基于MATLAB的二階系統(tǒng)分析

基于MATLAB的二階系統(tǒng)分析凡是以二階微分方程描述運動方程的控制系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。在控制工程中，不僅二階系統(tǒng)的典型應用極為普遍，而且不少高階系統(tǒng)的特性在一定條件下可用二階系統(tǒng)的特性來表征。因此，著重研究二階系統(tǒng)的分析和計算方法，具有較大的實際意義。1.典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)分析典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)分析是從時域方面對二階系統(tǒng)進行分析。時域分析具有非常直觀的分析效果，例如：給系統(tǒng)輸入端加上階躍信號觀察系統(tǒng)的輸出狀況即二級系統(tǒng)的單位階躍響應，能夠很直觀、很全面的對所研究的二階系統(tǒng)作出全面了解。但在計算機尚未普及之前，對二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線的繪制全依賴于人們的手工描繪，所以，對簡單的、低階系統(tǒng)尚能用時域法進行分析，但對于高階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線就很難依賴手工繪制。因此，這位系統(tǒng)的暫態(tài)分析提出了很大挑戰(zhàn)。然而，隨著計算機技術的發(fā)展，用計算機設計的控制系統(tǒng)的計算機輔助設計軟件層出不窮，這為控制系統(tǒng)的暫態(tài)分析提供了方便。因此，基于MATLAB的二階系統(tǒng)分析，就是利用現在在控制系統(tǒng)分析、系統(tǒng)仿真等領域中應用非常廣泛的MATLAB語言作為分析工具。1.1典型二階系統(tǒng)的數學模型分析在研究典型的二階系統(tǒng)時常用的數學模型有：T2血+2訂蟻+)=r(t)(l)dt2dt00①(s)二C(s)二1=馀R(s)T2s2+2gTs+1s2+2口s+32nn其中，g為系統(tǒng)的阻尼比，3為無阻尼自然震蕩頻率。n公式(1)是對二階系統(tǒng)的微分方程描述，公式(2)是對二階系2)統(tǒng)的傳遞函數描述。1.2典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應典型二階系統(tǒng)的特征方程為：D(s)=s2+2g3s+32=0nn特征根為：s=-gw±Jg2-131,2nn3)4)由公式(4)可以看出，特征根的分布主要取決于系統(tǒng)的阻尼比g。而系統(tǒng)在零初始條件下，典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應：1321C(s)"(s)_二-ss2+2g3s+32snn單位階躍響應的特征主要取決于特征根的分布，當3二1rads時,n5)取不同的阻尼比g時的到得階躍響應曲線如下所示:21.81.61.41.210.80.60.40.2圖1不同阻尼比下的階躍響應因此，根據系統(tǒng)的阻尼比g的不同，把二階系統(tǒng)分為幾種不同的狀態(tài)如下：1，臨界阻尼狀態(tài)分析當1時，特征根為重負實根S，系統(tǒng)的單位階躍響應曲n線如下圖所示：1987000654000302100edutilpmA1987000654000302100edutilpmA202530圖2二階系統(tǒng)臨界阻尼狀態(tài)由臨界阻尼狀態(tài)下系統(tǒng)的單位階躍響應曲線可看出，當t二0時，響應過程的變化率為零；當t>0時，響應過程的變化率為正，響應過程單調上升；當t十時，響應過程的變化率趨于零，響應過程趨于常數1。g>1，過阻尼狀態(tài)分析當g>1時，特征根為兩個不相等的負實根，系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如下所示：

圖3二階系統(tǒng)過阻尼狀態(tài)由過阻尼狀態(tài)下系統(tǒng)的單位階躍響應曲線可看出，系統(tǒng)的單位階躍響應與臨界阻尼狀態(tài)相似，但響應速度比臨界阻尼狀態(tài)緩慢。o<g<1，欠阻尼狀態(tài)分析當0<g<1時，特征根為一對共軛復數s=-?土加（耳，系nn統(tǒng)的單位階躍響應曲線如下所示：99)圖4二階系統(tǒng)欠阻尼狀態(tài)由欠阻尼狀態(tài)下系統(tǒng)的單位階躍響應曲線可以看出，欠阻尼狀態(tài)下的響應曲線有兩個特征：衰減振蕩和振蕩頻率不變。由于二階系統(tǒng)的欠阻尼狀態(tài)在工程實踐中具有廣泛應用，因此，對二階系統(tǒng)的欠阻尼狀態(tài)的暫態(tài)性能指標做如下論述：對公式（5）作拉普拉斯逆變換的單位階躍響應為：TOC\o"1-5"\h\zc（t）=1-e-sin（①t+申）（6）心2d1其中3=3J1-g2（7）dn3稱為有阻尼振蕩頻率。