專題17：數(shù)列不等式

專題17：數(shù)列不等式1．已知函數(shù)，，（其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）令，若對任意的恒成立，求實數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，設為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，，求的最小值．【解析】（1）因為，所以，由對任意的恒成立，即，由，當時，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以時，，所以不滿足題意．當時，由，得，時，，時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值為．設（a），所以（a），①因為（a），令（a），得，所以（a）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以（a）（1），②由①②得（a），則．（2）由（1）知，即，令，，1，2，3，，，則，所以，所以，所以，又，所以的最小值為2．2．已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）設為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，，求的最小值．【解析】（1）因為函數(shù)，，所以，且（1）．所以當時恒成立，此時在上單調(diào)遞增，這與矛盾；當時令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即（a），若，則（a）（1），從而與矛盾；所以；（2）由（1）可知當時，即，所以當且僅當時取等號，所以，．，即；因為為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，成立，當時，，所以的最小值為3．3．已知函數(shù)（其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）設為整數(shù)，對于任意正整數(shù)，，求的最小值．【解析】（1）因為，所以，令，得；令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值為．由對任意的恒成立，得，即，所以，即實數(shù)的取值范圍為，．（2）由（1）知，即，令，，1，2，，，則，所以，，所以，又，所以的最小值為2．4．已知函數(shù)．（1）當時，求在處的切線方程；（2）若函數(shù)在定義域上具有單調(diào)性，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：，．【解析】（1）當時，，，，（1），（1），所以求在處的切線方程為：．（2），．函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減時，即時，令，當時，，不成立；函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增時，；令，則，；則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，故．（3）由得當時在上單調(diào)遞增，由（1），得，即在上總成立，令得，化簡得：，所以，，，，累加得，即，命題得證．5．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；（2）若對，恒成立，求的取值范圍；（3）求證：．【解析】（1）的定義域為，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，無最小值．（2），令．則．當時，顯然，所以在上是減函數(shù)．所以當時，．所以，的取值范圍為，．（3）由（2）知，當，時，，即．在式中，令，得，即，依次令，2，3，，得．將這個式子左右兩邊分別相加，得．6．已知函數(shù)．（1）若在處取得極小值，求的值；（2）若在，上恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當時，．【解析】（1）的定義域為，，在處取得極小值，（2），即，此時，經(jīng)驗證是的極小值點，故．（2），①當時，，在，上單調(diào)遞減，當時，（1）矛盾．②當時，，令，得；，得．當，即時，時，，即遞減，（1）矛盾．當，即時，，時，，即遞增，（1）滿足題意．綜上，．（3）證明：由（2）知令，當，時，，（當且僅當時取“”當時，．即當，3，4，，，有：．7．已知函數(shù)．（1）若在處取到極值，求的值；（2）若在，上恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當時，．【解析】（1）的定義域為，，在處取得極小值，（1），即，此時，經(jīng)驗證是的極小值點，故，（2）①當時，，當時，，故不滿足題意，②當時，，（2），故不滿足題意③當時，，△恒成立，令，解得，（舍去），，當時，即時，在，單調(diào)性遞增（1），滿足題意，當時，即時，時，，即遞減，（1），矛盾．綜上，在，上恒成立，，（3）證明：由（1）知令時，，當時，，即，令，則，．8．已知函數(shù)．（1）當時，求的極值；（2）若，存在兩個極值點，，試比較與的大小；（3）證明：．【解析】（1），定義域解得，，即有遞減，遞增，故的極小值為（2），沒有極大值．（2），，由于，則，，，解得，即設，當，，則設，當時，，在上遞減，（1），即恒成立，綜上述；（3）證明：當時，恒成立，即恒成立，設，即，即有，即有，，，，，即有，則，故．9．已知函數(shù)為常數(shù)）是實數(shù)集上的增函數(shù)，對任意的，有，函數(shù)，函數(shù)．（1）求實數(shù)的值；（2）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：當時，．【解析】（1）對任意的，都有，是上的奇函數(shù)，即或或或，是實數(shù)集上的增函數(shù)，．（2）由（1）知，函數(shù)，設，則恒成立恒成立，又①若，則，在上是減函數(shù)，因此恒成立，②若，則令，解得，當是，，單調(diào)遞增，不成立故實數(shù)的取值范圍，（3）證明：由第（2）小題可知，當時，恒成立，故當，也恒成立，，，將各不等式相加得故10．