高職應用數(shù)學 3

應第3章一元函數(shù)微分學用數(shù)學高職本章內(nèi)容3高階導數(shù)4隱函數(shù)的導數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)5函數(shù)的微分及其應用1導數(shù)的概念2導數(shù)的運算3.1導數(shù)的概念01案例分析02導數(shù)的概念03求導數(shù)舉例04用導數(shù)表示實際量——變化率模型05函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系3.1.1案例分析引例自由落體的瞬時速度如圖3-1所示是著名的伽利略自由落體實驗的場景。如果物體在真空中自由下落，則它的運動方程為圖3-1其中g(shù)為常量。試求物體在t0時刻的瞬時速度v。我們知道，當物體作勻速直線運動時，它在任意時刻的速度可用公式來計算：分析但這里物體是變速直線運動，上式中的速度只能反映物體在某段時間內(nèi)的平均速度，而不能精確地描述運動過程中任一時刻的瞬時速度。如圖3-2所示，給定時間變量t在t0時的一個增量，則在從時刻t0到這段時間間隔內(nèi)，物體運動路程的增量為圖3-2從而可以求得物體在時間段內(nèi)的平均速度為顯然，當無限變小時，平均速度無限接近于物體在時刻的瞬時速度v。因此，平均速度的極限值就是物體在時刻的瞬時速度v，即可定義可以看到，上述定義與物理學中自由落體的瞬時速度公式是一致的。3.1.2導數(shù)的概念定義1設函數(shù)在點x0處及其左右近旁有定義，當自變量x在點x0處有增量

時，相應地函數(shù)有增量如果當時，與之比的極限

存在，則稱函數(shù)在點x0處可導，并稱此極限值為在點x0處的導數(shù)，記作或即（1）令，得導數(shù)的定義式還有下列兩種形式：（2）令，得若上式的極限不存在，則稱函數(shù)在點x0不可導（或?qū)?shù)不存在）。定義2如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點都可導，則稱在區(qū)間內(nèi)可導。這時對任意一個，都有一個確定的導數(shù)值與之對應，這樣就構(gòu)成了一個新函數(shù)，稱為函數(shù)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，即

也可記作3.1.3求導數(shù)舉例由導數(shù)定義可知，求函數(shù)的導數(shù)可按以下三個步驟進行：（1）求函數(shù)增量：；（2）計算比值：；（3）求極限：。例1求函數(shù)（c

為常數(shù)）的導數(shù)。解

因為為常數(shù)，所以即例2求函數(shù)的導數(shù)。解

即也可以證明同理可以推出冪函數(shù)的求導公式（

α為任意實數(shù)）解

（1）例3求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）； （2）。（2）解

例4求函數(shù)的導數(shù)。即

同樣的方法可以求出同理，根據(jù)導數(shù)定義，我們可推出如下公式：

.特別地，．．特別地，.

解

例5求下列函數(shù)在指定點處的導數(shù)：（1）；（2）。（1）（2）3.1.4用導數(shù)表示實際量——變化率模型設曲線在點處有切線且斜率存在，求曲線在點處的切線斜率。在曲線上另取一點N，設它的坐標為

，如圖3-3所示。案例1切線的斜率圖3-3當割線MN上的N點沿著曲線無限接近M點時，割線MN的極限位置稱為曲線在M點的切線。設割線MN

的傾角為，切線MT傾角為α，則割線MN斜率為顯然當時，即點N將沿著曲線趨近于M點時，割線MN趨近于極限位置MT（即切線MT）。于是得到切線MT的斜率為（1）曲線在點處的切線方程為（2）過切點且與切線垂直的直線稱為曲線在點M處的法線。如果，法線斜率為，所以曲線在點

處的法線方程為

由直線的點斜式方程可以得到：解

例6求曲線在點處的切線斜率，并寫出該點處的切線方程和法線方程。由導數(shù)的幾何意義可知，所求的切線斜率為從而所求的切線方程為即所求法線的斜率為于是所求的法線方程為

即由引例可知，若物體的運動方程為，則物體在時刻的瞬時速度為案例2速度、加速度因為加速度（描述速度變化的快慢程度）是速度關(guān)于時間的變化率，物體在時刻t的加速度為案例3電流強度電路中電荷的定向移動形成電流，通過導體橫截面的電荷量Q與所用時間t之比稱為電流強度，簡稱電流i。已知導體內(nèi)的電荷隨時間變化為

