歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編36不等式

1/2歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編專題36不等式第五緝1．【2021年吉林預(yù)賽】設(shè)m>0.若對于滿足abc≤14且1a2+1b2+1c2<m的任意一組正數(shù)a,【答案】答案見解析【解析】由x2+y(x+y)=0得y=?x2(1)聯(lián)立y=?x2y=kx+116由Δ=k2?4×116>0因為y=?xy=kx+116又直線l:y=kx+b與曲線C交于三個不同的點,所以x=1不足方程(?)的解，即k≠?1716所以k的取值范圍是?∞,?1716(2)情形1(如圖):聯(lián)立y=?x2y=kx+1得設(shè)Ax1,y1設(shè)AC的中點為BxB,yB又點B?k2,?k從而?k2所以k=1或-2，不滿足Δ>0，舍去.情形2(如界2):設(shè)Am,?則直線AB的方程為y=?(m+n)x+mn.又直線AB即為直線l:y=kx+1.從而k=?(m+n),?由B為線段AC的中點，得C2n?m,?2∵點C在直線y=?x上，得?2n聯(lián)立mn=1,?2解衍m=1n=1(受委屈)或m=?∴k=3綜上，k的值為32+2．【2021年重慶預(yù)賽】設(shè)自然數(shù)n≥3,實數(shù)x1,x2,?,xn滿足x【答案】答案見解析【解析】由柯西不等式：(n?1)x2化簡得：(n?1)n2解得：2?n≤x構(gòu)造局部不等式x1+n?2展開得x13同理有其它n?1式，相加得：S=x1要使S取最小值，xi=2?n或若全為2,其和為2n,不符合題意；若有兩個以上為2?n,其和小于n，不合題意；當(dāng)且僅當(dāng)有且只有一個為2?n,即x1,3．【2021年浙江預(yù)賽】設(shè)x,y,z>0,x+y+z【答案】證明見解析【解析】等價于x+y+z=1,證:∑x8由三元均值不等式有∑x8由柯西不等式有∏x8所以有∏x則可知∑x由柯西不等式有∏x則有∑x4．【2021年上海預(yù)賽】已知正實數(shù)a,b滿足a(a+b)=27,求a2b【答案】54【解析】解法1:由題設(shè)及平均不等式：27=a(a+b)=aa+b所以93≥當(dāng)a=3,b=6時等號成立.故a2b解法2:由題設(shè)得b=27aa2所以a2≤1當(dāng)a=3,b=6時等號成立.故a2b解法3:由題設(shè)得b=27a?a令f(a)=a27?a2,則f'當(dāng)a∈(0,3)時,f'(a)>0,當(dāng)a∈(3,+∞)時，f故f(a)在(0,3)上是遞增的，在(3,+∞)上是遞減的，故f(a)在a=3時取到最大值.所以，a2b的最大值為f(3)=545．【2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷二試】已知a,b,c,【答案】2【解析】當(dāng)a>0時,有當(dāng)a=0時,所以a2?a故a26．【2020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】設(shè)正實數(shù)a,b,c滿足a2+4b+9c【答案】6【解析】由題設(shè)條件得a2由柯西不等式可得：3[a即(a+2b+3c?3)2≤9,故又由柯西不等式得(1所以1a當(dāng)a=b=c=1時等號成立.故1a7．【2020年廣西預(yù)賽】已知x3+y3其中,x、y、z為不全相等的正實數(shù).證明：（1）x+y+z=3；（2）x2(1+y)+【答案】證明見解析【解析】(1)注意到，0=(x+y+z?3)(x=1因為x,y,z不全相等,所以,從而,x+y+z?3=0.故x+y+z=3.(2)x2=x=x(z>x=(x+y+z)=328．【2020年廣西預(yù)賽】空間中八個點，其中任意四點不共面，在這些點之間連接17條線段.證明：在這17條線段之中必存在三條線段，其長度a、b、c滿足a2+b2+【答案】證明見解析【解析】(1)這17條線段之中必有三條線段構(gòu)成三角形.反證法.假設(shè)這17條線段之中任意三條不構(gòu)成三角形.設(shè)點P是這八個點中連接線段最多的一個點,連接線段數(shù)為x.則有7?x個點不與點P連線.