已知函數(shù)，且．（1）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）若在處的切線與軸交于點，且，（1），求（a）在，的最小值；（3）若，（1）（2）（3），，，求證：．【解析】（1）由，得，這時，恒成立得（2）（1），即，而時，（1）故在處的切線方程為當時，，即（a），，當時，（a）的最小值為1當時，（a）的最大值為（c）（3）證明：時，，故（1）（2）（3）故11．已知函數(shù)．（Ⅰ）若方程有兩根，，求的取值范圍；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，設，求證：隨著的減小而增大；（Ⅲ）若不等式恒成立，求證：．【解析】（Ⅰ）由，有，設，由，（1分）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，（1）．當時，；當時，．（2分）故若方程有兩根，則．（3分）（Ⅱ）證明：若方程有兩根，，則，．假設對于任意的．記，由上可知；記，由上可知．（5分）因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故由可知，．又因為，，所以，故隨著的減小而增大．（8分）（Ⅲ）依題意，恒成立，記，則．①當時，在恒成立，故在單調(diào)遞減，又因為（1），所以在上函數(shù)值小于零，不符合題意，舍去．（9分）②當時，得．小于0大于0單調(diào)遞減單調(diào)遞增由上表可知在上的．（10分）記（a），由可知，（a）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故（a）（1），綜上（a），即．（11分）由可得，兩邊乘以可得，即．則．（12分）12．已知定義在上的函數(shù)有．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設函數(shù)，直線分別與函數(shù)，交于、兩點．設，為數(shù)列的前項和．①求，并證明；②求證：當時，．【解析】（1）故，兩式聯(lián)立可得．（2）由（1）可得，聯(lián)立，得交點，所以，，，，，累加得：又13．已知函數(shù)且．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：．【解析】（1），，①當時，若，則，若，，的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間；②當時，若，則，若，，的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間；（2）令，則，所以（1），由（1）可知在，單調(diào)遞減，故（1），（當時取等號），所以，即，從而有，即，．14．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若對一切實數(shù)，都有恒成立，求的取值范圍．（Ⅲ）求證：，．【解析】（Ⅰ）由，①當時，顯然；②當時，由得，顯然當時，；所以當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上遞增；（Ⅱ）由（Ⅰ）問知，當時，遞增，且，不合題意，舍去．當時，由（Ⅰ）知，當時，，當時，所以當時，有極小值也是最小值，即，依題意，①①式可化為，而由超越不等式知：時取到等號），所以比較上下兩式可以發(fā)現(xiàn)，即時取到等號），下面給出其證明：令（a），，則（a），于是（a）時，，同理知當時，（a）有極大值也是最大值，所以（a）（1）②比較①②式可得，（a），即為所求．（Ⅲ）由（Ⅱ）知對，有，于是令，則有即有，即（當且僅當時取等號）所以有即，即證．15．已知函數(shù)．（1）當時，令，求函數(shù)在，上的最小值；（2）若對于一切，恒成立，求的取值集合；（3）求證：．【解析】（1）當時，，則．當，即時，；當且，即或時，．則的增區(qū)間為，減區(qū)間為，．因為，所以，①當，即時，在，上單調(diào)遞減，所以②當，即時，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以（2）③當時，在，上單調(diào)遞增，所以．綜上，；（2）設若，則對一切，這與題設矛盾．又，故．而，令，得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．故當時，取最小值．于是對一切，恒成立，當且僅當①令，則當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，故當時，取最大值（1），因此，當且僅當，即時，①式成立．綜上所述，的取值集合為．（3）證明：由（2）可知，當時，，所以，可得于是．16．已知函數(shù)在點，處的切線斜率為2．（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）設，若對，恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）已知數(shù)列滿足，，求證：當，時為自然對數(shù)的底數(shù)，．【解析】（Ⅰ），；則由題意得，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由得，，，；當時，該不等式成立；當，時，不等式在，上恒成立，即．設，，，，，在，單調(diào)遞增，，在，單調(diào)遞增，（1），．（Ⅲ）證明：，，又，時，；對也成立，．當，時，，在，上單調(diào)遞增，且．又，表示長為，寬為的小矩形的面積，，，．又由（Ⅱ），取得，，，．17．已知函數(shù)，．（Ⅰ）若有兩個不同的極值點，求的取值范圍；（Ⅱ）當時，令（a）表示在，上的最大值，求（a）的表達式；（Ⅲ）求證：，．【解析】（Ⅰ），有兩個不同的極值點，令，則有兩個大于的零點，（2分），；（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知當時，在，，，上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減，，，（8分）注意到的對稱軸，，，可推知，當，時，（a），（9分）而，，又若，，故不成立綜上分析可知，（a）（10分）（Ⅲ）證明：由（2）知，當時，令，則，，，，即