立體幾何中的截面(解析版)

立體幾何中的截面(解析版)【基本知識】在立體幾何中，截面是指用平面截取幾何體得到的平面圖形，分為橫截、豎截、斜截三種方式。不同的立體圖形通過不同的截面方式得到的截面圖形也不同?！净炯寄堋考寄?：利用線面平行和垂直的定理和性質(zhì)求解截面問題；技能2：利用線面垂直的定理和性質(zhì)求解正方體中的截面問題；技能3：利用猜想法和建立函數(shù)模型求解最值問題。例如，對于正六面體的斜截面，不可能出現(xiàn)直角三角形、鈍角三角形、直角梯形和正五邊形等圖形。在求解正方體中的截面問題時(shí)，可以利用線面垂直的性質(zhì)來確定截面的形狀。在求解最值問題時(shí)，可以運(yùn)用特殊圖形和幾何體的特征，或者建立函數(shù)模型來求解。例如，對于一個容積為1立方單位的正方體容器，通過棱AB、BB1及對角線B1C的中點(diǎn)各有一小孔E、F、G，可以求解該容器可裝水的最大容積。分析本題，最大容積的解法是錯誤的，因?yàn)閷Α叭萜魇强梢匀我夥胖谩钡睦斫獠粔?。正確的解法是當(dāng)水平面調(diào)整為圖（2）△EB1C時(shí)容器的容積最大，最大容積為V=1/3，選C。正四棱錐P-ABCD的底面正方形邊長是3，O是P在底面上的射影，PO=6，Q是AC上的一點(diǎn)，過Q且與PA、BD都平行的截面為五邊形EFGHL，求該截面面積的最大值。如圖所示，連接AC、BD，設(shè)截面與正四棱錐P-ABCD的底面相交于EL，AC與EL相交于Q點(diǎn)。由BD//截面EFGHL得LE//BD，AP//截面EFGHL，得AP//QG。那么，EL必定分別與AB、AD相交于E、L，否則，截面將是三角形。則AP//EF，AP//LH。在正四棱錐P-ABCD中，BD⊥AP，由LE//BD，AP//QG，∠GQE是異面直線BD與PA所成角，則QG⊥EL，所以，GFEQ和GHLQ是兩個全等的直角梯形。設(shè)AE=x（x<3），AP=3x/2+6，EF=3-x，AQ=3-x/2，由AP//QG得QG=(9-x)/2。于是，S(EFGHL)=2×[1/2×AQ×(EF+GH)+1/2×QG×(EF-GH)]=x(9-x/2)，當(dāng)x=2時(shí)，截面EFGHL的面積取得最大值9。能否用一個平面去截一個正方體，使得截面為五邊形？進(jìn)一步，截面能否為正五邊形呢？如圖所示，我們可以用一個平面截一個正方體ABCD-A1B1C1D1，使得截面為一個凸五邊形。點(diǎn)I是B1B延長線上一點(diǎn)，使得IB1=AF11=√2/2。則截面BB1E為A1D1的平行四邊形，因此，截面為五邊形。但是，正五邊形的內(nèi)角和為540°，而正方體的每個面的內(nèi)角和為360°，因此無法用一個平面截一個正方體，使得截面為正五邊形。所以O(shè)是拋物線的焦點(diǎn).又因?yàn)镻AB是等邊三角形，所以PE=2/√3，OE=1，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即焦距為PE-OE=2/√3-1，化簡得到答案為D選項(xiàng)：1/√3-1.二、填空題1．【福建省福州市2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷】如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，E為棱D1D上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，過點(diǎn)B,E,F的平面截正方體所得的截面的形狀不可能是______邊形（填寫一個漢字）.【答案】六【解析】與單選題1相同，截面不可能是六邊形，填寫一個漢字“六”即可.2．【江蘇省蘇州市2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷】如圖，圓錐PO，軸截面PAB是邊長為2的等邊三角形，過底面圓心O作平行于母線PA的平面，與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)E的距離為______.【答案】1/√3-1【解析】與單選題2相同，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，焦距為PE-OE=2/√3-1，化簡得到答案為1/√3-1.因?yàn)?\overline{OP}\perp$底面$ABC$，所以$\overline{OP}\perp\overline{OC}$。又因?yàn)?\overline{OC}\perp\overline{OE}$，$\overline{OP}$、$\overline{OE}$在平面$PAB$中，且$\overline{OP}\cap\overline{OE}=\varnothing$，所以$\overline{OC}\perp$平面$PAB$，因此$\overline{OC}\perp\overline{OB}$。