13.1 概率及其計算

/第十三章概率與統(tǒng)計本章知識結構圖統(tǒng)計統(tǒng)計隨機抽樣抽簽法隨機數(shù)表法簡單隨機抽樣系統(tǒng)抽樣分層抽樣共同特點：抽樣過程中每個個體被抽到的可能性（概率）相等用樣本估計總體樣本頻率分布估計總體總體密度曲線頻率分布表和頻率分布直方圖莖葉圖樣本數(shù)字特征估計總體眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)方差、標準差變量間的相關關系兩個變量的線性相關散點圖回歸直線正態(tài)分布列聯(lián)表（2×2）獨立性分析概率概率的基本性質(zhì)互斥事件對立事件古典概型幾何概型條件概率事件的獨立性用隨機模擬法求概率常用的分布及期望、方差隨機變量兩點分布X～B(1，p)E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)二項分布X～B(n，p)E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)X～H(N，M，n)E(X)＝neq\f(M,N)D(X)＝eq\f(nM,N)eq\b(1－\f(M,N))eq\f(N－n,N－1)n次獨立重復試驗恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝eqC\o(\s\up1(k),\s\do1(n))pk(1－p)n－k超幾何分布若Y＝aX＋b，則E(Y)＝aE(X)＋bD(Y)＝a2D(X)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)P(A)＝1－P(A)P(AB)＝P(A)·P(B)P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))

第一節(jié)概率及其計算考綱解讀1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性、頻率的穩(wěn)定性、概率的意義、頻率與概率的區(qū)別。2.了解兩個互斥事件的概率的加法公式。3.掌握古典概型及其概率計算公式。4.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率。5.了解幾何概型的意義。命題趨勢探究1.本部分為高考必考內(nèi)容，在選擇題、填空題和解答題中都有滲透。2.命題設置以兩種概型的概率計算及運用互斥、對立事件的概率公式為核心內(nèi)容，題型及分值穩(wěn)定，難度中等或中等以下。知識點精講一、必然事件、不可能事件、隨機事件在一定條件下：=1\*GB3①必然要發(fā)生的事件叫必然事件；=2\*GB3②一定不發(fā)生的事件叫不可能事件；=3\*GB3③可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機事件。二、概率在相同條件下，做次重復實驗，事件A發(fā)生次，測得A發(fā)生的頻率為，當很大時，A發(fā)生的頻率總是在某個常數(shù)附近擺動，隨著的增加，擺動幅度越來越小，這時就把這個常數(shù)叫做A的概率，記作。對于必然事件A，；對于不可能事件A，=0.三、基本事件和基本事件空間在一次實驗中，不可能再分的事件稱為基本事件，所有基本事件組成的集合稱為基本事件空間。四、兩個基本概型的概率公式 1、古典概型條件：1、基本事件空間含有限個基本事件2、每個基本事件發(fā)生的可能性相同2、幾何概型條件：每個事件都可以看作某幾何區(qū)域的子集A，A的幾何度量（長度、面積、體積或時間）記為.。五、互斥事件的概率1、互斥事件在一次實驗中不能同時發(fā)生的事件稱為互斥事件。事件A與事件B互斥，則。2、對立事件事件A,B互斥，且其中必有一個發(fā)生，稱事件A,B對立，記作或。。3、互斥事件與對立事件的聯(lián)系對立事件必是互斥事件，即“事件A，B對立”是”事件A，B互斥“的充分不必要條件。題型歸納及思路提示題型176古典概型思路提示首先確定事件類型為古典概型，古典概型特征有二：有限個不同的基本事件及各基本事件發(fā)生的可能性是均等的；其次計算出基本事件的總數(shù)及事件A所包含的基本事件數(shù)；最后計算。例13.1設平面向量，，其中（1）請列出有序數(shù)組的所有可能結果；（2）若“使得成立的為事件A，求事件A發(fā)生的概率。分析：兩向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0，從而可得與的關系，再從以上的16個有序數(shù)組中篩選出符合條件的，即得事件A包含的基本事件個數(shù)。解析：（1）由，有序數(shù)組的所有可能結果為，，，，共16個。（2）因為，，所以.又，得，即，所以。故事件A包含的基本事件有和，共2個，由古典概型概率計算公式得。評注：=1\*GB3①解題時，將所有基本事件全部列出是避免重復和遺漏的有效方法，注意在列舉時，必須按照某一順序來列舉；=2\*GB3②本題以向量為載體，利用向量的運算和關系等向量的基本知識解決概率問題，是將兩類知識結合得較好的一道題目。變式1電子鐘一天顯示的時間從00：0023：59，每一時間都由4個數(shù)字組成，則一天中任取一時刻顯示的4個數(shù)字之和為23的概率為（）A.B.C.D.變式2連拋兩次骰子的點數(shù)分別為，記向量，向量，與的夾角為，則的概率是（）A.B.C.D.例13.2（2012重慶理15）某藝校在一天的6節(jié)課中隨機安排語文，數(shù)學，外語三門文化課和其它三門藝術課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術課的概率為____________（用數(shù)字作答）。解析：6節(jié)課隨機安排，共有種不同的方法。課表上相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術課，有以下三種情況：=1\*GB3①三門文化課間有2節(jié)藝術課：有種方法；=2\*GB3②三門文化課間有1節(jié)藝術課：有種方法；=3\*GB3③三門文化課間有0節(jié)藝術課：有種方法。