歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編58初等數(shù)論

1/3歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編專題58初等數(shù)論第一緝1．【2021年江西預(yù)賽】使得3n+1與5n+1同時成為完全平方數(shù)的最小正整數(shù)n= .【答案】16【解析】首先,當(dāng)n=16時,3n+1=49=72,5n+1=81=92,其次,對于集合M={1,2,?,15}中的任一元索a,3a+12．【2021年福建預(yù)賽】若整數(shù)a、b、c滿足:0≤a≤10,0≤b≤10,0≤c≤10,10≤a+b+c≤20,則滿足條件的有序數(shù)組(a,b,c)共有 組.【答案】891【解析】解法一:設(shè)a+b=t,則0≤t≤20.當(dāng)0≤t≤10時，滿足條件的有序數(shù)對(a,b)有t+1對；此時,10?t≤c≤10,c的取值有t+1種情形，滿足條件的有序數(shù)組(a,b,c)有(t+1)2當(dāng)11≤t≤20時，滿足條件的有序數(shù)對有21?t對：此時，0≤c≤20?t,c的取值有21?t種情形，滿足條件的有序數(shù)組有(21?t)2所以，滿足條件的有序數(shù)組(a,b,c)共有：m=010(t+1)解法二:設(shè)a+b+c=k.當(dāng)k=10時，滿足條件的有序數(shù)組(a,b,c)有C122當(dāng)11≤k≤20時，滿足條件的有序數(shù)組(a,b,c)有Ck+22所以，滿足條件的有序數(shù)組(a,b,c)共有：C12=C=C233．【2021年新疆預(yù)賽】由數(shù)字1，2和3組成的6位數(shù)中，若每個數(shù)字至少出現(xiàn)一次，則這樣的6位數(shù)共有 個.【答案】540【解析】記1,2,3組成的6位數(shù)的集合為S,Ai(i=1,2,3)分別表示S則由容斥原理可得：A1=364．【2021年新疆預(yù)賽】已知n是正整數(shù)，且7n+2n能被57整除，則n的最小值為 【答案】25【解析】方法一：因為73≡1(①若n=3k,k∈N?,則7n≡7即57∣6k+1,而3?6k+1,因此57?6k+1，此時無解.②若n=3k+1,k∈N,則7n≡因此7n+2n≡2n+7≡6k+9≡0(即57∣6k+9,因此19∣2k+3,?kmin=8③若n=3k+2,k∈N,則7n≡因此7n+2n≡2n+49≡6k+53≡6k?4≡0(即57∣6k?4,而3?6k?4,因此57?6k?4,此時無解.所述:nmin=25方法二:設(shè)n=3q+r,?r∈{0,1,2},注意到7所以?k∈Z,使得：7n?因此57∣7n+2n(1)當(dāng)r=0時，n=3q,?q∈N?,則57∣6q+1,而3?6q+1(2)當(dāng)r=1時，n=3q+1,q∈N,則57∣6q+9,因此19∣2q+3,?qmin=8(3)當(dāng)r=2時，n=3q+2,q∈N,則57∣6q?4,而3?6q?4,因此57?6q?4,此時無解.綜上所述:nmin=255．【2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試】設(shè)有理數(shù)r=pq∈0,1,其中p,q【答案】112【解析】設(shè)集合Ω={r|r=p考慮Ω的任一元素r的最簡分?jǐn)?shù)形式pq,因3600的標(biāo)準(zhǔn)分解為2可設(shè)p=2A×3這樣的數(shù)對A,a共有9種取法,數(shù)對B,b共有5種取法,數(shù)對C,滿足條件的有理數(shù)的全體為Ω∩0,1.注意到,r∈Ω當(dāng)且僅當(dāng)1r∈Ω,特別地，16．【2020年浙江預(yù)賽】已知由六個正整數(shù)組成的六位十進制數(shù)中,其個位上的數(shù)字為4的倍數(shù),十位和百位上的數(shù)字均為3的倍數(shù),且六位數(shù)的數(shù)碼和為21.則滿足上述條件的六位數(shù)的個數(shù)為 .【答案】126【解析】易知,后三位只可能為：334,338,664,364,368,394,634,638,934.又334的前三位和為11,則共有C102故C10=45+15+6+2(21+3+6)=66+2×30=126.7．