又由于以這7?x個點為端點的線段數(shù)不超過x(7?x),于是,所連線段總數(shù)不超過x+x(7?x).而x+x(7?x)=?x2因此,17條線段中必有三條線段構(gòu)成三角形.(2)據(jù)海倫公式知原不等式?a2其中,S為該三角形的面積.注意到，a2?a?a2+?2(a2+而a2+b故式①成立.綜上,命題得證.9．【2020年吉林預(yù)賽】已知正實數(shù)x,y,z滿足求(x+y)2+【答案】83【解析】設(shè)x+y=a,y+z=b,z+x=c.則a,b,c為三邊長構(gòu)成△ABC.由(x+y+z)xyz=4?其中,p=1建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A(0,0),B(c,0),C(m,n).則S△BC=(x+y)2=a=2m=2(m?≥2n2+32≥23=83(當(dāng)且僅當(dāng)m=因此,(x+y)2+(y+z)2+10．【2020年四川預(yù)賽】設(shè)λ為正實數(shù)，對于任意兩兩不等的正實數(shù)a、b、c,均有a3(b?c)求λ的最大值.【答案】1【解析】取a=12則λ?(=(對于任意的ε(0<ε<14注意到,當(dāng)ε→0+時,(因此,λ?1.下證:λ=1成立,即證a3(b?c)2+b不妨設(shè)a>b>c.可令a=c+x,b=c+y(x>y>0).則式①左邊=(c+x)=x3+3>x=(x?(x+y)=x+y+6c>x+y+3c=a+b+c.從而,λ=1時結(jié)論成立.綜上,λ的最大值為1.11．【2020年浙江預(yù)賽】設(shè){ai},{bj【答案】證明見解析【解析】注意到，不等式左邊=m,n=12020(bn由Cauchy不等式得m,n=12020?(m,n=1(m,n=12020由m,n=12020=m=1及m,n=12020=n=12020從而只需證明:n=12020(1及m=12020(1這兩個不等式是一樣的(m,n對調(diào)).下面證明:1(m+n)式③等價于1(?2(m?1?2n由(n?1+2(n?知最后的不等式成立.對式③求和即得式①,得證.12．【2020年新疆預(yù)賽】已知a,b,c,d為正實數(shù)，且ab+bc+cd+da=1,求證:a3【答案】證明見解析【解析】證明：由柯西不等式，可得:左式×[a(b+c+d)+b(a+c+d)+c(a+b+d)+d(a+b+c)]≥(下證(a2由ab+bc+cd+da=1,可得a2+而ab+ac+ad+bc+bd+cd=1+ac+bd≤1+12(a213．【2019年新疆預(yù)賽】給定正實數(shù)0<a<b，設(shè)x1,x【答案】最小值和最大值分別為1和ba【解析】(i)因為x1,xx1從而由x1并且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=(ii)因為x1,x2,x3注意到xi2xi+1xi即xi2xi+1?其中x5x于是：x1并且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x1=a,x2=b,所以x12x綜上所述，x12x14．【2019年浙江預(yù)賽】設(shè)ai,bi>0(1≤i≤n+1),b【答案】證明見解析【解析】記sk=i=1由已知1=i=1(因為isi即i=1n15．【2019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第02試）】設(shè)正實數(shù)a1,?a2,?,?【答案】證明見解析【解析】注意到a1,a2,?,從而有x1x22記①式的右端為T，則對任意i=1，2，…，100，ai在T的分子中的次數(shù)為i－1，在T的分母中的次數(shù)為100－i.從而T=i=1又0<a101?i?結(jié)合①得x116．【2018年福建預(yù)賽】已知a，b，c∈R，且3a2+3b2+4c2=60.（1）求a+b+c的最大值（2）若a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，求a4?a【答案】（1）55（2）5【解析】（1)由柯西不等式，知a+b+c2≤=1∴a+b+c≤55當(dāng)且僅當(dāng)3a13∴a+b+c的最大值為55.