空間向量及其線性運算

【考點梳理】考點一：空間向量的概念1．定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．2．長度或模：向量的大?。?．表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4．幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量考點二：空間向量的線性運算空間向量的線性運算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當λ＝0時，λa＝0運算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.考點三：共線向量1．空間兩個向量共線的充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.2．直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．考點四：共面向量1．共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要條件如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.【題型歸納】題型一：空間向量的概念1．（2024秋·全國·高二專題練習）下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（

）A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等C．若向量滿足，則D．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】相反向量指的是長度相等，方向相反的向量，故A錯誤；單位向量指的是模為1的向量，方向未定，故B錯誤；向量不能比較大小，故C錯誤；相等向量其方向必相同，故D正確；故選：D.2．（2023春·高二課時練習）給出下列命題：①將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓；②若空間向量滿足，則；③在正方體中，必有；④若空間向量滿足，，則；⑤空間中任意兩個單位向量必相等；其中假命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的定義，逐個命題進行判斷即可.【詳解】對于①，根據(jù)空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構(gòu)成一個球面，故①為假命題；對于②，向量相等即模相等和方向相同，故②為假命題；對于③，根據(jù)正方體的定義，上下底面的對角線必定相等，結(jié)合向量的方向，所以，，故③為真命題；對于④，根據(jù)向量相等的定義，明顯成立，故④為真命題.對于⑤，向量相等即模相等和方向相同，故空間中任意兩個單位向量必相等是假命題，故⑤為假命題故選：C3．（2023春·高二課時練習）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的個數(shù)是（

）①在同一條直線上的單位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方體中，與是相等向量；④在空間四邊形中，與是相反向量；⑤在三棱柱中，與的模一定相等的向量一共有3個A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的概念及性質(zhì)，正方體、三棱柱及空間四邊形的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合各選項的描述判斷正誤即可.【詳解】①錯誤，在同一條直線上的單位向量，方向可能相同，也可能相反，所以不一定相等；②正確，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；③正確，由正方體的性質(zhì)知：與的模相等，方向相同；④錯誤，空間四邊形中，與的模不一定相等，方向也不一定相同；⑤錯誤，三棱柱中與的模一定相等的向量是共5個.故選：A題型二：空間向量的線性運算（加減法）4．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在四面體OABC中，，，．點M在OA上，且滿足，N為BC的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的加法和減法的三角形法則得到．【詳解】如圖，連接，是的中點，，，，．故選：．5．（2023秋·高二課時練習）在三棱柱中，，若點為的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運算求解.【詳解】，為的中點，，故選：A.6．（2022秋·安徽馬鞍山·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，已知，，，，則（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】先用表示，然后由可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，因為，所以，故選：A.題型三：空間兩個向量共線的問題7．（2023·全國·高二專題練習）若空間中任意四點O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（