d上升時間tr對于欠阻尼系統(tǒng)來說當系統(tǒng)第一次到達穩(wěn)態(tài)值時所用的時間即為上升時間。所以，有c（t）=1結合公式（6）得：兀7t=r3n由公式（8）值知，在g—定時，上升時間t與有阻尼振蕩頻率3rd成反比。超調時間tp超調時間t為系統(tǒng)從初始時刻到達到最大值時的時間，所以只需p對公式（6）進行求導使導數為零得t為：冗t=-p3d由t的計算公式知t只與3有關且成反比。ppd超調量5%由計算超調時間時可知5%為:p5%=ei弋2*100%（10）p由5%的計算公式知由計算超調時間時可知5%為:p5%=ei弋2*100%（10）p由5%的計算公式知5%只與g有關。pp④調節(jié)時間ts調節(jié)時間t與調節(jié)精度有關因此有：s4T11)當A二5時t二丄二3Ts3n12)對欠阻尼狀態(tài)下各性能指標在單位階躍響應曲線中的位置如下圖所示：1.41.2StepResponseSystem:G[11Pteakamplitude:1.16Overshoot(%):16.3.Attime(sec):3.62System:GSystem:G-——SettlingTime(sec):8.08FinalVabe:1edutilpmA8600System:GRiseTime:1.6551015202530Time(sec)圖5欠阻尼狀態(tài)下暫態(tài)性能指標1.2.4o，無阻尼狀態(tài)分析當g=0時，特征根為一對純虛數s=±jo，系統(tǒng)的單位階躍響應n曲線如下所示：0051015202530Time(sec)0051015202530Time(sec)StepResponse圖5二階系統(tǒng)無阻尼狀態(tài)由無阻尼狀態(tài)下系統(tǒng)的單位階躍響應曲線可看出，單位階躍響應為等幅振蕩，此時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。2.典型二階系統(tǒng)的根軌跡分析控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點在復平面上隨系統(tǒng)參數變化的軌跡稱為控制系統(tǒng)的根軌跡。以根軌跡放大系數k為參變量的根軌跡稱為常義根軌跡。現以常義根軌跡來分析欠阻尼系統(tǒng)如下：通過根軌跡放大系數k的變化，通過MATLAB作圖，可以很容易的看出欠阻尼系統(tǒng)的閉環(huán)極點在復平面上隨系統(tǒng)參數變化，通過觀察欠阻尼系統(tǒng)的閉環(huán)極點在復平面的根軌跡變化可以很容易判斷出系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為：0(s)=1(13)S2+S+1則該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：G(s)=1(14)s2+s得該系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示：RealAxis圖6根軌跡曲線由上圖的根軌跡曲線可以看出隨著開環(huán)放大系數k的變化，系統(tǒng)的根軌跡始終都在復平面虛軸的左側，系統(tǒng)穩(wěn)定，這與暫態(tài)分系統(tǒng)中由單位階躍響應曲線中的到的結論一致。3.典型二階系統(tǒng)的頻域分析前面的時域分析法和根軌跡分析法在低階系統(tǒng)中尚能靈活應用，擔當系統(tǒng)是高階系統(tǒng)時，系統(tǒng)的微分方程求解和根軌跡繪制都變得非常困難。因此，在經典控制理論中還用頻域分析法對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度進行分析。所以，以下還是用以上的欠阻尼系統(tǒng)應用頻域分析法對其分析如下：首先，利用MATLAB繪制欠阻尼系統(tǒng)的奈奎斯特曲線，再由奈奎斯特判據判斷其穩(wěn)定性如下所示：RealAxis圖7奈奎斯特曲線由欠阻尼系統(tǒng)的奈奎斯特曲線可以看出z=0即閉環(huán)極點位于右半平面極點的個數為靈。所以，系統(tǒng)穩(wěn)定，與以上兩種方法判斷結果一致。利用奈奎斯特曲線和奈奎斯特判據僅能判斷出系統(tǒng)是否穩(wěn)定，要想進一步知道穩(wěn)定裕度還要用伯德圖進行判定。所以，以下是用伯德圖法對欠阻尼系統(tǒng)進行分析，從伯德圖中讀出系統(tǒng)的幅值裕度相位裕度。二階欠阻尼系統(tǒng)的伯德圖如下圖所示：)Bd(edutingaM)ged(esah200-20-40-60-800-45-90)Bd(edutingaM)ged(esah200-20-40-60-800-45-90-135BodeDiagram-18010-2■1r10-1100101Frequency(rad/sec)102圖8二