（2）由a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，知a，4－a，b，4－b，c，6－c均為正數(shù)，∴a4?a∴a≥a又當(dāng)a=b=2，c=3時，滿足a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，3a2+3b2+4c2=60，且a4?a∴a4?a17．【2018年貴州預(yù)賽】證明：（1）12k+12k+1（2）分別以1，12，13，……，【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】證明：（1）1(2)由（1）知，12故以邊長為12k，12取k=2，3，4，…，即得底分別為122+這些矩形的底小于1，高的和為1因此，以1，12，13，…，1n而邊長為1，12，118．【2018年重慶預(yù)賽】設(shè)a1=2，【答案】見解析【解析】證明：由遞推式得an+11從而得n=12018又a得數(shù)列an單調(diào)遞增，所以a特別地k=120.8由遞推式可得ana1由均值不等式及已證結(jié)論有1n所以a特別地a故k=119．【2018年陜西預(yù)賽】設(shè)a,b,c>0.證明：aa【答案】見解析【解析】由對稱性不妨設(shè)a≤b≤c，則ab+c當(dāng)a2+bc≤b由切比雪夫不等式3LHS≥a由Nesbitt不等式知ab+c且易知a2故3LHS≥3當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立.當(dāng)a+b<c時，cc顯然有LHS>ab+bc+ca.綜上所述，原不等式成立.20．【2018年陜西預(yù)賽】設(shè)a,b,c>0.證明：aa【答案】見解析【解析】由對稱性不妨設(shè)a≤b≤c，則ab+c當(dāng)a2+bc≤b由切比雪夫不等式3LHS≥a由Nesbitt不等式知ab+c且易知a2故3LHS≥3當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立.當(dāng)a+b<c時，cc顯然有LHS>ab+bc+ca.綜上所述，原不等式成立.21．【2018年陜西預(yù)賽】設(shè)a,b,c>0.證明：aa【答案】見解析【解析】由對稱性不妨設(shè)a≤b≤c，則ab+c當(dāng)a2+bc≤b由切比雪夫不等式3LHS≥a由Nesbitt不等式知ab+c且易知a2故3LHS≥3當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立.當(dāng)a+b<c時，cc顯然有LHS>ab+bc+ca.綜上所述，原不等式成立.22．【2018年安徽預(yù)賽】⑴求證：對于任意實數(shù)x、y、z都有x2⑵是否存在實數(shù)k>3，使得對于任意實數(shù)x、y、z有x【答案】（1）見解析（2）見解析.【解析】⑴由均值不等式，可知x2故有x2⑵x2上式≥0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)2?k化簡得k≤22且23．【2018年湖北預(yù)賽】已知正數(shù)a、b滿足a+b=1，求M=1+2【答案】5【解析】由柯西不等式可得2ab2所以M=1+2a取等號的條件分別為4a2b2=當(dāng)112+λ21+又a+b=1，所以b2144b故4b?136b記fbf'所以fb在0,1f于是，由④可得b=14代入②③求得λ=代入①式，整理得M≥53412，因此M24．【2018年吉林預(yù)賽】設(shè)x，y，z≥0，且至多有一個為0，求fx,y,z【答案】12【解析】不妨設(shè)x≥y≥z.情形一：當(dāng)256y3≥y2z2所以f=當(dāng)且僅當(dāng)x:y=2+3:1，且z=0情形二：當(dāng)256y3<x2z時，又故f>=16y綜上，fx,y,z25．【2018年河北預(yù)賽】若a、b、c為正數(shù)且a+6+c=3，證明：ab+bc+ca?【答案】見解析【解析】因為a+同理bc三式相加得2所以2故ab+bc+ac?又a+b綜上可得ab+bc+ac?a26．【2018年四川預(yù)賽】設(shè)x、y、z為正實數(shù)，求x+1【答案】20+14【解析】記T=x+1y+22+下證：T≥20+14解法一：T=當(dāng)x=y=z=1時，可取到等號.所以，T的最小值為20+14解法二：T≥當(dāng)x=y=z=1時，可取到等號．