，那么在時間段的平均電流，時刻t的電流。3.1.5函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系定理如果函數(shù)在點x0處可導，則函數(shù)一定在點x0處連續(xù)。

證明

由于函數(shù)在點處可導，所以根據(jù)函數(shù)的極限與無窮小的關(guān)系定理可知其中

，

所以于是當時，有．所以，函數(shù)在點處連續(xù)．3.1.5函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系解

例7討論函數(shù)在處連續(xù)，但在處不可導。（1）因為函數(shù)是初等函數(shù)，定義域為，由初等函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點都連續(xù)的定理，可知函數(shù)在處連續(xù)。（2）因為顯然，當時，導數(shù)不存在。從幾何圖形上可以直觀地看到：曲線

在原點O具有垂直于x軸的切線，如圖3-4所示。圖3-43.2導數(shù)的運算01導數(shù)的基本公式02導數(shù)的四則運算法則03復合函數(shù)的求導法則3.2.1導數(shù)的基本公式（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）。3.2.2導數(shù)的四則運算法則設和在點x處可導，則，在點x處也可導，且有下列法則：（1）；（2）；（3）。（1）解

例1求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）。（2）（3）（4）解

例2設函數(shù)，求。即。這是正切函數(shù)的導數(shù)公式。解

例3設函數(shù)，求。用類似的方法，還可以得到下列導數(shù)公式：3.2.3復合函數(shù)的求導法則如，則復合函數(shù)的導數(shù)為或或記為本法則可推廣到有限次復合的情形：設在點x處可導，函數(shù)在對應點u處可導，則復合函數(shù)

在x處也可導，并且解

例4設函數(shù)，求。是由復合而成的，因此解

例5設函數(shù)，求。是由復合而成的，因此解

例6設函數(shù)，求。解

例7設函數(shù)，求。解

例8設函數(shù)，求。3.3高階導數(shù)01高階導數(shù)的定義02高階導數(shù)的計算3.3.1高階導數(shù)的定義定義若函數(shù)的導數(shù)仍是的可導函數(shù)，則稱的導數(shù)為函數(shù)的二階導數(shù)，記作類似地，二階導數(shù)的導數(shù)稱為函數(shù)的三階導數(shù)，記為；三階導數(shù)的導數(shù)稱為函數(shù)的四階導數(shù)，記為

階導數(shù)的導數(shù)稱為函數(shù)的n階導數(shù)，記作。二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱高階導數(shù)。3.3.1高階導數(shù)的定義解

例1設函數(shù)，求。解

例2設函數(shù)，求。解

例3設函數(shù)，求。解

例4設函數(shù)，求。解

例5設函數(shù)，求。依次類推，可得解

例6設一物體的運動方程為，求物體在時刻的速度和加速度。物體在任意時刻t處的速度和加速度分別為所以3.4隱函數(shù)的導數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)01隱函數(shù)的導數(shù)02由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)03對數(shù)求導法3.4.1隱函數(shù)的導數(shù)用解析法表示函數(shù)通常有兩種不同的方式：一種是由的形式給出的自變量為x的函數(shù)y，稱為顯函數(shù)，如等均為顯函數(shù)；另一種是由方程的形式所確定的自變量為x的函數(shù)y，稱為隱函數(shù)。解

將方程的兩邊同時對x求導，并注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，則y2是x的復合函數(shù)，利用導數(shù)基本公式、導數(shù)的四則運算法則及復合函數(shù)的求導法則，得例1求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)。即解出得解

將方程兩邊同時對x求導，得例2求由方程所確定的函數(shù)y的導數(shù)。即解出得由原方程知，當時，。所以

y

在處的導數(shù)為由以上兩例可以得出求隱函數(shù)的導數(shù)的方法：求由方程所確定的隱函數(shù)y的導數(shù)時，將方程的兩邊同時對自變量x求導，注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，y的函數(shù)則是x的復合函數(shù)，利用導數(shù)基本公式、導數(shù)的四則運算法則及復合函數(shù)的求導法則，解出，就得到隱函數(shù)的導數(shù)。解