）A．P∈AB B．P?ABC．點P可能在直線AB上 D．以上都不對【答案】A【分析】由已知化簡可得，即可判斷.【詳解】因為m＋n＝1，所以m＝1－n，所以，即，即，所以與共線．又，有公共起點A，所以P，A，B三點在同一直線上，即P∈AB.故選：A.8．（2023·全國·高二專題練習）設(shè)向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三點共線，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)A，C，D三點共線，可得，則存在唯一實數(shù)，使得，再根據(jù)空間向量共線定理即可得解.【詳解】由，，得，因為A，C，D三點共線，所以，則存在唯一實數(shù)，使得，則，解得.故選：C.9．（2022春·四川南充·高二閬中中學?？茧A段練習）在平行六面體中，點P在上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的法則進行求解即可.【詳解】因為，，所以有，因此，故選：C題型四：空間共面向量定理10．（2023春·高二單元測試）在正四面體中，點O是的中心，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運算法則，準確運算，即可求解.【詳解】因為四面體是正四面體，則每個面都是正三角形，所以.又由，所以.故選：B.11．（2023·全國·高二專題練習）下列條件能使點與點一定共面的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)空間共面向量定理以及其結(jié)論一一判斷各選項，即可得答案.【詳解】設(shè)，若，則點共面．對于A，，由于，故A錯誤；對于B，，由于，故B錯誤；對于C,，由于，故C錯誤；對于D，，由于，得共面，故D正確.故選：D.12．（2023·全國·高二專題練習）若點平面，且對空間內(nèi)任意一點滿足，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件得出，，，四點共面，再根據(jù)即可求出的值．【詳解】平面，，，，四點共面，又，，解得．故選：D．或者根據(jù)平面，，，，四點共面，則存在實數(shù)，使得，即，又，所以解得故選：D題型五：空間向量的綜合問題13．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學?？茧A段練習）如圖，已知空間四邊形，連接，，，，分別是，，的中點，請化簡：(1)；(2)，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量.【答案】(1)(2)，答案見解析【分析】根據(jù)向量的線性運算直接分別化簡.【詳解】（1）；（2）如圖所示，連接，因為，，分別是，，的中點，所以，，所以.14．（2023·全國·高二專題練習）已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)題意，由向量的線性運算可得，即可得到證明.【詳解】，，，，，因為、無公共點，故.15．（2023秋·全國·高二隨堂練習）在正四面體中，點在平面內(nèi)的投影為，點是線段的中點，過的平面分別與，，交于，，三點.(1)若，求的值；(2)設(shè)，，，求的值.【答案】(1)0(2)6【分析】（1）為正的中心，利用空間向量的線性運算，把用表示，可求的值；（2）根據(jù)已知條件，把用表示，由，，，共面，可求的值.【詳解】（1）正四面體中，在底面內(nèi)的投影為正的中心，∴，∴，，，∴.（2）因為，且，，，所以，即，因為，，，共面，所以，即.【雙基達標】一、單選題16．（2023秋·全國·高二期中）化簡所得的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量減法原則，以及相反向量的定義，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量減法原則，，而，故.故選：C.17．（2023春·福建寧德·高二?？茧A段練習）直三棱柱中，若，，，則（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量對應(yīng)線段位置關(guān)系，及向量加減的幾何意義用表示出即可.【詳解】根據(jù)向量的加減法運算法則得：.故選：A18．（2023秋·全國·高二隨堂練習）給出下列命題：①零向量沒有方向；②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；③若空間向量滿足，則；④若空間向量滿足，則；⑤空間中任意兩個單位向量必相等．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．4 B．3C．2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的有關(guān)定義判斷可得答案.【詳解】零向量的方向是任意的，但并不是沒有方向，故①錯誤；當兩個空間向量的起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等．但兩個向量相等，起點和終點不一定相同，故②錯誤；根據(jù)相等向量的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量與的方向不一定相同，故③錯誤；命題④顯然正確；對于命題⑤，空間中任意兩個單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯誤．故選：D.19．（2023·全國·高二專題練習）已知，，，四點在平面內(nèi)，且任意三點都不共線，點在外，且滿足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的共面定理可求的值.【詳解】因為點在外，由空間向量的共面定理可知且；由題意，所以；所以，解得.故選：B.20．（2023·全國·高二專題練習）四面體中，，是的中點，是的中點，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用空間向量的基底表示，再利用向量線性運算求解即可.【詳解】因為，所以，因為Q是的中點，所以，因為M為PQ的中點，所以，故選：C.21．（2021秋·高二課時練習）如圖，在正方體中，化簡向量表達式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)空間向量的線性運算求解即可.【詳解】（1）.（2）因為，，所以.22．（2023秋·全國·高二隨堂練習）如圖所示，四面體中，G，H分別是的重心，設(shè)，點D，M，N分別為BC，AB，OB的中點．(1)試用向量表示向量；(2)試用空間向量的方法證明MNGH四點共面．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合空間向量的線性運算即可求出結(jié)果；（2）證得，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因為，而，又D為的中點，所以，所以．（2）因為，，所以，，所以．所以四點共面．【高分突破】一、單選題23．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二尚志市尚志中學?？茧A段練習）在四面體中，，點在棱上，且，為中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的線性運算可得答案.【詳解】點在線段上，且，為中點，，，．故選：B．24．（2023·上海·高二專題練習）已知是空間中不共線的三個點，若點滿足，則下列說法正確的一項是（

）A．點是唯一的，且一定與共面B．點不唯一，但一定與共面C．點是唯一的，但不一定與共面D．點不唯一，也不一定與共面【答案】A【分析】由，可得，從而有共面，四點共面，再結(jié)合不共線，即可得答案.【詳解】由空間向量的知識可知共面的充要條件為存在實數(shù)，使，因為，所以，所以共面，所以四點共面，因為，所以，所以點唯一.故選：A.25．（2024秋·全國·高二專題練習）如圖，設(shè)為平行四邊形所在平面外任意一點，為的中點，若，則的值是（

