第三章系統(tǒng)時間響應(yīng)分析

第三章系統(tǒng)時間響應(yīng)分析1第1頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月引言在建立系統(tǒng)的數(shù)學模型（微分方程與傳遞函數(shù)）之后，就可以采用不同的方法，通過系統(tǒng)的數(shù)學模型來分析系統(tǒng)的特性，時間響應(yīng)分析（也稱之為：時域分析）是重要的方法之一。時域分析——給系統(tǒng)施加一輸入信號，通過研究系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）來評價系統(tǒng)的性能。如何評價一個系統(tǒng)性能的好壞，有一些動態(tài)和穩(wěn)態(tài)的性能指標可以參考。第2頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1時間響應(yīng)及其組成例1按照微分方程解的結(jié)構(gòu)理論，這一非齊次常微分方程的解由兩部分組成，即：是與其對應(yīng)的齊次微分方程的通解是其一個特解123第3頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1時間響應(yīng)及其組成式代入式得：3把1化簡得：于是式得完全解為：14為了求得系數(shù)A,B現(xiàn)將上式對t求導(dǎo)。代入式即可得到系數(shù)A、B。如下：455第4頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1時間響應(yīng)及其組成由輸入引起的自由響應(yīng)由輸入引起的強迫響應(yīng)系統(tǒng)的初態(tài)為0，僅有輸入引起的響應(yīng)。由初始條件引起的自由響應(yīng)第5頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月此方程的解為通解（即自由響應(yīng)）與特解（即強迫響應(yīng)）所組成，即：3.1時間響應(yīng)及其組成第6頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1時間響應(yīng)及其組成這是因為：在定義系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時，由于已指明了系統(tǒng)的初態(tài)為零，故取決于系統(tǒng)的初態(tài)的零輸入響應(yīng)為零。第7頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1時間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）第8頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1時間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）3.1時間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）第9頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1時間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）第10頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1時間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）第11頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1時間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）第12頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1時間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）第13頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2典型輸入信號控制系統(tǒng)性能的評價分為動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標兩大類，為了求解系統(tǒng)的時間響應(yīng)必須了解系統(tǒng)輸入信號（即外作用）的解析表達式（也就是確定性信號），然而，在一般情況下，控制系統(tǒng)的外加輸入信號具有隨機性而無法預(yù)先確定，因此需要選擇若干確定性信號作為典型輸入信號。何謂確定性信號呢？就是其變量和自變量之間的關(guān)系能夠用某一確定性函數(shù)描述的信號。第14頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月典型輸入信號

1.階躍函數(shù)

式中,R為常數(shù),當R＝1時,xi(t)=1(t)為單位階躍函數(shù)，其拉氏變換的表達式為：3.2典型輸入信號階躍函數(shù)的時域表達式為:第15頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2典型輸入信號2.斜坡函數(shù)(等速度函數(shù))

斜坡函數(shù),也稱等速度函數(shù)(見圖)，其時域表達式為

式中,

R為常數(shù)。當R＝1,xi(t)=t為單位斜坡函數(shù)。其拉氏變換的表達式為：

通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)因為dx(t)/dt=R,所以階躍函數(shù)為斜坡函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)。第16頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2典型輸入信號3.拋物線函數(shù)（等加速度函數(shù)）

拋物線函數(shù)(見圖)的時域表達式為

式中，R為常數(shù)。當R＝1時,

xi(t)=t2/2為單位加速度函數(shù)。其拉氏變換的表達式為：通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)因為dxi(t)/dt=Rt,所以斜坡函數(shù)為拋物線函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)。第17頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2典型輸入信號4.脈沖函數(shù)

脈沖函數(shù)(見圖)的時域表達式為

式中，h稱為脈沖寬度,脈沖的面積為1。若對脈沖的寬度取趨于零的極限,則有稱此函數(shù)為單位脈沖函數(shù)(見圖)。其拉氏變換的表達式為：

第18頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2典型輸入信號5.正弦函數(shù)