在平面$CED$內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為$y=2px(p>0)$，點(diǎn)$C(1,1)$，則$1=2p$，$p=\frac{1}{2}$，因此該拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)$E$的距離為$\frac{1}{4}$。一個棱長為$2$的正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖所示。其截面是等腰三角形$ABC$，由三視圖可知幾何體是正方體在一個角上截去一個三棱錐。由于正方體的棱長為$2$，所以$AC=BC=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{2}\cdot2$，因此$AB$邊上高為$3$，所以$\mathrm{S}_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot\sqrt{2}\cdot2=6$。在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點(diǎn)$E$、$F$、$G$分別是棱$AB$、$BC$、$B_1C_1$的中點(diǎn)。過$E$、$F$、$G$三點(diǎn)作該正方體的截面，則在平面$B_1DD_1B$內(nèi)存在直線與平面$EFG$平行，因?yàn)?B_1O\parallel$平面$EFG$，在平面$B_1DD_1B$內(nèi)存在直線與平面$EFG$垂直，因?yàn)?BD_1\perp$平面$EFG$。因?yàn)?EG\parallelAB_1$，$FG\parallelB_1C$，所以平面$EFG\parallel$平面$ABC$。易得$\triangleEFAC$，$\triangleA_1B_1C$為等邊三角形，因此直線$AB_1$與$AC$所成角為$60^\circ$，即直線$AB_1$與$EF$所成角為$60^\circ$，因此選項(xiàng)D不正確，故選D。某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為$4\sqrt{3}$的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個截面圓的周長為$4\pi$，則該球的半徑是$\sqrt{6}$。設(shè)截面圓半徑為$r$，球的半徑為$R$，則球心到某一截面的距離為正方體棱長的一半即$2\sqrt{3}$，根據(jù)截面圓的周長可得$4\pi=2\pir$，得$r=2$，因此$R^2=r^2+4\cdot3=16$，$R=\sqrt{16}=4$，因此選B。美學(xué)四大構(gòu)件包括史詩、音樂、造型（如繪畫、建筑等）和數(shù)學(xué)。在學(xué)習(xí)繪畫方面，素描是必要的一步，它包括明暗素描和結(jié)構(gòu)素描。學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描的重要一步。在畫“切面圓柱體”（用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體）時(shí)，某中學(xué)2018級某同學(xué)發(fā)現(xiàn)“切面”是一個橢圓。如果“切面”所在平面與底面成45度角，則該橢圓的離心率為2。解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，橢圓的長軸為2a，短軸為2b，則有2r^2=b^2+c^2，即b^2=4-r^2。因此，離心率e=sqrt(1-b^2/a^2)=sqrt(1-(4-r^2)/a^2)=sqrt((a^2-4+r^2)/a^2)。由cos45度=1/sqrt(2)，可知a^2=8，代入得e=sqrt((8-r^2)/8)。因?yàn)閑=2，所以得到r=2sqrt(2)。因此，該橢圓的離心率為2時(shí)，其短軸為2r=4sqrt(2)，所以答案為B。已知三棱錐V-ABC，點(diǎn)P是VA的中點(diǎn)，且AC=2，VB=4，過點(diǎn)P作一個截面，使截面平行于VB和AC，則截面的周長為6。解析：連接PD,DE,EF,PF，由題得PD||VB,DE||AC，因此PD||平面DEFP，DE||平面DEFP。又因?yàn)镻D,DE∈平面DEFP，而VB,AC不在平面DEFP內(nèi)，所以VB||平面DEFP，AC||平面DEFP，因此截面DEFP就是所作的平面。由于PD||VB，EF||VB，PD=VB，EF=VB，所以四邊形DEFP是平行四邊形。因?yàn)閂B=4，AC=2，所以PD=FE=2，DE=PF=1，所以截面DEFP的周長為2+2+1+1=6。因此答案為D。已知球O是正四面體A-BCD的外接球，BC=2，點(diǎn)E在線段BD上，且BD=3BE，過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的最小值是π。解析：設(shè)平面α為過E的球O的截面，則當(dāng)OE⊥平面α?xí)r，截面積最小。設(shè)截面半徑為r，球的半徑為R，則r^2=R^2-d^2。