歷年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編32不等式

1/2歷年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編專題32不等式第一緝1．【2021年吉林預賽】已知四個整數(shù)a,b,c,d都是偶數(shù)，且0<a<b<c<d,d?a=90,若a,b,c成等差數(shù)列，b,c,d成等比數(shù)列，則a+b+c+d= .【答案】194【解析】由題設(shè)知a+c=2b,bd=c2,d?a=90,消去c,d,得即90b=(4b?a)(b?a),因為4b?a≡b?a(?mod?6)又因為3b<4b?a<4b,所以22.5<b?a<30,故b?a=24,從而4b?a=154b,即b=4a,從而c=7a,d=494所以a=8,?b=32,c=56,d=98,故a+b+c+d=8+32+56+98=1942．【2021年福建預賽】若正實數(shù)x，y滿足x（x+2y）=9，則x5y的最大值為 .【答案】54【解析】解法一：由題設(shè)及平均不等式知：9=x(x+2y)=x12所以,33≥當且僅當12x=2y,即x=所以,最大值為54.解法二：由題意可得y=12所以,x5y=設(shè)f(x)=129x40<x<6時,f'(x)>0;6<x<3所以,f(x)在區(qū)間(0,6]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[所以，x=6時，f(x)有最大值f(6因此,x=6,y=64所以，x5y3．【2021年浙江預賽】設(shè)直角坐標平面上兩個區(qū)域為M=(x,y)∈?2∣0≤y≤min(2x,3?x),N=(x,y)∈?2∣t≤x≤t+2,記Mf(t)的表達式為 .【答案】f(t)=?3【解析】由圖可知f(t)=3?t24．【2021年廣西預賽】已知xy+yz+zx=1,其中x,y,z均為正數(shù),則3xy+1+3yz+1+3zx+1的整數(shù)部分為【答案】4【解析】取x=y=z=335．【2020年福建預賽】已知a、b、c、d為正數(shù),且a+20b=c+20d=2.則1a+1bcd的最小值為【答案】4412【解析】由條件知0<cd=120則1a當且僅當c=20d且20ba=a=b=2時,上式等號成立.故1a+1bcd6．【2020年福建預賽】已知實數(shù)m滿足當關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0有實根時，(a?b)2+(b?c)2+(c?a)【答案】98【解析】設(shè)μ=(a?b)2+(b?c)當方程ax2+bx+c=0有實根時,設(shè)其兩個根為由韋達定理知x1則μ=(a?b)=1?當且僅當x1=x2=?上式等號成立.故μ的最小值為98從而,m的最大值為987．【2020年甘肅預賽】設(shè)x、y均為正數(shù).則M=4xx+3y+3yx【答案】3【解析】注意到,M=4x當x=3y時,M=3.8．【2020年吉林預賽】設(shè)x、y滿足約束條件{x?y?2?0,x?5?0,y+2?0.則z=x2+【答案】36【解析】由約束條件作出可行域,如圖1,即△ABC內(nèi)部及其邊界,其中,A(5,3),B(5,?2),C(0,?2).注意到,x2+y2的幾何意義是點P(x,y)到坐標原點距離的平方,于是,x2而x2+y2的最小值為:原點到直線x?y?PO2故所求為34+2=36.9．【2020年四川預賽】已知正實數(shù)x、y滿足1x+3y+12x+y=1.則x+y【答案】3+22【解析】由1=1x+3y+?x+y?(1+當x=4+2故x+y的最小值為3+22510．【2020年重慶預賽】若x、y為實數(shù),則|2x+y|,|x?y|、|1+y|這三個數(shù)中的最大數(shù)的最小值為 .【答案】12【解析】max{|2x+y|,|x?y|,|1+y|}?1?1=12當且僅當x=0,y=?1211．【2020年新疆預賽】不等式1+2x<3x【答案】(1,+∞)【解析】即(13)x+(23)x<1,令f(x)=(1312．【2019年江蘇預賽】設(shè)a,b∈1,2，則a2+b2【答案】5【解析】因為a,b∈1,2，所以2a?ba?2b≤0，展開得a且當a=1,b=2，或a=2,b=1時，a2所以a2+b13．【2019年江西預賽】a,b,c是互異正整數(shù),使得{a+b,b+c,c+a}=n2,(n+1)2,(n+2)2,其中【答案】1297【解析】設(shè)a>b>c,由于(a+b)+(b+c)+(c+a)=2(a+b+c)為偶數(shù),所以三個連續(xù)平方數(shù)n2,(n+1)2,(n+2)2中有兩個奇平方數(shù),一個偶平方數(shù),于是n若n=3,則n2,(n+1)2,(n+2)2=3另一方面,最大平方數(shù)a+b=52,導致若n=5,據(jù)n2,(n+1)2,(n+2)2=514．【2019年內(nèi)蒙古預賽】函數(shù)f(x)=16+6x?x2+36x?68?