2021年中考05 因式分解（原卷版）

專題05因式分化

專題知識(shí)點(diǎn)概述

一、因式分化及其方式

因式分化，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式。因式分化是恒等變形的根本，它作為數(shù)

學(xué)的一個(gè)有力工具、一種數(shù)學(xué)方式在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分化的方

式有許多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分化法、十字相乘法等外，還有如操

縱拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分化、換元、待定系數(shù)等等。

1.提公因式法：一樣地，參加多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫(xiě)成

因式乘積的形式，這種分化因式的方式叫做提公因式法.比如：am+an=a(m+n)

2.運(yùn)用公式法：參加把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分化因式，這種分化因式的方式叫

做運(yùn)用公式法.

(1)平方差公式

兩數(shù)平方差，等于這兩數(shù)的和乘以這兩數(shù)的差，字母表達(dá)式：。2一。2=(。+3(4一3

(2)完全平方公式

兩個(gè)數(shù)的平方和，加上(大概減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(大概差)的平方.

字母表達(dá)式：a2±2ab+b2-(a±Z?)'

(3)立方和與立方差公式

兩個(gè)數(shù)的立方和(大概差)等于這兩個(gè)數(shù)的和(大概差)乘以它們的平方和與它們積的差(大概和).

a'+b''=(a+b)(a2-ab+b')

a"-b'=(a-b)(a2+ab+b")

3.十字相乘法分化因式：操縱十字交叉線來(lái)分化系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分化因式的方式叫做十字相乘法.

(1)對(duì)于二次三項(xiàng)式V+bx+c,若存在—c,則灰+c=(x+p)(x+q)

p+q=b

(2)首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法

在二次三項(xiàng)式o?+法+C(。#0)中，參加二次項(xiàng)系數(shù)4可以分化成兩個(gè)因數(shù)之積，即。=《生，

常數(shù)項(xiàng)c可以分化成兩個(gè)因數(shù)之積，即。=《。2，把《，4，J，布列如下：

以］612+。］

按斜線交叉相乘，再相加，得到4c2+4J,若它正好等于二次三項(xiàng)式a^+bx+c的一次項(xiàng)系

數(shù)。，即aj+a2G=6,那么二次三項(xiàng)式就可以分化為兩個(gè)因式qx+q與之積，即

cvc+Zzr+c=(alx+cl)(fi2x+c2).

4.分組分化法：對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分化時(shí)，可思

量分步處理的方式，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分化因式，然后再對(duì)整體作因式分化一

一分組分化法.即先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分組，然后再分化因式.比如:

am-an-bm+bn=(am-an)-(bm-bn)-a(m-n)-b(m-n)=(m-n)(a-b).

二、因式分化策略

1.因式分化的一樣步驟：

(1)先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有，則先提取公因式；

(2)再看能否使用公式法；

(3)用分組分化法，即通過(guò)度組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來(lái)達(dá)到分化的目的；

(4)因式分化的末了成果必須是幾個(gè)整式的乘積，否則不是因式分化；

(5)因式分化的成果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范疇內(nèi)不能再分化為止.

若有公因式，先提公因式；然后再思量用公式法(平方差公式4—4=(,+6)(a—6),完全平方公

式成±2a6+62=(a±8)2)或其它方式分化；直到每個(gè)因式都不能再分化為止.

2.從多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)來(lái)思量用什么方式分化因式.

(1)參加是兩項(xiàng)，應(yīng)思量用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式來(lái)分化因式.

(2)參加是二次三項(xiàng)式，應(yīng)思量用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法.

(3)參加是四項(xiàng)式大概大于四項(xiàng)式，應(yīng)思量提公因式法，分組分化法.

3.因式分化要注重的幾個(gè)問(wèn)題:

(1)每個(gè)因式分化到不能再分為止.

(2)一樣因式寫(xiě)成乘方的形式.

(3)因式分化的成果不要中括號(hào).

(4)參加多項(xiàng)式的第一項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，一樣要提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)系數(shù)為正數(shù).

(5)因式分化的成果，參加是單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，把單項(xiàng)式寫(xiě)在多項(xiàng)式的前面.

