2018年九年級上冊數(shù)學知識點總結(收藏版)

2018年九年級上冊數(shù)學知識點總結(收藏版)九年級上冊知識點總結（數(shù)學）2017年12月第二十一章一元二次方程22.1一元二次方程一元二次方程是指等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程。需要注意的是，一元二次方程只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且是整式方程。一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=(a≠0)，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項。一元二次方程的解又叫做根。一元二次方程的根是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據。22.2降次——解一元二次方程22.2.1直接開平方法如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負數(shù)，可以直接開平方。對于形如x2=a(a≥0)的方程，根據平方根的定義可解得x1=√a，x2=-√a。直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接開平方法。用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質，即正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。直接開平方法解一元二次方程的步驟是：移項；使二次項系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項的系數(shù)為1；兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。22.2.2配方法通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方的目的是降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。配方法的一般步驟可以總結為：一移、二除、三配、四開。具體來說，把常數(shù)項移到等號的右邊；方程兩邊都除以二次項系數(shù)；方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；若等號右邊為非負數(shù)，直接開平方求出方程的解。22.2.3公式法一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的兩個根為x=(-b±√(b2-4ac))/2a。這個公式叫做一元二次方程的求根公式，也叫做根公式。以上是一元二次方程的基本知識點總結，掌握好這些知識點，才能更好地解決一元二次方程的相關問題。一元二次方程是數(shù)學中的重要概念，它可以用來解決各種實際問題。解一元二次方程的方法有公式法、因式分解法和配方法等。公式法是指利用求根公式，由一元二次方程的系數(shù)a、b、c的值直接求得方程的解。具體步驟為：將方程化為一般形式，確定公式中a、b、c的值，求出b2-4ac的值，若b2-4ac≥0，則把a、b、c和b2-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，則方程無實數(shù)根。因式分解法是指把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉化為求兩個一元一次方程的解。具體步驟為：移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0；把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；令每一個因式分別為零，得到一元一次方程；解一元一次方程即可得到原方程的解。一元二次方程的根的判別式是b2-4ac，通常用希臘字母△表示它，即△=b2-4ac。當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根。在實際問題中，我們可以列出一元二次方程來解決問題。列一元二次方程解應用題的一般步驟為：設未知量，列出方程，化簡方程，解方程，檢驗答案。1.審題是指理解題目，明確已知量和未知量之間的等量關系。2.設元是指設出未知數(shù)。3.列方程是關鍵步驟，要找出能夠表達應用題全部含義的相等關系，然后用代數(shù)式表示各個量，得到含有未知數(shù)的等式，即方程。4.解方程是求出未知數(shù)的值。5.驗證是指檢驗方程的解是否符合題意。6.最后寫出答案。常見的應用題類型包括數(shù)字問題、增長率問題、利潤問題和圖形面積問題。對于數(shù)字問題，可以設出中間數(shù)或使用表示方法；對于增長率問題，可以使用平均增長率或平均降低率的等量關系式；對于利潤問題，可以使用總利潤、單位利潤和利潤率的相等關系式；對于圖形面積問題，可以根據圖形的相關元素建立一元二次方程。二次函數(shù)是形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函數(shù)，其中a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項。拋物線的三要素包括開口、對稱軸和頂點。二次函數(shù)的圖象與性質包括基本形式、上加下減、左加右減和一般形式。對于一般形式的二次函數(shù)，當a>0時，拋物線開口向上，對稱軸為x=-b/2a，頂點坐標為(-b/2a,-Δ/4a)，其中Δ=b^2-4ac；當x<-b/2a時，y隨x增大而減??；當x>-b/2a時，y隨x增大而增大；當x=-b/2a時，y有最小值。注意修改格式錯誤，刪除明顯有問題的段落，并進行小幅度的改寫，使文章更加清晰易懂。和方向，對稱軸的位置為x=-b/2a，對稱軸的方向與a的正負有關.③c決定拋物線與y軸的交點，即（0，c）.當c>0時，拋物線與y軸有正交點，開口向上；當c<0時，拋物線與y軸有負交點，開口向下；當c=0時，拋物線經過原點.由于拋物線y=ax^2+bx+c的對稱軸是直線x=-b/(2a)。如果b=0時，對稱軸為y軸；如果b>0（即a、b同號）時，對稱軸在y軸左側；如果b<0（即a、b異號）時，對稱軸在y軸右側。c的大小決定拋物線y=ax^2+bx+c與y軸交點的位置。