【2020年新疆預(yù)賽】11個女孩與n個男孩去采蘑菇，所有這些孩子共采到n2+9n?2個蘑菇，并且每個孩子采到的個數(shù)都相同，則n= 【答案】9【解析】由于各個孩子采到的蘑菇數(shù)目一樣多，故孩子總數(shù)n+11能整除蘑菇總數(shù)，而：n2+9n?2=(n+11)(n?2)+20,從而n+11能整除20,由丁n+11>11,故8．【2019年江蘇預(yù)賽】設(shè)fx=2x3+8x2+5x+9，gx=2x2+8x+1【答案】55.【解析】(f(n),g(n))====(4n+9,?9n?34)=(4n+9,?n?16)=(55,n+16)≤55當(dāng)n=39時，(55,n+16)=(55,55)=55.因此fn,gn9．【2019年北京預(yù)賽】計算7142853+2857143【答案】7【解析】解1:原式===714285+285714解2:原式=(142857×5)10．【2019年北京預(yù)賽】若p,q都是質(zhì)數(shù),自然數(shù)a=paqβ的約數(shù)的個數(shù)da由公式da=α+1β+1給出.如12=22×31,所以12的約數(shù)個數(shù)為d12【答案】450【解析】2030=2又2030=2015×2015,是個平方數(shù),除了2015,任取一個約數(shù)大于2015就有一個約數(shù)小于20另外,2015的約數(shù)都是20又因為2015=2所以,小于2015的2030的約數(shù)中,不是201511．【2019年廣西預(yù)賽】滿足y=x+51+x+2019的正整數(shù)對(x,y)有 【答案】6【解析】設(shè)a?(b?a)(b+a)=1968=2注意到a+b與b-a同奇偶,則可知a+b與b-a必為偶數(shù)此時b-a=2,4,6,8,12,24,共有6組則可知符合條件的(x,y)有6對.12．【2019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】在1，2，3，…，10中隨機選出一個數(shù)a在－1，－2，－3，…，－10中隨機選出一個數(shù)b，則a2+b被3整除的概率為 【答案】37【解析】數(shù)組(a，b)共有102=100種等概率的選法.考慮其中使a2+b被3整除的選法數(shù)N.若a被3整除，則b也被3整除.此時a，b各有3種選法，這樣的(a，b)有32=9組.若a不被3整除，則a2≡1(?mod?3)，從而b≡?1(?mod?因此N=9+28=37.于是所求概率為3710013．【2018年山西預(yù)賽】集合M=1,2,?,2018【答案】204626【解析】若將所有的這種數(shù)劃去其尾數(shù)8，剩下的數(shù)就是0,1,2，…，201，共計劃去202個8，因此所求的和值為S=10×0+1+2+?+20114．【2018年山西預(yù)賽】若正整數(shù)n使得3恒介于1+3【答案】4【解析】當(dāng)n為正整數(shù)是，易知3n+1<3n，由3?1<3n，得n<15．【2018年山西預(yù)賽】有一張印有4月29日生日賀卡上，某位小朋友在4與29之間添加了兩個正整數(shù)x,y，得到一個五位數(shù)4xy29，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，它恰好是自己的生日所對應(yīng)的正整數(shù)T的平方：4xy29=【答案】223【解析】解由于40000<4xy29<50625，而40000=2002，50625=22516．【2018年福建預(yù)賽】使16n+17n+8為有理數(shù)的所有正整數(shù)n【答案】205【解析】設(shè)16n+17n+8=ba2則16na2+17由a，b為互質(zhì)，知a2，b2互質(zhì)，于是，a2與16a2－b2互質(zhì)，且16a2－b2>0.∴(16a2?b2)111，且l6a2－b2=(4a又111=1×111=3×37，∴16a2－b2=(4a－b)(3a+b)=37，或16a2－b2=(4a－b)(4a+b)=111.∴4a?b=14a+b=37，或4a?b=14a+b=111，或解得，a=194b=18（舍去），或a=14a=14b=55時，n=111aa=5b=17時，n=111a∴n=188或n=17.