共有72+216+144=432種符合題意的安排方法，故所求概率為。變式1（2012上海理11）三位同學參加跳高，跳遠，鉛球項目的比賽，若每人都選擇其中兩個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是______________（結果用最簡分數(shù)表示）。變式2甲乙兩人一起去游“2011西安世園會”，他們約定：各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是（）A.B.C.D.變式3在某地的奧運火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號1，2，3，…，18的18名火炬手，若從中任選3人，則選出的3名火炬手的編號能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為（）A.B.C.D.題型177幾何概型的計算思路提示首先確定事件類型為幾何概型并明確其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時間），其次計算出基本事件區(qū)域的數(shù)值和事件A包含區(qū)域數(shù)值，最后計算，解幾何概型問題的關鍵是畫圖、求面積。例13.3（2012遼寧理10）在長為12cm的線段AB上任取一點C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別為線段AC,CB的長，則該矩形面積小于32的概率為（）A.B.C.D.解析：設，則，且，所以表示矩形的面積，令，解得：或，如圖13-1所示，故所示的概率為.故選.變式1，，，.（1）定義區(qū)間的長度為，的長度為3，則=_________.（2）某函數(shù)的值域為，且的概率不小于，則的取值范圍為_______.例13.4（2012福建理6）如圖13-2所示，在邊長為的正方形中任取一點，則點恰好取自陰影部分的概率為（）A.B.C.D.解析：由題意可知，陰影部分的面積是由函數(shù)圍成的幾何圖形的面積，利用定積分可知：，又所以由幾何概型知，所求的概率為.故選.評注：利用線性規(guī)劃和積分知識求面積，是解決相關的幾何概型問題的常見方法.變式1小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書，則小波周末不在家看書的概率為_____________.變式2（2012北京石景山一模理13）如圖13-3所示，圓：內(nèi)正弦曲線與軸圍成的區(qū)域記為（圖中陰影部分），隨機往圓內(nèi)投一個點，則該點落在區(qū)域內(nèi)的概率是__________.變式3（2012湖北理8）如圖13-4所示，在圓心角為直角的扇形中，分別以，為直徑作兩個半圓，在扇形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是（）A.B.C.D.例13.5已知,，則的概率為______.解析幾何概型作出，的區(qū)域圖（如圖13-5所示）.,,則.變式1，（1），求的概率；（2），求的概率.例13.6甲乙兩人約定在20：00到21：00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在20：00到21：00各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內(nèi)能相見的概率。分析由題意知，當甲乙兩人到達目的地的時間相差小于或等于40分鐘時兩人便能在約定時間內(nèi)相見。解析設甲乙兩人分別于時和時到達約定地點，要使兩人能在約定時間范圍內(nèi)相見，當且僅當.記20：00為0時，21：00為1時，兩人到達約見地點的所有可能時刻滿足，結果可用如圖13-6所示的單位正方形（包括邊界）內(nèi)的點來表示，兩人能在約定時間內(nèi)相見的時刻的所有可能滿足，可用如圖13-6所示的陰影部分（包括邊界）來表示。故所求概率為.評注：對問題中事件模型的認識與轉化是解決問題的關鍵，這里涉及兩個人的時間轉化為二維面積問題計算.變式1甲乙兩艘輪船都要停靠在同一泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達.如果甲乙兩船停靠泊位的時間分別為4小時和2小時，求有一艘輪船停靠泊位時必須等待一段時間的概率。變式2小明家的晚報在下午5：306：30之間的任何一個時刻隨機地被送到，小明一家人在下午6：007：00之間的任何一個時刻隨機地開始晚餐。（1）你認為晚報在晚餐開始之前被送到和在晚餐開始之后被送到哪一種可能性更大？（不用計算）.（2）晚報在晚餐開始之前被送到的概率是多少？最有效訓練題53（限時40分鐘）1、甲乙丙三人隨意坐下一排座位，乙正好坐中間的概率為（）A.B.C.D.2、從中隨機選取一個數(shù)為，從中隨機選取一個數(shù)為，則的概率是（）A.B.C.D.3、兩根相距3的木桿上系一根拉直的繩子，并在繩子上掛一彩珠，則彩珠與兩端距離都大于的概率為（）A.B.C.D.4、先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子（它們的六個面分別標有點數(shù)1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的點數(shù)分別為，則的概率為（）A.B.C.D.5、在邊長為18的線段上任取一點，并以線段為邊作正方形，則這個正方形的面積介于36與81之間的概率為（）A.B.C.D.6、甲乙分別從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是（）A.B.C.D.7、從一副混合后的撲克牌（52張）中隨機抽取1張，事件為“抽得紅桃”，事件為“抽得的是黑桃”，則概率=____________（結果用最簡分數(shù)表示）.8、一個正三角形的外接圓的半徑為，向該圓內(nèi)隨機投一點，點恰好落在正三角形外的概率是___________.9、已知函數(shù)，且，則對于任意的，函數(shù)總有兩個不同的零點的概率是_