所以，T的最小值為20+142解法三：注意到x+1于是，x+=≥故x+1當(dāng)x=y=z=1時，可取到等號．所以，T的最小值為2+227．【2018年浙江預(yù)賽】設(shè)a∈R，且對任意實數(shù)b均有maxx∈[0,1]x2【答案】a≤?3【解析】解1：f(x)=x2+ax+b所以只要考慮b<1（1）當(dāng)?a2≤0時，即a≥0，此時函數(shù)f(x)f(1)=1+a+b<f(0)=b，所以f(1)=1+a+b≥1，解得a≥1（2）當(dāng)0<?a2≤12而對b=0有f(1)=（3）當(dāng)12<?a2≤1時，即?2≤a<?1時，此時函數(shù)f(x)（4）當(dāng)?a2≥1時，即a≤?2，此時函數(shù)f(x)的最值在拋物線的左右端點取得，對任意b<1有綜上或a≤?3.解2：設(shè)maxx∈[0,1]x2+ax+b≥1，則有m≥28．【2018年遼寧預(yù)賽】已知實數(shù)a、b、c滿足a2+b【答案】見解析【解析】由均值不等式和柯西不等式可得a?127當(dāng)a=b=c=13時取等號，故M的最大值為要使M取最小值，只需考慮a,b>0,c<0，且a+b>0的情形.令c=?t，則a2+bM=abc??=?當(dāng)a=b=1?fx若M0為fx在0,23上的最大值，則f令1?x1?4x1?3x此方程有根x=13，x=12±2429．【2018年山西預(yù)賽】已知在正整數(shù)n的各位數(shù)字中，共含有a1個1，a2個2，?，an【答案】見解析【解析】對正整數(shù)n的位數(shù)使用數(shù)學(xué)歸納法．當(dāng)n是一位數(shù)，即1≤這是因為，此時n的十進(jìn)制表達(dá)式中只有一位數(shù)字n，即an=1，其余aj假設(shè)當(dāng)正整數(shù)n不超過k位，即n<10現(xiàn)考慮n為k+1位數(shù)，即設(shè)n的首位數(shù)字為r．則n=r10k若n1=0，則在數(shù)n的各位數(shù)字中，ar顯然，r+1a若1≤n1≤10k?1，記n1的各位數(shù)字中含有a則n的各位數(shù)字中，含有ar+1個r、aj注意到，正整數(shù)n1由歸納法假設(shè)，對n12a≤r10k則當(dāng)n為故由數(shù)學(xué)歸納法，知對一切正整數(shù)n，結(jié)論皆成立．欲使等號成立，由證明過程，知要么n為一位數(shù)；要么在n的位數(shù)大于或等于2時，由式②，必須n1+1=10k，此時，由式即n可表示為r99?9上述條件也是充分的，當(dāng)n能夠表成以上形式時，有ar=1,a故230．【2018年全國】設(shè)n是正整數(shù)，a1,a2,?,求證：b1【答案】證明見解析【解析】由條件知，ki=biai≥1,i=1,2,?,n要證明i=1nki對i=1,2,?,n，由于ki≥1及0<aki結(jié)合K≥k1k2?kn知，為證明①，僅需證明當(dāng)對n進(jìn)行歸納.當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立.當(dāng)n=2時，由A>0,kk1A+1因此n=2時結(jié)論成立。設(shè)n=m時結(jié)論成立，則當(dāng)n=m+1時，利用歸納假設(shè)知，i=1m+1最后一步是在③中用k1k2?k從而n=m+1時結(jié)論成立由數(shù)學(xué)歸納法可知，②對所有正整數(shù)n成立，故命題得證.31．【2018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第02試）】設(shè)a、b是實數(shù)，函數(shù)f(x)=ax+b+9x，證明:存在x0【答案】證明見解析【解析】證法一只需證明存在u，v∈[1，9]，滿足|f(u)?f(v)|?4，進(jìn)而由絕對值不等式得|f(u)|+|f(v)|?|f(u)?f(v)|?4，故|f(u)|?2與|f(v)|≥2中至少有一個成立.當(dāng)a∈?∞,12當(dāng)12<a<3若12<a?1，則若1<a<32，則綜上可知，存在u，v∈[1，9]，滿足f(u)－f(v)≥4，從而命題得證.證法二用反證法.假設(shè)對任意x∈[1，9]，均有|f(x)|<2，則|f(1)|<2,|f(3