符合條件的正整數(shù)n為188和17.∴符合條件的所有正整數(shù)n的和為205.17．【2018年福建預(yù)賽】給出下列10個數(shù)：1，2，4，8，16，32，64，a，b，c，其中a，b，c為整數(shù)，且c>b>a>64.若對每個正整數(shù)n≤753，都可以表示成上述10個數(shù)中某些數(shù)的和（可以是1個數(shù)的和，也可以是10個數(shù)的和，每個數(shù)至多出現(xiàn)1次），則b的最小值為________.【答案】125【解析】顯然，用這10個數(shù)能夠表示的最大數(shù)是1+2+4+8+16+32+64+a+b+c=l27+a+b+c，∴127+a+b+c≥753.……①又用1，2，4，8，16，32，64，a，b這9個數(shù)能夠表示的最大的數(shù)是1+2+4+8+16+32+64+a+b=127+a+b.因此，若c≥127+a+b+2，則數(shù)127+a+b+1無法用這10個數(shù)中某些數(shù)的和表示.∴c≤127+a+b+1……②由①、②，可得753≤127+a+b+c≤127+a+b+(127+a+b+1)，2(a+b)≥498，a+b≥249.結(jié)合a，b為整數(shù)，且6>a，得6≥125.下面說明當(dāng)a=124，b=125，c=377時，這10個數(shù)符合要求.結(jié)合二進制數(shù)的特征，對每個正整數(shù)n≤1+2+4+8+16+32+64=127，都可以用1，2，4，8，16，32，64這7個數(shù)中的某些數(shù)的和來表示.∴當(dāng)n≤127時，n可以用1，2，4，8，16，32，64這7個數(shù)中某些數(shù)的和表示；當(dāng)n≤127+124=251時，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124這8個數(shù)中某些數(shù)的和表示；當(dāng)n≤251+125=376時，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124，125這9個數(shù)中某些數(shù)的和表示；當(dāng)n≤376+377=753時，n可以用1，2，4，8，16，32，64，124，125，377這10個數(shù)中某些數(shù)的和表示.∴a=124，b=125，c=377符合要求.∴b的最小值為125.18．【2018年貴州預(yù)賽】方程組x2【答案】x=?1，y=3.或【解析】因為x所以(x+y)3即x+y=2，代入xy(x+y)=－6，得xy=－3．由x+y=2，xy=?3.?故答案為：x=?1，y=3.或19．【2018年浙江預(yù)賽】在八個數(shù)字2，4，6，7，8，11，12，13中任取兩個組成分?jǐn)?shù).這些分?jǐn)?shù)中有________個既約分?jǐn)?shù).【答案】36【解析】在7，11，13中任取一個整數(shù)與在2，4，6，8，12中任取一個整數(shù)構(gòu)成既約分?jǐn)?shù)，共有2C在7，11，13中任取兩個整數(shù)也構(gòu)成既約分?jǐn)?shù)，共有A3合計有36種不同的既約分?jǐn)?shù).20．【2018年北京預(yù)賽】滿足a2+ab+b【答案】?【解析】若a,b同為奇數(shù)或一奇一偶，則a2+ab+b2是奇數(shù)，不能等于2018；如果a,b同為偶數(shù)，那么a221．【2018年北京預(yù)賽】若三位數(shù)n=abc是一個平方數(shù)，并且其數(shù)字和a+b+c也是一個平方數(shù)，稱n為超級平方數(shù)，設(shè)超級平方數(shù)的集合為A，A中元素的個數(shù)為A，A【答案】384【解析】不難列舉出三位的平方數(shù)為：100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625,676,729,784,841,900,961，共22個，其中的超級平方數(shù)有13個，A=100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961SA所以SAA=22．