【例題1】(2021?江蘇無(wú)錫)分化因式4x?-y2的成果是()

A.(4x+y)(4x-y)B.4(x+y)(x-y)

C.(2廣力(2x-力D.2(A+y)(x-y)

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】(2021廣西賀州)把多項(xiàng)式4/7分化因式，成果對(duì)的是()

A.(4。+1)(4。-1)B.(2。+1)(2。-1)

C.(2a-I)?D.(2a+l)2

【例題2】(2021貴州黔西南)多項(xiàng)式/—4a分化因式的成果是.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】(2021寧夏)分化因式：2a-8a=.

【例題3】(2021?聊城)因式分化：x(x-2)-廣2=

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】(2021齊齊哈爾)因式分化：才+1-2>4(a-1)

一、挑選題

1.(2021?金華)下列多項(xiàng)式中，能運(yùn)用平方差公式分化因式的是()

A.a+l)B.2a-I)C.a-1)D.-a-1)

2.(2021湖北荊州模擬)把多項(xiàng)式4--2*-丫2-丫用分組分化法分化因式，對(duì)的分組方式應(yīng)該是

()

A.(4xJ-y)-(2x+y2)B.(4x'-y2)-(2x+y)

C.4x~-(2x+y'+y)D.(4x2-2x)-(y2+y)

3.(2021廣西賀州)把多項(xiàng)式4a2-分化因式，成果對(duì)的是()

B.(4?+1)(4?-1)B.(2a+l)(2a-l)

C.(2a-I)?D.(2a+l)2

4.(2021四川瀘州)把2az-8分化因式，成果對(duì)的是()

A.2(a2-4)B.2(a-2)2

C.2(我2)(a-2)I).2(殲2)2

5.(2021山東濰坊模擬)下列因式分化對(duì)的是()

A.x-4=(x+4)(x-4)B.X2+2X+1=X(X+2)+1

C.3mx-6my=3m(x-6y)D.2x+4=2(x+2)

6.(2021齊齊哈爾模擬)把多項(xiàng)式x2-6x+9分化因式，成果對(duì)的是()

A.(x-3)2B.(x-9)2

C.(x+3)(x-3)D.(x+9)(x-9)

7.(2021黑龍江綏化)下列因式分化對(duì)的是()

A.X2—x=x(x+1)B.a*—3a—4=(a+4)(a—1)

C.a'+2ab—b2=(a—b)'D.x°—『=(x+y)(x—y)

二、填空題

8.(2021?聊城)因式分化：x(x-2)-戶2=.

9.(2021?株洲模擬)分化因式：x?+3x(x-3)-9=.

10.(2021?綏化)因式分化：mrf-m—.

11.（2021?哈爾濱）把多項(xiàng)式加7+6/m+9〃分化因式的成果是

12.（2021?黔東南州）在實(shí)數(shù)范疇內(nèi)分化因式：xy-4A-=.

13.（2021?濟(jì)寧）分化因式a：'-4a的成果是.

14.（2021?寧波）分化因式：2a?-18=.

15.（2021?溫州）分化因式：nf-25=.

16.（2021?銅仁市）因式分化：a+ab-a=.

17.（2021?黔西南州）把多項(xiàng)式a，-4a分化因式，成果是

18.（2021?湖北天門(mén)）分化因式：x‘-4/=.

19.（2021山東東營(yíng)）因式分化：x（A-3）-x+3=

20.（2021貴州省畢節(jié)市）分化因式：x-16=.

21.（2021廣東深圳）分化因式：ab2-a=.

22.（2021黑龍江哈爾濱）分化因式：a3-6a2b+9ab2^

23.（2021貴州黔西南州）分化因式：9%-y=?

24.（2021?湖南張家界）因式分化：xy-y^

25.（2021年陜西?。┮蚴椒只篩y-9盯3=

26.(2021黑龍江大慶)分化因式:a?b+ab2—a—b=.

27.(2021?江蘇常州)分化因式：a/—4a=.

28.(2021內(nèi)蒙古赤峰)因式分化：x-2xy+xy=.

三、解答題

29.(2021湖北咸寧)若整式步+蘇(/為常數(shù)，且它0)能在有理數(shù)范疇內(nèi)分化因式，則"的值

可以幾(寫(xiě)一個(gè)即可).

30.把a(bǔ)b-a-b+1分化因式。

31.(2021廣西河池)分化因式：(x-l>+2(x-5).

32.若|m-41與r?-8n+16互為相反數(shù)，把多項(xiàng)式aJ+4b-mab-n因式分化.

33.