數(shù)學(xué)人教A版（2023）選擇性必修第一冊(cè)1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算（共32張ppt）

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1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算

第一章空間向量與立體幾何

人教A版2023選修第一冊(cè)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面空間推廣的過(guò)程，了解空間向量

的概念；

2.掌握空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其表示；

3.掌握空間向量加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算律；

4.借助向量的線性運(yùn)算的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

01復(fù)習(xí)回顧

PARTONE

起點(diǎn)

終點(diǎn)

定義

空間中既有大小又有方向的量叫做向量。

模長(zhǎng)

記作

表示方法

（2）幾何表示法：有向線段

（1）代數(shù)表示法：

空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模

復(fù)習(xí)回顧

（1）空間向量的加減法

a

b

a

b

O

A

B

C

復(fù)習(xí)回顧

(2)實(shí)數(shù)與向量的積

與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算，記作λa，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：

①|(zhì)λa|＝____.

②當(dāng)λ>0時(shí)，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與向量a方向；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.

(3)空間向量數(shù)乘運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律

①λ(μa)＝______；②λ(a＋b)＝________；

③(λ1＋λ2)a＝_________.

相反

|λ||a|

(λμ)a

λa＋λb

λ1a＋λ2a

復(fù)習(xí)回顧

02共線向量

PARTONE

共線向量

探究：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a,b,如果a＝λb（λ∈R），a與b有什么位置關(guān)系？反過(guò)來(lái)，a與b有什么位置關(guān)系時(shí)，a＝λb

類似于平面向量共線的充要條件，對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b（b≠0），a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb

（1）共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量(或平行向量),

記作

共線向量

（2）共線向量定理

共線向量

如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，可知＝λa，把與向量a平行的非零向量稱為直線l的，直線l上任意一點(diǎn)都可以由直線l上的一點(diǎn)和它的方向向量表示.

（3）方向向量

方向向量

O

P

共線向量

由知存在唯一的t,滿足

如圖，l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行已知非零向量的直線，

對(duì)空間任意一點(diǎn)O,

所以

即

若在l上取則有

①和②都稱為空間直線的向量表示式，空間任意直線由空間一點(diǎn)及直線的方向向量唯一決定.

l

A

B

P

O

若點(diǎn)P是直線l上任意一點(diǎn)，則

①

②

共線向量定理的推論

共線向量

特別的，當(dāng)t=時(shí)，則

A

B

P

O

t

1-t

P點(diǎn)為A,B的中點(diǎn)

共線向量

A、B、P三點(diǎn)共線

總結(jié)

共線向量

－8

共線向量

2.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且，F(xiàn)在對(duì)角線A1C上，且，求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.

解：設(shè)a，=b，=c，

∵，，∴，，而==b

∴=b，==.

∴,又,

∴=，即E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.

共線向量

反思感悟向量共線的判定及應(yīng)用

(1)判斷或證明兩向量a，b(b≠0)共線，就是尋找實(shí)數(shù)λ，

使a＝λb成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用空間向量的

線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡(jiǎn)或用同一組向量表達(dá).

(2)判斷或證明空間中的三點(diǎn)(如P，A，B)共線的方法：是否

存在實(shí)數(shù)λ，

03共面向量

PARTONE

共面向量

1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

共面向量

思考：空間任意兩個(gè)向量是共面向量，則空間任意三個(gè)向量是否共面？

不一定，如圖所示，空間中的三個(gè)向量不共面.

共面向量

探究1：如果空間向量p與兩個(gè)不共線向量a，b共面，那么可將三個(gè)向量平移到一個(gè)平面內(nèi)，則有p＝xa＋yb

共面向量

探究2：對(duì)空間兩個(gè)不共線向量a，b共面，有p＝xa＋yb，那么向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系？

C

∵xa，yb分別與a，b共線

∴xa，yb都在a，b確定的平面內(nèi)，且平行四邊形也在a，b確定的平面內(nèi)

∴p=xa+yb在a，b確定的平面內(nèi)。

共面向量

三個(gè)向量共面的充要條件：向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在_____的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)__________

共面向量定理

唯一

p＝xa＋yb

推論：若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有＝＋y或

＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)

共面向量

P與A、B、C共面

總結(jié)

共面向量

1.(多選)對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，能得到

P，A，B，C四點(diǎn)共面的是（）

BC

共面向量

共面向量

3.(多選)下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（）

解析A選項(xiàng)中，3－1－1＝1，四點(diǎn)共面，

∴點(diǎn)M，A，B，C共面.

AC

共面向量

且M，A，B，C四點(diǎn)共面，

√

共面向量

5.如圖,已知平行四邊形ABCD,從平面AC外一點(diǎn)O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，使

證明：四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共面

四點(diǎn)共面→有公共起點(diǎn)的三個(gè)向量共面

嘗試用空間向量解決立體幾何問(wèn)題

共面向量

證明:

·

方法總結(jié)

選擇恰當(dāng)?shù)南?/p>