【2018年北京預(yù)賽】在3×3的“九宮格”中填數(shù)，使每行、每列及兩條對角線上的三數(shù)之和都相等，有3個方格已經(jīng)填的數(shù)分別為4,7,2018，如圖，則“九宮格”中其余6個方格所填數(shù)之和為_______.【答案】?11042.5【解析】將其余6個格子標(biāo)上字母，如圖，47bcx2018eda由a+2018+b=4+7+b得a=?2007.則主對角線的3數(shù)之和為x?2003，也就是每行、每列及兩條對角線上的三數(shù)之和都等于由4+7+b=x?2003得由c+x+2018=x?2003得由d+x+7=x?2003得由e+d+a=x?2003得e+?2010由副對角線3數(shù)之和，得e+x+b=x?2003，即x+2014+x?2014=?2003，所以x=?1001.5所填“九宮格”的數(shù)如圖所示.23．【2018年陜西預(yù)賽】設(shè)n是正整數(shù)，當(dāng)n>100時，n2【答案】49【解析】一方面，當(dāng)n>100時，有0<n+3所以n2另一方面，n2故當(dāng)n>100時，n224．【2018年陜西預(yù)賽】設(shè)n是正整數(shù)，當(dāng)n>100時，n2【答案】49【解析】一方面，當(dāng)n>100時，有0<n+3所以n2另一方面，n2故當(dāng)n>100時，n225．【2018年湖南預(yù)賽】已知n為正整數(shù)，若n2【答案】811【解析】因為n2+3n?10n2?6n?16=(n+5)(n?2)(n+8)(n?2)，當(dāng)所以這個分?jǐn)?shù)為811故答案為：826．【2018年湖南預(yù)賽】四次多項式x4【答案】86【解析】設(shè)多項式x4?18xx設(shè)x1x262(x又x1+故k=x故答案為：8627．【2018年安徽預(yù)賽】設(shè)n是正整數(shù)，且滿足n5【答案】213【解析】由n5≈<由1+x5=1+5x+10x2+10再由n5≡nmod故答案為：21328．【2018年河南預(yù)賽】若2x+42n=a【答案】1【解析】令x=0，得a0分別令x=1和x=?1，將得到的兩式相加，得所以a≡?129．【2018年江西預(yù)賽】a、b為正整數(shù)，滿足1a【答案】4【解析】由1a?1b=于是2018?a2018+b而0<2018?a<2018，因1009為質(zhì)數(shù)，數(shù)221×2018其中每一個分解式對應(yīng)于a,b的一個解，故其解的個數(shù)為4．故答案為：430．【2018年江西預(yù)賽】對于正整數(shù)n，將其各位數(shù)字之和記為sn，各為數(shù)字之積記為pn。若sn【答案】531【解析】設(shè)n=a由n?sn=pn即a1其中，m=a若k≥3，由于10k?1與式①矛盾，故k≤2.又當(dāng)k=1時，n=sn因此，k=2.從而，可設(shè)n=a1a得9a所以，a231．【2018年山西預(yù)賽】將全體正整數(shù)按自小到大的順序排列，然后這樣分段，使得第一段有1個數(shù)，第二段有3個數(shù)，……，第n段有2n-1個數(shù)；那么，第20段中的第18個數(shù)是________.【答案】379【解析】顯然，前n段共有1+3+5+?+2n?1=n2個數(shù)，即第n段中最大數(shù)為32．【2018年山西預(yù)賽】有一張印有4月29日生日賀卡上，某位小朋友在4與29之間添加了兩個正整數(shù)x,y，得到一個五位數(shù)4xy29，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，它恰好是自己的生日所對應(yīng)的正整數(shù)T的平方：4xy29=【答案】223【解析】解由于40000<4xy29<50625，而40000=2002，50625=22533．【2017年河北預(yù)賽】設(shè)a,b∈Z,m為正整數(shù),若用m去除a,b所得的余數(shù)相同,則稱(1)若a≡bmodm,(2)若a≡bmod(3)若c為正整數(shù),ac≡bcmod(4)設(shè)fx=x3?正確命題的序號為 .(寫出所有正確命題的序號)【答案】①④【解析】提示：由a≡bmodm知,存在整數(shù)k使得a?b=km.由所以a?b=kk若fx=x3?2x+