推廣23年乙卷導(dǎo)數(shù)壓軸的八種方式（原卷版）

推廣23年乙卷導(dǎo)數(shù)壓軸的八種方式1.圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)與轉(zhuǎn)化典例（2023年乙卷21題）.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）是否存在，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由.（3）若在存在極值，求的取值范圍.推廣1.圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)與零點(diǎn)轉(zhuǎn)化例1．已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

基本原理：1.已知，且的兩個(gè)具體的根，求根的個(gè)數(shù)，或者根據(jù)解的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍.解法剖析：換元，最終轉(zhuǎn)化為根的個(gè)數(shù)，這類問題由于一元二次方程的根最終可以求解，所以實(shí)際就轉(zhuǎn)化成函數(shù)作圖后找到交點(diǎn)個(gè)數(shù)，或者根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)即可，且知一元二次型方程根的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍.解法剖析：換元，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布.3.一元二次方程根的分布對(duì)一元二次方程（其中）和二次函數(shù)，有：（1）方程的個(gè)根都比小的充要條件是（2）方程的個(gè)根都比大的充要條件是（3）方程的一根都在內(nèi)，另一根在內(nèi)的充要條件是（4）方程的個(gè)根都在內(nèi)的充要條件是（5）方程的一根比大，一根比大，一根比小的充要條件是.（6）方程的個(gè)根都在外，且一根比小，另一根比大的充要條件是4.求解復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題的技巧:（1）此類問題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密，在處理問題的開始要作出的圖像（2）若已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍,則先估計(jì)關(guān)于的方程中解的個(gè)數(shù)，再根據(jù)個(gè)數(shù)與的圖像特點(diǎn),分配每個(gè)函數(shù)值被幾個(gè)所對(duì)應(yīng),從而確定的取值范圍,進(jìn)而決定參數(shù)的范圍.二．典例分析例1.函數(shù)，方程有6個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例2．已知函數(shù)，關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．

推廣3.函數(shù)的對(duì)稱性與零點(diǎn)問題一．基本原理1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，一般地，若點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，可連接交于點(diǎn)，則垂直平分，所以，且為的中點(diǎn)，又因?yàn)樵谥本€上，可得.進(jìn)一步，我們可以通過(guò)上式算得：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)可計(jì)算為.特別地：（1）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為（2）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為（3）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為性質(zhì)1.軸對(duì)稱:函數(shù)圖象關(guān)于一條垂直于軸的直線對(duì)稱，則當(dāng)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離相等且函數(shù)值時(shí).我們就稱函數(shù)關(guān)于對(duì)稱.代數(shù)表示:(1).(2).即當(dāng)兩個(gè)自變量之和為一個(gè)定值，函數(shù)值相等時(shí),則函數(shù)圖像都關(guān)于直線對(duì)稱.一般地，若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.特別地，偶函數(shù)(關(guān)于軸對(duì)稱)，，即當(dāng)橫坐標(biāo)到原點(diǎn)的距離相等(橫坐標(biāo)互為相反數(shù)），函數(shù)值相等.性質(zhì)2.中心對(duì)稱：函數(shù)上任意一點(diǎn)（）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)（）也在函數(shù)圖像上，此時(shí)我們就稱函數(shù)為關(guān)于點(diǎn)()對(duì)稱的中心對(duì)稱圖像，點(diǎn)()為對(duì)稱中心.用代數(shù)式表示：(1).，(2).一般地,若函數(shù)滿足,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.特別地，奇函數(shù)(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)，，即當(dāng)橫坐標(biāo)到原點(diǎn)的距離相等(橫坐標(biāo)互為相反數(shù)），函數(shù)值相反.上述問題經(jīng)?？梢酝ㄟ^(guò)兩個(gè)函數(shù)圖象上存在上述特征的對(duì)稱點(diǎn)求參數(shù)范圍而出現(xiàn)，其本質(zhì)是一個(gè)方程根的存在性問題，我們的基本做法就是分離參數(shù)，然后求得參數(shù)的范圍.二．典例分析例1.（2023武漢四月調(diào)考）已知函數(shù)，其中.（1）證明：恒有唯一零點(diǎn)；（2）記（1）中的零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，證明：圖像上存在關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn).

例2（廣州一模T11）．已知函數(shù)，點(diǎn)分別在函數(shù)的的圖像上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列命題正確的是（

）A．若關(guān)于的方程在上無(wú)解，則B．存在關(guān)于直線對(duì)稱C．若存在關(guān)于軸對(duì)稱，則D．若存在滿足，則例3．（2023年乙卷21題）.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）是否存在，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由.（3）若在存在極值，求的取值范圍.