因?yàn)檎拿骟w棱長為a，設(shè)過點(diǎn)A垂直于平面BCD的直線交平面BCD于點(diǎn)M，則DM=3a，AM=h，OM=x，則x=h-R。因?yàn)锽D=3BE，所以DE=BE，因此DM=2DE=2r。又因?yàn)锽M=2/3BD=2/3*3BE=2BE，所以BM=2√2，因此h=2√2-R。代入得r^2=R^2-(2√2-R)^2，化簡得r^2=2R(R-2√2)。因?yàn)榻孛鎴A面積為πr^2，所以最小值為πR(R-2√2)，當(dāng)R=2√2時(shí)，取最小值π。因此答案為A。2a，ABACa3，點(diǎn)D在三角形ABC上，且ADa，點(diǎn)E在三棱錐PABC的底面上，且AE2a.若三角形ADE與三角形ABC的面積之比為1:2，則三棱錐PABC的體積為（）A．a(chǎn)33B．a(chǎn)36C．a(chǎn)32D．a(chǎn)34【答案】B【解析】如圖所示，連接AP,QE，設(shè)三棱錐PABC的高為h，由三角形ABC的面積公式得ha2/2，由三角形ADE與三角形ABC的面積之比為1:2得DEBC/2a3/2，由Q為BC中點(diǎn)得EQa3/2，由AE2a得AQa3，由勾股定理得PQa，所以三角形APQ為等腰直角三角形，即APa2，由勾股定理得PEa6，所以AE2AP2PE2，即三角形APE為直角三角形，由此得AD2DE2AE27a2/2，所以三棱錐PABC的體積為V1/3Sha3/6.故選：B。截面可以看作是正方形的一部分，如圖所示：因?yàn)榻孛姹仨毰c四面體的每一個面都相交，所以截面的邊界必須經(jīng)過四面體的頂點(diǎn)A、B、C、D，且頂點(diǎn)A、B、C、D必須兩兩相鄰。又因?yàn)槔忾L均為4，所以正方形的邊長為2，四面體的高為$\sqrt{3}$，所以平面$\alpha$與四面體的高的交點(diǎn)為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。設(shè)截面的形狀如圖，其中$x$表示正方形邊長的一半，$y$表示截面與底面的距離，$h$表示截面的高。由相似三角形可得：$$\frac{y}{2}=\frac{x}{4},\quad\frac{h}{y}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2-x},\quad\frac{h}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$解得$x=\frac{4\sqrt{3}-6}{9},y=\frac{2\sqrt{3}-3}{9},h=\frac{4\sqrt{3}-6}{9}$，所以截面面積為$S=\frac{1}{2}h\cdot2x=\frac{4\sqrt{3}-6}{9}$。因?yàn)榻孛婷娣e最大值為$\frac{4}{3}$，所以正確答案為$\frac{4}{3}\cdot\frac{4\sqrt{3}-6}{9}=\frac{4\sqrt{3}-6}{9}$，故選B。1.由于EF⊥α，故截面為平行四邊形MNKL，且KL+KN=4，又KL//BC，KN//AD，且AD⊥BC，∴KN⊥KL，∴S(MNKL)=KN+KL/2≤4/2=2，當(dāng)且僅當(dāng)KL=KN=2時(shí)取等號，故選B。2.仿照“Dandelin雙球”模型，人們借助圓柱內(nèi)的兩個內(nèi)切球完美地證明了平面截圓柱的截面為橢圓面。如圖，底面半徑為1的圓柱內(nèi)兩個內(nèi)切球球心距離為4，現(xiàn)用與兩球都相切的平面截圓柱所得到的截面邊緣線是一橢圓，則該橢圓的離心率為3/2。3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為2，邊AB的中點(diǎn)為M，過M且垂直BD1的平面被正方體所截的截面面積為3/2。4.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn)，設(shè)過P、Q、R的截面與面ADD1的交線段為MN，與面ABC的交線段為KL，則MN/KL的值為1/√2。在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接AB1，AD，B1C1的中點(diǎn)分別為Q，R，P，連接EP，F(xiàn)Q，RQ，根據(jù)正方體的特征，易知，若連接PG，EF，RQ，則這三條線必相交于正方體的中心，又因?yàn)镚R//EF//QP，所以P，Q，R，G，F(xiàn)，E六點(diǎn)必共面，即為過P，Q，R的截面；所以EP即為直線m，F(xiàn)Q即為直線l；連接AB1，AD，B1C1，因?yàn)镋P//AB1，F(xiàn)Q//AD，所以∠B1AD即為異面直線EP與FQ所成的角，又因?yàn)檎襟w的各面對角線都相等，所以AB1D1為等邊三角形，因此∠B1AD=60°。在立體幾何中，用一個平面去截一個幾何體得到的平面圖形叫截面，如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是棱B1B、B1C中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱CC1的中點(diǎn)，則過線段AG且平行于平面A1EF的截面圖形為等腰梯形AHGD1，其中H為BC的中點(diǎn)。