一般情形的對換.設(shè)排列…ji1i2

…im

k…經(jīng)j與k對換變成排列…k

i1i2

…im

j…這可看作是通過一系列相鄰對換得到的.從排列…ji1i2

…im

k…出發(fā)把k與im

對換,再與im1對換,一位位地向左移動,經(jīng)m次相鄰對換就變成了排列…j

k

i1i2

…im…,再把j一位一位地右移,經(jīng)m+1次相鄰對換就變成…k

i1i2

…im

j…,總共經(jīng)過2m+1(奇數(shù))次對換.排列的奇偶性也改變了.證第8頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月一、三階行列式定義1三階行列式其中aij(i,j=1,2,3)表示第i行第j列上的元素.三階行列式的計(jì)算可如下圖:

+++第9頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例如求三階行列式解原式=32+4+012(16)0=32+412+16=40.以后我們將證明三元一次方程組的解將與它的系數(shù)行列式密切相關(guān).第10頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月三、n階行列式的定義利用排列與逆序數(shù)的概念,可以看出三階行列式τ(123)=0τ(312)=2τ(231)=2τ(321)=3τ(132)=1τ(213)=1中共3!=6項(xiàng),其中一半帶正號,一半帶負(fù)號.三階行列式可記為第11頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月其中是對所有三級排列(j1j2j3)求和.同樣,二階行列式其中是對所有二級排列(j1j2)求和.仿此,可得定義3n階行列式其中是對所有n級排列(j1j2…jn)求和,而aij仍稱為第i行第j列的元素.第12頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月由定義3可知,n階行列式是所有不在同一行也不在同一列的n個元素乘積的代數(shù)和,且共有n!項(xiàng),其中一半帶正號,一半帶負(fù)號.例2在一個五階行列式中a13a24a32a41a55的前面應(yīng)取什么符號?解由于τ(34215)=5,列下標(biāo)為奇排列,故a13

a24

a32

a41a55前應(yīng)帶負(fù)號.例3計(jì)算下列n階行列式第13頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月解由定義，D1中取自不同行不同列的n個元素的乘積，除了a11

a22…ann外，其余全為0，而a11

a22…ann的列下標(biāo)的排列為(12…n),τ(12…n)=0,故D1=(1)0a11

a22…ann.作為例3的特例，可知下面的n階行列式(稱為對角行列式)第14頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例4計(jì)算n階行列式解取D2

中不在同一行不在同一列的n個元素的乘積,除a1na2,n-1

…an1外,其余全為0,而a1na2,n-1…an1的列下標(biāo)的排列為(n,n1,…,1),故第15頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月一、行列式按行(列)展開計(jì)算行列式時,除將其化為三角行列式外,還可考慮將高階行列式化為低階行列式直至二階行列式,因?yàn)槎A行列式的計(jì)算極為簡單,為此引入余子式和代數(shù)余子式的概念.定義1在n階行列式中,去掉aij(i,j=1,2,…n)所在的行與所在列后剩下的n

1階行列式稱為元素aij的余子式,記為Mij.余子式Mij帶上符號(

1)i+j則稱為元素aij的代數(shù)余子式,記為Aij,即Aij=(

1)i+jMij.如三階行列式中,元素a11=1的余子式和代數(shù)余子式分別為。第16頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月元素a12=2的余子式和代數(shù)余子式分別為而元素a13=3的余子式和代數(shù)余子式分別為Laplace展開定理又稱為行列式按行(列)展開的法則.利用這一法則并結(jié)合行列式的性質(zhì),可把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式的計(jì)算,從而簡化計(jì)算.第17頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例4用Laplace展開定理解例1.解c1

2c3c4+c3通過直接計(jì)算可知第18頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月而兩者相等,這個現(xiàn)象不是偶然的.事實(shí)上,有定理1(Laplace展開定理)行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.即D=或D=第19頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月證先證明等式(5.1)為此考慮特殊情形(5.2)將上式左端表為(5.3)第20頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月就是對n

1級排列是j1j2…jn

1求和,且顯然

(j1j2…jn1n

)=

(j1j2…jn1),故(5.3)式即為其中只有jn=n時,才不會為零,這時和式對所有n級排列,j1j2…jn

1n求和這就是(5.2)式.接下來將(5.1)式左端的行列式的第i行依次與其下面相鄰的行對換,經(jīng)n

i次對換后換到第n行,然后再將第j列依次與其右邊相鄰的列對換,經(jīng)n

j次對換后換到第n列,這時aij

換到右下角的位置,由性質(zhì)2,式(5.1)左端的行列式等于第21頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月由于經(jīng)上述行列互換，除第i行與第j列元素外，其它各行各列元素相對位置都沒有改變，故上面行列式左上角的n

1階行列式即為aij的余子式Mij,由(5.2)式得(5.1)式左端的行列式為于是(5.1)式得證.下面證明定理.先把D寫成如下形式,并利用行列式性質(zhì)5及(5.1)式有第22頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月類似地按列證明便得第23頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例5計(jì)算n階行列式將其直接按第一列展開,得解第24頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例6計(jì)算n階行列式解(i2)第25頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例7證明范德蒙(Vandermonde)行列式其中n2,

稱為連乘號,這里表示所有可能的xi

xj(1j<i

n)的乘積.假設(shè)對于n

1階范德蒙行列式結(jié)論正確,現(xiàn)在來證n階的情形.設(shè)法將Dn降階,為此,從第n行開始,下面一行減去上面一行的x1倍,得證第26頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月上式右端的行列式為n

1階范德蒙行列式,于是由歸納假設(shè)有第27頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2關(guān)于代數(shù)余子式,還有下列定理行列式的任一行(列)的所有元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.或即(i

j)第28頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月有了n階行列式概念后，可以把解二元一次方程組的克萊姆法則加以推廣。定理1(克萊