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1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算

第一章空間向量與立體幾何

人教A版2023選修第一冊(cè)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面空間推廣的過(guò)程,了解空間向量

的概念;

2.掌握空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其表示;

3.掌握空間向量加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算律;

4.借助向量的線性運(yùn)算的學(xué)習(xí),提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

01復(fù)習(xí)回顧

PARTONE

起點(diǎn)

終點(diǎn)

定義

空間中既有大小又有方向的量叫做向量。

模長(zhǎng)

記作

表示方法

(2)幾何表示法:有向線段

(1)代數(shù)表示法:

空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模

復(fù)習(xí)回顧

(1)空間向量的加減法

a

b

a

b

O

A

B

C

復(fù)習(xí)回顧

(2)實(shí)數(shù)與向量的積

與平面向量一樣,實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量,稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算,記作λa,其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下:

①|(zhì)λa|=____.

②當(dāng)λ>0時(shí),λa與向量a方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa與向量a方向;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0.

(3)空間向量數(shù)乘運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律

①λ(μa)=______;②λ(a+b)=________;

③(λ1+λ2)a=_________.

相反

|λ||a|

(λμ)a

λa+λb

λ1a+λ2a

復(fù)習(xí)回顧

02共線向量

PARTONE

共線向量

探究:對(duì)任意兩個(gè)空間向量a,b,如果a=λb(λ∈R),a與b有什么位置關(guān)系?反過(guò)來(lái),a與b有什么位置關(guān)系時(shí),a=λb

類似于平面向量共線的充要條件,對(duì)任意兩個(gè)空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb

(1)共線向量:如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量(或平行向量),

記作

共線向量

(2)共線向量定理

共線向量

如圖,O是直線l上一點(diǎn),在直線l上取非零向量a,則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P,可知=λa,把與向量a平行的非零向量稱為直線l的,直線l上任意一點(diǎn)都可以由直線l上的一點(diǎn)和它的方向向量表示.

(3)方向向量

方向向量

O

P

共線向量

由知存在唯一的t,滿足

如圖,l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行已知非零向量的直線,

對(duì)空間任意一點(diǎn)O,

所以

若在l上取則有

①和②都稱為空間直線的向量表示式,空間任意直線由空間一點(diǎn)及直線的方向向量唯一決定.

l

A

B

P

O

若點(diǎn)P是直線l上任意一點(diǎn),則

共線向量定理的推論

共線向量

特別的,當(dāng)t=時(shí),則

A

B

P

O

t

1-t

P點(diǎn)為A,B的中點(diǎn)

共線向量

A、B、P三點(diǎn)共線

總結(jié)

共線向量

-8

共線向量

2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且,F(xiàn)在對(duì)角線A1C上,且,求證:E,F(xiàn),B三點(diǎn)共線.

解:設(shè)a,=b,=c,

∵,,∴,,而==b

∴=b,==.

∴,又,

∴=,即E,F(xiàn),B三點(diǎn)共線.

共線向量

反思感悟向量共線的判定及應(yīng)用

(1)判斷或證明兩向量a,b(b≠0)共線,就是尋找實(shí)數(shù)λ,

使a=λb成立,為此常結(jié)合題目圖形,運(yùn)用空間向量的

線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡(jiǎn)或用同一組向量表達(dá).

(2)判斷或證明空間中的三點(diǎn)(如P,A,B)共線的方法:是否

存在實(shí)數(shù)λ,

03共面向量

PARTONE

共面向量

1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

共面向量

思考:空間任意兩個(gè)向量是共面向量,則空間任意三個(gè)向量是否共面?

不一定,如圖所示,空間中的三個(gè)向量不共面.

共面向量

探究1:如果空間向量p與兩個(gè)不共線向量a,b共面,那么可將三個(gè)向量平移到一個(gè)平面內(nèi),則有p=xa+yb

共面向量

探究2:對(duì)空間兩個(gè)不共線向量a,b共面,有p=xa+yb,那么向量p與向量a,b有什么位置關(guān)系?

C

∵xa,yb分別與a,b共線

∴xa,yb都在a,b確定的平面內(nèi),且平行四邊形也在a,b確定的平面內(nèi)

∴p=xa+yb在a,b確定的平面內(nèi)。

共面向量

三個(gè)向量共面的充要條件:向量p與不共線向量a,b共面的充要條件是存在_____的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)__________

共面向量定理

唯一

p=xa+yb

推論:若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi),則有=+y或

=x+y+z(x+y+z=1)

共面向量

P與A、B、C共面

總結(jié)

共面向量

1.(多選)對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,能得到

P,A,B,C四點(diǎn)共面的是()

BC

共面向量

共面向量

3.(多選)下列條件中,使M與A,B,C一定共面的是()

解析A選項(xiàng)中,3-1-1=1,四點(diǎn)共面,

∴點(diǎn)M,A,B,C共面.

AC

共面向量

且M,A,B,C四點(diǎn)共面,

共面向量

5.如圖,已知平行四邊形ABCD,從平面AC外一點(diǎn)O作射線OA,OB,OC,OD,在四條射線上分別取點(diǎn)E,F(xiàn),G,H,使

證明:四點(diǎn)E,F(xiàn),G,H共面

四點(diǎn)共面→有公共起點(diǎn)的三個(gè)向量共面

嘗試用空間向量解決立體幾何問(wèn)題

共面向量

證明:

·

方法總結(jié)

選擇恰當(dāng)?shù)南?/p>

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