如圖四面體ABCD-A1BCD中，AD=BC=2，AD⊥BC，截面四邊形EFGH滿足EF//BC，F(xiàn)G//AD，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為3。其中，①四邊形EFGH的周長為定值；②四邊形EFGH的面積為定值；③四邊形EFGH為矩形；④四邊形EFGH的面積有最大值1?！窘馕觥扛鶕?jù)正三棱錐的性質(zhì)可知，正三棱錐的高是側(cè)棱長的$\sqrt{3}$倍，設(shè)高為$h=\sqrt{3}\cdot\dfrac{2}{3}AB=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$，則正三棱錐的外接球半徑為$$R=\sqrt{h^2+(\dfrac{BC}{2})^2}=\sqrt{\dfrac{4}{3}+\dfrac{9}{4}}=\dfrac{\sqrt{21}}{2}$$設(shè)$O$為球心，則$OE=R$，$BE=DE=\dfrac{1}{2}BD$，由勾股定理可得$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\dfrac{\sqrt{21}}{2}\cdot\sqrt{1-\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt{21}}{3}$，則$OE^2=R^2-OD^2=\dfrac{8}{9}$。因此，過點(diǎn)$E$作球$O$的截面為圓，圓的面積為$S=\piOE^2=\dfrac{8\pi}{9}$，故選$\text{(D)}$。【解析】(1)由勾股定理，$PB=\sqrt{PA^2-AB^2}=4\sqrt{10}$，$PC=\sqrt{PA^2-AC^2}=4\sqrt{5}$。設(shè)球心為$O$，半徑為$r$，則$OP=6+r$，$OB=\sqrt{PB^2+BO^2}=r\sqrt{101}$，$OC=\sqrt{PC^2+CO^2}=r\sqrt{21}$。根據(jù)球面積公式，有$$S=4\pir^2=4\pi(6+r)^2+2\pir^2(101+21)=26\pir^2+808\pir+288\pi.$$(2)過$D$作平面$PBC$的截面為圓，設(shè)圓心為$E$，半徑為$h$。由勾股定理，$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=3\sqrt{14}$，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=2\sqrt{3}$。則$$BE=\sqrt{BD^2+BO^2}=r\sqrt{197},\quadCE=\sqrt{CD^2+CO^2}=r\sqrt{27}.$$根據(jù)圓的面積公式，有$$S'=\pih^2=\pi\left(r^2-\frac{(BE+CE)^2-BC^2}{4}\right)=\pi\left(r^2-\frac{r^2(224\sqrt{3}-50\sqrt{197})}{4}\right)=\pi\left(\frac{50\sqrt{197}-56\sqrt{3}}{4}\right)r^2.$$令$f(r)=S'$，則$f'(r)=\pi\left(1-\frac{7\sqrt{197}-7\sqrt{3}}{2}\right)r$，當(dāng)$r=\frac{2}{\sqrt{197}-\sqrt{3}}$時(shí)，$f'(r)=0$，此時(shí)$S'$取得最小值。代入計(jì)算得$S'=\frac{50\sqrt{197}-56\sqrt{3}}{4}$。因此，答案為：(1)$26\pir^2+808\pir+288\pi$；(2)$\frac{50\sqrt{197}-56\sqrt{3}}{4}$。的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱BB1的中點(diǎn)，且EF平面ABCD，F(xiàn)G平面ADHE，EG平面BFHD，且AE=2，AD=4，求以下各題：（1）平面EFG與平面ABCD的夾角；（2）長方體ABCDA1B1C1D1的體積；（3）三棱錐CEFG的體積?！敬鸢浮浚?）45°；（2）32；（3）2【解析】（1）因?yàn)镋F平面ABCD，F(xiàn)G平面ADHE，所以EF與FG在平面ABCD上的投影互相垂直，即平面EFG與平面ABCD的夾角為直角，所以夾角的余弦值為0，即夾角為45°。（2）長方體ABCDA1B1C1D1的體積為V=ABCD面積×AD=2×4×2×4=32。（3）由于EF平面ABCD，F(xiàn)G平面ADHE，EG平面BFHD，所以三棱錐CEFG的高為棱CC1的中線，即高為1，底為三角形EFG的面積，根據(jù)海倫公式可得EFG的面積為SEFG=√(s(s-EF)(s-EG)(s-FG))=