推廣4.不動(dòng)點(diǎn)問題一．基本原理1.不動(dòng)點(diǎn):已知函數(shù),若存在,使得，則稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).不動(dòng)點(diǎn)實(shí)際上是方程組的解的橫坐標(biāo)，或兩者圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).2.穩(wěn)定點(diǎn):已知函數(shù),若存在，使得，則稱為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).顯然,若為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，則必為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).二．典例分析例1.設(shè)函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.若存在使成立,則的取值范圍是（）A.B. C. D.

推廣5.保值區(qū)間例1．設(shè)函數(shù)，若存在區(qū)間，使在上的值域是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．對(duì)于函數(shù)，若存在區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則稱為倍值函數(shù)．若是倍值函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．

推廣6.過(guò)點(diǎn)求切線一．求過(guò)點(diǎn)A處切線方程方法如下：設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過(guò)切點(diǎn)的切線方程為：，∵過(guò)點(diǎn)，∴然后解出的值，有幾個(gè)值，就有幾條切線.二．典例分析例1．（2021新高考1卷）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．例2.（2022新高考1卷）若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則的取值范圍是____________．例3．若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的三條切線，則（）A． B．C． D．

推廣7.公切線問題一.基本原理切線過(guò)點(diǎn)，求切線的方法：(要理解過(guò)某點(diǎn)的含義，切線過(guò)某點(diǎn)，這點(diǎn)不一定是切點(diǎn))，求法步驟：①設(shè)切點(diǎn)，②建立切線方程，③代入點(diǎn)到切線方程中，利用此時(shí)切點(diǎn)在切線且在曲線上，即同時(shí)滿足方程：解出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而寫出切線方程．二．典例分析例1．已知函數(shù)，，若總存在兩條不同的直線與函數(shù)，圖象均相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．

.已知函數(shù)有極值點(diǎn)，求參數(shù)的值或范圍,一般轉(zhuǎn)化為由可以解出變號(hào)零點(diǎn)，所以本質(zhì)仍是一個(gè)零點(diǎn)問題.例1．（2023年乙卷21題）.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）是否存在，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由.（3）若在存在極值，求的取值范圍.例2．已知函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)專題是高考考察的重點(diǎn)內(nèi)容，下表列舉了從18年起全國(guó)卷對(duì)這個(gè)點(diǎn)的考察：2022年2021年2020年2019年2018年全國(guó)一卷20題：證明零點(diǎn)個(gè)數(shù)全國(guó)二卷（乙卷）已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)20題：證明零點(diǎn)個(gè)數(shù)，公切線.21題：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)全國(guó)三卷（甲卷）極值點(diǎn)偏移已知圖象交點(diǎn)（零點(diǎn)個(gè)數(shù)）求參數(shù)21題：零點(diǎn)分布新高考1卷證明零點(diǎn)個(gè)數(shù)與零點(diǎn)同構(gòu)極值點(diǎn)偏移新高考2卷已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)如上表所示，導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)是高考導(dǎo)數(shù)大題部分的重要命題方向之一，結(jié)合近五年全國(guó)主要地方的模擬考試題來(lái)看，該專題大致可以分為四個(gè)具體的命題方向：1.判斷或證明零點(diǎn)個(gè)數(shù).此題型以2019年全國(guó)一卷20題為典型例子，是一類較新的題型.重點(diǎn)考察學(xué)生利用函數(shù)單調(diào)性與值域，零點(diǎn)存在性定理準(zhǔn)確的找到零點(diǎn)的存在性，突出考察學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，具有較高的綜合性.2.已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍.此題型在16-18年連續(xù)三年均有考察，處理此類問題有兩種常見的方法：含參數(shù)討論及分離參數(shù)，重點(diǎn)考察學(xué)生利用函數(shù)單調(diào)性分析值域，數(shù)形結(jié)合解決問題.此題型還可衍生到對(duì)過(guò)點(diǎn)求切線個(gè)數(shù)，公切線個(gè)數(shù)的考察上.3.討論或者證明零點(diǎn)所滿足的分布特征.此題型以2020年全國(guó)三卷21題為典型例子，需要在找到零點(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析出零點(diǎn)所滿足的分布，對(duì)學(xué)生的邏輯推理，嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)均有較高的要求.要考察變量替換與構(gòu)造函數(shù)解決問題的基本方法，此類問題處理方法較多，有偏移法處理，變量代換