當x=0時，y=c，所以拋物線與y軸有且只有一個交點（0,c），故如果c=0，拋物線經過原點；如果c>0，與y軸交于正半軸；如果c<0，與y軸交于負半軸。函數(shù)y=ax^2+bx+c，當y=0時，得到一元二次方程ax^2+bx+c=0，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況。當二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點時，方程有兩個實根；當二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點時，方程有一個相等實根；當二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點時，方程沒有實數(shù)解。通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關系：二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況|一元二次方程的解---|---有兩個不等實數(shù)的交點|方程有兩個不等實數(shù)的解有一個相等實數(shù)的交點|方程有一個相等實數(shù)的解沒有交點|方程沒有實數(shù)解關于直線與拋物線的交點，有以下幾個知識點：-y軸與拋物線y=ax^2+bx+c的交點為(0,c)。-與y軸平行的直線x=h與拋物線y=ax^2+bx+c有且只有一個交點(h,ah^2+bh+c)。-拋物線與x軸的交點是對應一元二次方程的兩個實數(shù)根。拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點當且僅當判別式大于零，有一個交點（頂點在x軸上）當且僅當判別式等于零，沒有交點當且僅當判別式小于零。-平行于x軸的直線與拋物線的交點同樣可能有一個交點、兩個交點或沒有交點。當有兩個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為k，則橫坐標是ax^2+bx+c=k的兩個實數(shù)根。-一次函數(shù)y=kx+n的圖像與二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像的交點，由方程組y=kx+n和2y=ax^2+bx+c的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時，兩個圖像有兩個交點。中心對稱是指平面內存在一個點O，對于平面內的任意一點P，都存在另外一個點P'，使得OP=OP'，且P、P'、O三點共線。點O稱為中心對稱中心，P和P'稱為中心對稱點。知識點二中心對稱的性質中心對稱具有以下性質：（1）對于平面內的任意兩點P和Q，它們的中點M一定是中心對稱中心O的對稱點，即OM=OM'，M'是M的對稱點。（2）對于平面內的任意一條直線l，如果l上有一點P，在l上取P的對稱點P'，則l是中心對稱中心O的對稱軸。（3）中心對稱是一種保持大小和形狀不變的變換，即中心對稱前后的圖形全等。（4）中心對稱具有傳遞性，即如果A和B關于O對稱，B和C關于O對稱，則A和C關于O對稱。知識點三中心對稱的應用中心對稱在幾何學中有廣泛的應用。例如：（1）在平面內，如果兩個點關于中心對稱中心對稱，則它們的距離相等。（2）在平面內，如果一個點和它的對稱點關于一條直線對稱，則這條直線是它們的中垂線。（3）在平面內，如果一個三角形和它的對稱三角形關于中心對稱中心對稱，則這兩個三角形全等。（4）在平面內，如果一個多邊形和它的對稱多邊形關于中心對稱中心對稱，則這兩個多邊形全等。23.3軸對稱知識點一軸對稱的定義軸對稱是指平面內存在一條直線l，對于平面內的任意一點P，都存在另外一個點P'，使得P、P'在直線l上，且l是P和P'的中垂線。直線l稱為軸對稱軸。知識點二軸對稱的性質軸對稱具有以下性質：（1）對于平面內的任意兩點P和Q，它們的中點M一定在軸對稱軸l上。（2）軸對稱是一種保持大小和形狀不變的變換，即軸對稱前后的圖形全等。（3）軸對稱具有傳遞性，即如果A和B關于軸對稱軸l對稱，B和C關于軸對稱軸l對稱，則A和C關于軸對稱軸l對稱。知識點三軸對稱的應用軸對稱在幾何學中有廣泛的應用。例如：（1）在平面內，如果兩個點關于軸對稱軸對稱，則它們的距離相等。（2）在平面內，如果一個點和它的對稱點關于軸對稱軸對稱，則這條直線是它們的中垂線。（3）在平面內，如果一個三角形和它的對稱三角形關于軸對稱軸對稱，則這兩個三角形全等。（4）在平面內，如果一個多邊形和它的對稱多邊形關于軸對稱軸對稱，則這兩個多邊形全等。中心對稱是指將一個圖形繞某一點旋轉180°，如果它能與另一個圖形重合，則稱這兩個圖形關于該點對稱或中心對稱，該點稱為對稱中心。需要注意以下幾點：中心對稱是指兩個圖形的位置關系，只有一個對稱中心，繞對稱中心旋轉180°兩個圖形才能完全重合。要制作一個圖形關于某一點成中心對稱的圖形，關鍵是要制作該圖形上關鍵點關于對稱中心的對稱點。最后將對稱點按原圖形的形狀連接起來，即可得出中心對稱圖形。中心對稱有以下幾個性質：（1）關于中心對稱的兩個圖形上的對應點的連線都經過對稱中心，并且都被對稱中心平分；（2）關于中心對稱的兩個圖形能夠互相重合，是全等形；（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或共線）且相等。如果一個圖形繞某一點旋轉180°后能與原來的圖形重合，那么這個圖形就是中心對稱圖形，該點就是它的對稱中心。在平面直角坐標系中，如果兩個點關于原點對稱，它們的坐標符號相反，即點p（x,y）關于原點對稱點為（-x,-y）。圓是由一個點繞另一個點旋轉形成的圖形，其中一個點稱為圓心，繞其旋轉的線段稱為半徑。圓的另一個定義是，圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合。圓的相關概念包括弦、弧、等圓和等弧。弦是連接圓上任意兩點的線段，經過圓心的弦稱為直徑。圓上任意兩點間的部分稱為圓弧，其中圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。等圓是指重合的兩個圓，等弧是在同圓或等圓中能夠互相重合的弧。圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。垂徑定理指的是，如果一個點在圓上，則它所在的直徑垂直于過該點的弦。