【答案】6【解析】f(x)=(x+2)(8?x)+(x?2)(34?x)由柯西不等式得:f(x)≤(x+2)+(34?x)當x?28?x=34?x15．【2019年上海預賽】若直線ax-by+2=0(a、b>0)與函數(shù)y=cx+2+2(c>0,c≠1)的圖像均恒過同一個定點,則1a+【答案】5【解析】顯然,函數(shù)y=cx+2+2據(jù)題目條件有：?2a?3b+2=0?b=?由(a+(1?a))?1故其最小值為5216．【2019年上海預賽】已知x、y∈[0,+∞).則x3+y3?5xy【答案】?【解析】設(shè)x+y=t由于x3+y又(x+y)2≥4xy,故x3令f(t)=t3-5t2,則f'再令f'(t)=0,可求得t=0或由于x、y∈[0,+∞),于是,不難分析出當t=103時,f(t)取到最小值故當x=y=53時,原式最小值為?17．【2019年新疆預賽】已知x,y,z是正數(shù)且滿足x+y+xy=8y+z+yz=15z+x+zx=35，則x+y+z+xy= 【答案】15【解析】由x+y+xy=8知x+y+xy+1=9即1+x1+y=9.同理可得(1+y)(1+z)=16(1+z)(1+x)=36. 結(jié)合(1)和(2)可得1+x1+y1+z=3×4×6.由(1)和(3)可知z=7.同理可得x=72和y=1.從而18．【2019年北京預賽】整數(shù)a,b,c滿足a+b+c=2,且S=2a+bc2b+ca2c+ab>200,那么S的最小值是【答案】256【解析】因為a+b+c=2,所以S===a?2因為a+b+c=2,a,b,c是整數(shù),所以a,b,c中至少有一個是偶數(shù),因此S為偶數(shù),且已知S>200,所以S≥162=256.而當a=4,b=0,c=?2時,S=256.所以S19．【2019年廣西預賽】已知yz≠0,且集合{2x,3z,xy}也可以表示為{y,2x2,3xz},則x= .【答案】1【解析】顯然x≠0①2x=y?xy=2②2x=2x③2x=3xz?z=2或3z=2x綜上,可知x=1.20．【2019年廣西預賽】設(shè)函數(shù)y(x)=(1+x+1?x+2)(1?x2+1)(x∈[0,1]),則【答案】2+【解析】記a=?2=原式=(a+b+2)(ab+1)=當a=221．【2019年貴州預賽】平面區(qū)域S=(x,y)|x,y∈0,π2,【答案】π【解析】由于2=2?2=?cos(x+y)+12由x,y∈0,π2所以x+y≤2π3畫出(x,y)的可行域(圖中陰影部分),從而求得平面區(qū)域的面積為π222．【2018年江蘇預賽】設(shè)函數(shù)f(x)=1?4x【答案】(2,3)【解析】因為f(?x)=1?4?xf(x)=1?4x所以函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，（減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)）.由f(1?x2)+f(5x?7)<0，得f(5x?7)<f(x2?1)，所以故答案為：(23．【2018年貴州預賽】若實數(shù)a使得不等式x?2a+2x?a≥a2【答案】?【解析】設(shè)x=ka（k∈R），則ka?2a+即對?k∈R，恒有k?2+2k?1≥a≤故答案為：?24．【2018年浙江預賽】設(shè)f(x)=x+1+x【答案】3【解析】因為f(x)=由ff(x)+1=0得到f(x)=2，或由f(x)=?2，得一個解x=?1；由f(x)=0得兩個解x=?3，25．【2018年北京預賽】已知正整數(shù)x,y,z滿足xyz=22?x22?y22?z，且x+y+z<44,x2【答案】926【解析】由已知可知x,y,z均為小于22的正整數(shù)，由題設(shè)等式得2xyz=22從而11xyz，所以x,y,z不妨設(shè)x=11，由題設(shè)等式得y+z=22，由于y,z都是正整數(shù)，又y2易知，當y=z=11時，y2+z當y?z=21?1=20時，y所以M+N=563+363=926.26．【2018年重慶預賽】已知復數(shù)z的模為1，則|z?4|【答案】17【解析】解：在復平面內(nèi)，設(shè)A(4,0)、問題轉(zhuǎn)化為求|PA|2+|PB||PA=27+10由于α∈R，必存在α使sin故答案為：1727．【2018年陜西預賽】設(shè)n是正整數(shù)，當n>100時，n2【答案】49【解析】一方面，當n>100時，有0<n+3所以n2另一方面，n2故當n>100時，n228．【2018年湖南預賽】若不等式x>ax+【答案】18【解析】解法一：設(shè)x=t，則x=t2，且t∈(2,b)所以2、b是方程2+解得a=1解法二：設(shè)y1=x，y設(shè)兩函數(shù)圖象的交點為A、B，則A(4,22=4a+3解得a=1故答案為：(1).1829．【2018年湖南預賽】設(shè)實數(shù)a、b滿足不等式||a|?(a+b)|<|a?|a+b||，則a、b的正、負符號分別為_____.【答案】a負,b正【解析】由已知得[|a|?(a+b)]??a由于|x|≥x，因此得a<0??(?a)?|a+b|<[|a|?(a