）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運算的幾何表示，得出，結(jié)合條件即可得出答案.【詳解】為的中點，，四邊形為平行四邊形，，.，，，，故選：B.26．（2023·全國·高二專題練習）設(shè)向量不共面，空間一點滿足，則四點共面的一組數(shù)對是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間共面向量定理的推論即可驗證得到答案.【詳解】空間一點滿足，若四點共面，則選項A：.判斷錯誤；選項B：.判斷錯誤；選項C：.判斷正確；選項D：.判斷錯誤.故選：C27．（2023·全國·高二專題練習）已知點在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點，實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)共面向量的性質(zhì)，結(jié)合配方法進行求解即可.【詳解】因為，點在確定的平面內(nèi)，所以，即，所以，所以當時，的有最小值2．故選：D二、多選題28．（2023·全國·高二專題練習）在下列條件中，使M與A，B，C不一定共面的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)各項中向量之間的線性關(guān)系，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷M與A，B，C是否存在不共面的情況即可.【詳解】A：，如下圖，，由的關(guān)系不定，則不一定在面上，滿足；B：，如下圖，此時滿足上式，此時，M與A，B，C不共面，滿足；C：因為，所以，所以M，A，B，C共面，不滿足.D：，如下圖，此時，M與A，B，C不共面，滿足；故選：ABD29．（2023·全國·高二專題練習）若，，，為空間不同的四點，則下列各式為零向量的是（

）①；②；③；④.A．① B．② C．③ D．④【答案】BD【分析】根據(jù)向量加法，減法運算法則，即可求解判斷.【詳解】①中，原式，不符合題意；②中，原式，符合題意；③中，原式，不符合題意；④中，原式，符合題意.故選：BD30．（2023春·高二單元測試）下列判斷錯誤的是（

）A．是向量不共線的充要條件B．在空間四邊形中，＋＋0C．在棱長為的正四面體中，·D．若向量共面，則它們所在的直線也共面【答案】ACD【分析】可舉反例，來判定A選項；以為基底，將其他向量轉(zhuǎn)化為用基底來表示，B選項可判定；利用向量數(shù)量積的定義即可求出，C選項可判定；向量共面，能平移到同一平面即可.故D選項可判定.【詳解】當共線向量的模分別是2,3，滿足，故A選項錯誤；在空間四邊形ABCD中，，故B選項正確；在棱長為的正四面體中，，故C選項錯誤;若向量共面，則它們所在的直線在某個平面內(nèi)或者平行于某個平面，故D選項錯誤.故選：ACD.31．（2023·全國·高二專題練習）下列命題中是真命題的為（

）A．若與共面，則存在實數(shù)，使B．若存在實數(shù)，使向量，則與共面C．若點四點共面，則存在實數(shù)，使D．若存在實數(shù)，使，則點四點共面【答案】BD【分析】根據(jù)平面向量基本定理以及空間向量基本定理，可知B、D項正確；若共線，則A結(jié)論不恒成立；若三點共線，則C項結(jié)論不恒成立.【詳解】對于A項，如果共線，則只能表示與共線的向量.若與不共線，則不能表示，故A項錯誤；對于B項，根據(jù)平面向量基本定理知，若存在實數(shù)，使向量，則與共面，故B項正確；對于C項，如果三點共線，則不論取何值，只能表示與不在所在的直線上，則無法表示，故C項錯誤；對于D項，根據(jù)空間向量基本定理，可知若存在實數(shù)，使，則共面，所以點四點共面，故D項正確.故選：BD.32．（2022秋·遼寧營口·高二校考階段練習）給出下列命題，其中是假命題的是（

）A．若A，B，C，D是空間中的任意四點，則有B．是，共線的充要條件C．若，共線，則D．對空間中的任意一點O與不共線的三點A，B，C，若，則P，A，B，C四點共面【答案】BCD【分析】根據(jù)向量的加法運算、共線與共面的條件，即可判斷正誤.【詳解】解：由向量的加法運算，顯然A是真命題；若，共線，則（同向）或（反向），故B是假命題；若，共線，則直線AB，CD平行或重合，故C是假命題；只有當時，P，A，B，C四點才共面，故D是假命題．故選：BCD．三、填空題33．（2023·全國·高二專題練習）已知三點共線，為空間任意一點，，則.【答案】【分析】根據(jù)向量共線和平面向量基本定理可求出結(jié)果.【詳解】因為三點共線，∴，即，，又，所以，所以.故答案為：.34．（2023·全國·高二專題練習）設(shè)，是兩個不共線的空間向量，若，，，且，，三點共線，則實數(shù)的值為.【答案】/【分析】由列方程，化簡求得的值.【詳解】∵，，，∴，又∵A，C，D三點共線，∴，∵，不共線，∴，∴，∴.故答案為：35．（2023·全