垂徑定理指出，垂直于弦的直徑會平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖所示，直徑為CD，AB是弦，且CD⊥AB，垂足為M。根據垂徑定理，AM=BM，AC=BC，AD=BD。垂徑定理的推論是，平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。如上圖所示，直徑CD與非直徑弦AB相交于點M，CD⊥AB，AM=BM，AC=BC，AD=BD。需要注意的是，被平分的弦必須不是直徑，否則結論不成立。弦、弧、圓心角之間的關系定理指出，在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余的各組量也相等。需要注意的是，不能忽略同圓或等圓這個前提條件，否則即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等。圓周角定理指出，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。圓周角定理的推論是，半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對弦是直徑。需要注意的是，“同弧或等弧”是不能改為“同弦或等弦”的，否則就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩類。圓內接四邊形是指一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。圓內接四邊形的性質是，對角互補。點與圓的位置關系有三種：點在圓外，點在圓上，點在圓內?？梢杂脭?shù)量關系表示：若設⊙O的半徑是r，點P到圓的距離OP=d，則有：點P在圓外d＞r；點p在圓上d=r；點p在圓內d＜r。可以通過以點A外的任意一點為圓心，以OA為半徑作圓來經過一個點的圓；以線段AB的垂直平分線上的任意一點為圓心，以OA（或OB）為半徑作圓來經過兩點的圓。這樣的圓可以作無數(shù)個。經過不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，這個圓叫做經過三點的圓。作法是連接這三個點并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點O，以點O為圓心，以任意一個點到O的距離為半徑作圓即可。需要注意的是，經過在同一條直線上的三個點是無法作圓的。三角形的外接圓是經過三角形三個頂點的圓，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，也就是這個三角形的外心。反證法是一種證明命題的方法，假設命題的結論不成立，經過邏輯推理得出矛盾，從而得到原命題成立。反證法的一般步驟為：假設命題的結論不成立；從假設出發(fā)，經過邏輯推理得出矛盾結論；由矛盾判定假設不正確，從而得出原命題正確。直線與圓的位置關系有相交、相切、相離三種，可以用數(shù)量關系表示。設圓的半徑為r，直線與圓心的距離為d，則直線和圓相交的條件為d<r，相切的條件為d=r，相離的條件為d>r。切線的判定定理是經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，切線的性質定理是圓的切線垂直于過切點的半徑。切線還有其他性質，如只有一個公共點、到圓心的距離等于半徑等。切線長是指經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，切線長定理是從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。三角形的內切圓是與三角形各邊都相切的圓，這個三角形叫做圓的外切三角形。內切圓的圓心叫做三角形的內心。三角形的內心是指三角形內切圓的圓心。它可以通過三角形三條角平分線的交點來確定。當三角形的內心已知時，過三角形的頂點和內心的射線必定會平分三角形的內角。圓與圓的位置關系可以分為五種：相離、內含、外切、內切和相交。這些關系可以用數(shù)量關系來表示，其中圓心之間的距離d和兩圓的半徑r1和r2是關鍵因素。比如，當兩圓相交時，有r2-r1＜d＜r1+r2。正多邊形與圓的關系非常密切。將圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，順次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形。這個圓就是這個正多邊形的外接圓。正多邊形的中心是指一個正多邊形的外接圓的圓心，而外接圓的半徑則是正多邊形的半徑。正n邊形的半徑和邊心距可以將正多邊形分成2n個全等的直角三角形。所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都經過正n邊形的中心。當正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時，這個正n邊形也是中心對稱圖形，正n邊形的中心就是對稱中心。正n邊形的每一個內角等于360（n2）180/n，中心角和外角相等，等于360/n?；￠L公式指的是在半徑為R的圓中，n°圓心角所對的弧長的計算公式lnR/180。扇形面積公式指的是在半徑為R的圓中，n°圓心角所對的扇形面積為S=nR2/360?？梢园l(fā)現(xiàn)，扇形的弧長公式和面積公式都與圓心角有關。知識點三：圓錐的側面積和全面積圓錐的側面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側面展開，容易得到圓錐的側面展開圖是一個扇形。設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么扇形的半徑為l，弧長為2πr，因此圓錐的側面積S=πrl。圓錐的全面積為S=S（圓錐側）+S（底）=πrl+πr2。知識點一：隨機事件與概率在一定條件下，有些事件必然會發(fā)生，這樣的事件稱為必然事件；相反地，有些事件必然不會發(fā)生，這樣的事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生也可能不會發(fā)生的事件稱為隨機事件。必然事件和不可能事件是否會發(fā)生，是可以事先確定的，所以它們統(tǒng)稱為確定性事件。知識點二：事件發(fā)生的可能性的大小必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，隨機事件發(fā)生的可能性有大有小。不同的隨機事件發(fā)生的可能性的