五年級奧數(shù)數(shù)論完全平方數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用（A級）學(xué)生版

完全平方數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用完全平方數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用課前預(yù)習(xí)數(shù)字不重復(fù)的平方數(shù) 課前預(yù)習(xí)觀察只含兩位數(shù)字的完全平方數(shù)：16＝4225＝5236＝6249＝7264＝8281＝92其中每個平方數(shù)都是兩位數(shù)字互不相同。含有三位數(shù)字的完全平方數(shù)，情況就不一樣了。例如：100＝102121＝112144＝122這些平方數(shù)都已包含重復(fù)數(shù)字。不過，也有許多三位平方數(shù)的各位數(shù)字互不相同，例如：169＝132196＝142256＝16262＝5252含有四位數(shù)的完全平方數(shù)，包含重復(fù)數(shù)字的現(xiàn)象更為普遍。1444＝382不含重復(fù)數(shù)字的四位平方數(shù)也很多，例如1024＝3222401＝4921369＝3721936＝442如果一個平方數(shù)有九位數(shù)字，每位數(shù)字各不相同，并且不含數(shù)字0，那么在這個數(shù)中，從1到9全都出現(xiàn)，全只出現(xiàn)一次。其中最小的是：139854276＝118262，最大的是：923187456＝303842知識框架知識框架完全平方數(shù)常用性質(zhì)1.性質(zhì)性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。性質(zhì)2：在兩個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。性質(zhì)3：自然數(shù)N為完全平方數(shù)自然數(shù)N約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)．因為完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解中每個質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)次.性質(zhì)4：若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)，則p能被整除。2.一些重要的推論任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。一個完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。自然數(shù)的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。完全平方數(shù)個位數(shù)字是奇數(shù)（1，5，9）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。完全平方數(shù)個位數(shù)字是偶數(shù)（0，4）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。完全平方數(shù)的個位數(shù)字為6時，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。凡個位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個“0”的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。完全平方數(shù)被3，4，5，8，16除的余數(shù)一定是完全平方數(shù)．兩個完全平方數(shù)的差是兩個奇偶性相同的數(shù)的乘積。一個不是完全平方數(shù)的數(shù)乘以一個數(shù)成為一個完全平方數(shù)，這個數(shù)最小是它次數(shù)為奇數(shù)的所有質(zhì)因數(shù)的乘積。后面幾位（至少2位）數(shù)字相同的數(shù)中只有4有可能是完全平方數(shù)。3.重點公式回顧：平方差公式：例題精講例題精講是的平方．的平方．寫出從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個因數(shù)的數(shù)．從1到2011中有幾個有偶數(shù)個因數(shù)的整數(shù)？證明：形如11，111，1111，11111，…的數(shù)中沒有完全平方數(shù)。有一個正整數(shù)的平方，它的最后三位數(shù)字相同但不為0，試求滿足上述條件的最小的正整數(shù)．自然數(shù)的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，問：第612個位置的數(shù)字是幾？不是零的自然數(shù)的平方按照從小到大的順序接連排列，是：149162536……，則從左向右的第l6個數(shù)字是_________一個數(shù)與它自身的乘積稱為這個數(shù)的平方．各位數(shù)字互不相同且各位數(shù)字的平方和等于49的四位數(shù)共有________個．各位數(shù)字的平方和等于9的數(shù)共有________個．1016與正整數(shù)a的乘積是一個完全平方數(shù)，則a的最小值是________．已知恰是自然數(shù)b的平方數(shù)，a的最小值是。從1到2008的所有自然數(shù)中，乘以72后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個？從1到2011的所有自然數(shù)中，乘以60后不是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個？有5個連續(xù)自然數(shù)，它們的和為一個平方數(shù)，中間三數(shù)的和為立方數(shù)，則這五個數(shù)中最小數(shù)的最小值為．有3個連續(xù)自然數(shù)，它們的和為一個立方數(shù)，中間數(shù)是平方數(shù)，則這3個數(shù)中最小數(shù)的最小值為．一個數(shù)的完全平方有39個約數(shù)，求該數(shù)的約數(shù)個數(shù)是多少？一個數(shù)的完全平方有93個約數(shù)，求該數(shù)的約數(shù)個數(shù)是多少？一個數(shù)減去100是一個平方數(shù)，減去63也是一個平方數(shù)，問這個數(shù)是多少？能否找到這么一個數(shù)，它加上24，和減去30所得的兩個數(shù)都是完全平方數(shù)？課堂檢測課堂檢測一個正整數(shù)加上132和231后都等于完全平方數(shù)，求這個正整數(shù)是多少？1988與正整數(shù)a的乘積是一個完全平方數(shù)，則a的最小值是________．14，144，1444，14444，……中有幾個完全平方數(shù)？家庭作業(yè)家庭作業(yè)兩個完全平方數(shù)的差為77，則這兩個完全平方數(shù)的和最大是多少？最小是多少？是否存在由2011個同樣的數(shù)字組成的多位數(shù)？如果存在，請舉例說明；