將方程兩邊同時對x求導，得由導數(shù)的幾何意義可知，橢圓在點處的切線斜率和法線斜率分別為例3求橢圓在點處的切線方程和法線方程。切線方程為法線方程為解

方程兩端對x求導，得例4設，求。解得解

方程兩端對x求導，得例5求由方程所確定的隱函數(shù)y

的二階導數(shù)。上式兩端同時對x求導，得解得二階導數(shù)為將x代入上式，整理得3.4.2由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)根據(jù)復合函數(shù)的求導法則與反函數(shù)的導數(shù)公式，有解

例6求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)y的導數(shù)。因為。所以解

例7求擺線在時曲線上的點的切線方程。點P處的導數(shù)為當時，擺線上的點為，因此故擺線在點P處的切線方程為即3.4.3對數(shù)求導法對等式兩邊同時取自然對數(shù)，得解

例8求的導數(shù)。兩邊同時對x求導，得所以解

例9求函數(shù)的導數(shù)。將等式兩邊取自然對數(shù)得將上式兩端同時對x求導得于是3.5函數(shù)的微分及其應用01微分的概念02微分的幾何意義03微分的運算04微分在近似計算中的應用3.5.1微分的概念先看一個例子：如圖3-5所示，一塊正方形的金屬薄片，當受熱膨脹后，邊長由x0變到。問此薄片的面積A增加了多少？圖3-5由于正方形的面積A是邊長x0的函數(shù)，面積的增量為從圖3-5可以看出，當很小時，面積的增量可以用近似表示，其中，所以有一般地，對于函數(shù)，當自變量從x0

變到時，函數(shù)的增量可表示為第一項中是不依賴的常數(shù)，第二項是比高階的無窮小。因此，當很小時，的近似值表示為稱為的線性主部，由此給出微分的定義。通常把自變量的增量稱為自變量的微分，記作dx，即。則函數(shù)

在點x0處的微分可寫成（或0）定義如果函數(shù)在點x0具有導數(shù)，則稱為在點x0的微分，記作dy，即。當函數(shù)在點x0處有微分時，稱函數(shù)在點x0處可微。一般地，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任意點x的微分稱為函數(shù)的微分，記作dy，即由，得導數(shù)也稱微商。解

例1求在點時函數(shù)y的改變量及微分dy。而，即解

例2設，求dy。3.5.2微分的幾何意義如圖3-6所示，點和是曲線上鄰近的兩點。PT為曲線在點P處的切線，其傾斜角為α

。容易得到，這就是說函數(shù)在點x0處的微分，在幾何上表示曲線在點處切線PT的縱坐標的增量RT。圖3-6在圖3-6中，表示與dy之差，當很小時，TQ與RT相比是微不足道的，因此，RT可用TQ近似代替。這就是說，當很小時，有

。如圖3-6所示，當是曲線上點的縱坐標增量時，dy就是曲線的切線上點縱坐標的相應增量。當很小時，比小得多，即因此在點P的附近，可以用切線段來近似代替曲線段，即3.5.3微分的運算（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）（12）；（13）；（14）；（15）；（16）。1．微分的基本公式2．函數(shù)和、差、積、商的微分法則設u，v都是x的可微函數(shù)，C為常數(shù)，則（1）；（2）；（3）；（4）。3．微分形式的不變性由微分的定義知，當u是自變量時，函數(shù)的微分是如果u不是自變量而是x的可微函數(shù)，那么對于復合函數(shù)，根據(jù)微分的定義和復合函數(shù)的求導法則，有其中，所以上式仍可寫成由此可見，不論u是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分總是同一個形式：，此性質(zhì)稱為微分形式的不變性。例3設函數(shù)，求dy。解

方法1直接應用微分公式計算，則有方法2把看成中間變量u，則有例4求函數(shù)的微分dy。解

3.5.4微分在近似計算中的應用1．計算函數(shù)增量的近似值函數(shù)微分是函數(shù)增量的線性主部，這就是說，當很小時，函數(shù)的增量可用其微分來近似代替，即（3-1）當很小時，可得例5半徑為10cm的金屬圓片加熱后，半徑伸長了0.05cm，問