正弦函數(shù)(如圖所示）的時域表達式為

式中,

A為振幅,

ω為角頻率。當A＝1時，其拉氏變換的表達式為：

6.隨機信號第19頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)：能用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。（也稱為一階系統(tǒng)的特征參數(shù)），表達了一階系統(tǒng)本身的與外界作用無關(guān)的固有特性。第20頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月如果將該指數(shù)曲線衰減到初值的2％（或5％）之前的過程定義為過渡過程，則可算得相應(yīng)的時間為4T（或3T）。稱此時間（4T/3T）為過渡過程時間或調(diào)整時間，記為ts。由此可見，系統(tǒng)得時間常數(shù)T愈小，則過渡過程的持續(xù)時間愈短。這表明系統(tǒng)的慣性愈小，系統(tǒng)對輸入信號反應(yīng)的快速性能愈好。（注意，在實際應(yīng)用時，理想的脈沖信號是不可能得到的。）3.3一階系統(tǒng)第21頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3一階系統(tǒng)幾點重要說明：1.在這里有兩個重要的點：A點與0點（都與時間常數(shù)T有密切的關(guān)系）。2.系統(tǒng)的過渡過程時間ts。第22頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)G（s）的實驗求法：通過以上分析可知，若要求用實驗方法求一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，（1）我們就可以先對系統(tǒng)輸入一單位階躍信號，并測出它的響應(yīng)曲線。（2）然后從響應(yīng)曲線上找出0.632xou（∞）處所對應(yīng)點的時間t。這個t就是系統(tǒng)的時間常數(shù)T?；蛲ㄟ^找到t＝0時xou（t）的切線斜率，這個斜率的倒數(shù)也是系統(tǒng)的時間常數(shù)T。（3）再參考（一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)），求出w（t）。（4）最后再結(jié)合G（s）＝L[w(t)]，求得G（s），即得到一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第23頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3一階系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分量t－T也是一個斜坡函數(shù)，與輸入信號斜率相同，但在時間上滯后一個時間常數(shù)T。對于一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)，，說明一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)在過渡過程結(jié)束后存在常值誤差，其值等于時間常數(shù)T。（跟蹤單位斜坡輸入信號時，穩(wěn)態(tài)誤差為T。）第24頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月對比一階系統(tǒng)的單位響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)和單位斜坡響應(yīng)，可知道他們之間的關(guān)系為：通過觀察其輸入信號也有同樣的關(guān)系。因此，在此一并指出：一個輸入信號導(dǎo)數(shù)的時域響應(yīng)等于該輸入信號時域響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；一個輸入信號積分的時域響應(yīng)等于該輸入信號時域響應(yīng)的積分?；谏鲜鲂再|(zhì)，對于線性定常系統(tǒng)，只需討論一種典型信號的響應(yīng)，就可以推知另一種信號。3.3一階系統(tǒng)第25頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3一階系統(tǒng)例1：已知某線性定常系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)為：試求其單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。解：因為單位階躍函數(shù)、單位脈沖函數(shù)分別為單位斜坡函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，故系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)函數(shù)分別為單位斜坡響應(yīng)的一階和二階導(dǎo)數(shù)。即：單位階躍響應(yīng)為：單位脈沖響應(yīng)為：第26頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3一階系統(tǒng)例2:一階系統(tǒng)如圖所示，試求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間ts，如果要求ts=0.1秒，試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)如何調(diào)整？解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：這是一個典型一階系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時間ts=3T=0.3秒。若要求調(diào)節(jié)時間ts=0.1秒，可設(shè)反饋系數(shù)為α，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：0.1－Xo(s)Xi(s)第27頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月例3：已知某元部件的傳遞函數(shù)為：，KH-Xo(s)Xi(s)K0解：原系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間為引入負反饋后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：若將調(diào)節(jié)時間減至原來的0.1倍，但總放大系數(shù)保持不變，則：采用圖示方法引入負反饋，將調(diào)節(jié)時間減至原來的0.1倍，但總放大系數(shù)保持不變，試選擇KH、K0的值。3.3一階系統(tǒng)第28頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（時域分析）

凡是以二階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)：稱之為二階系統(tǒng)。一般控制系統(tǒng)均為高階系統(tǒng)，但在一定準確度條件下，可以忽略某些次要因素近似的用一個二階系統(tǒng)來表示。也就是說，在一定條件下，高階系統(tǒng)一般也可以近似用二階系統(tǒng)的性能指標來表征。第29頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（時域分析）

一、二階系統(tǒng)的各種狀態(tài)典型的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，它是一個由慣性環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成前向通道的單位負反饋系統(tǒng)。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

令則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)化為如下標準形式：式中，稱為阻尼比,ωn稱為無阻尼自然振蕩角頻率。二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第30頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可化簡為如下圖所示：

所以,系統(tǒng)的兩個特征根(極點)為

二階系統(tǒng)的特征方程為：二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖隨著阻尼比

取值不同,二階系統(tǒng)特征根(極點)也不相同。

3.4二階系統(tǒng)（時域分析）

第31頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月是一對共軛復(fù)數(shù)根,如圖所示。

1.欠阻尼狀態(tài)(0＜＜1)當0＜＜1時,兩特征根為

3.4二階系統(tǒng)（時域分析）

二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布

第32頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（時域分析）

2.臨界阻尼狀態(tài)(=1)

當=1時,特征方程有兩個相同的負實根,即

s1,2=-ωn

如圖所示。

二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布

第33頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（時域分析）

為兩個不同的負實根,如圖所示：

3.過阻尼狀態(tài)(＞1)當＞1時,兩特征根為：

二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布

第34頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布

3.4二階系統(tǒng)（時域分析）

如圖所示:

4.無阻尼狀態(tài)(=0)當=0時,

特征方程有一對共軛純虛數(shù)根,即:

第35頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（時域分析）

記：稱為二階系統(tǒng)的有阻尼固有頻率第36頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（時域分析）

第37頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（時域分析）

當取不同值，二階欠阻尼系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如圖所示。欠阻尼系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線是減幅的正玹振蕩曲線，且愈小，衰減愈慢，振蕩頻率愈大。故欠阻尼系統(tǒng)又稱為二階振蕩系統(tǒng)，其幅值衰減的快慢取決于,因為其倒數(shù)稱為時間衰減常數(shù)，記為。第38頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（時域分析）

1第39頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（時域分析）

由式，有：1第40頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（時域分析）

第41頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（時域分析）

由圖可知，當<1時,二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)的過渡過程為衰減振蕩,并隨阻尼的減小,其振蕩愈強烈,當=0為等幅振蕩。在＝1和>1時，二階系統(tǒng)的過渡過程具有單調(diào)上升的特性。從過渡過程的持續(xù)時間來看，在無振蕩單調(diào)上升的曲線中，在＝1時的過渡時間ts最短。在欠阻尼系統(tǒng)中，當＝0.4～0.8時，不僅其過渡過程時間比＝1時的更短，而且振蕩不太嚴重。第42頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，一般希望二階系統(tǒng)工作在＝0.4～0.8的欠阻尼狀態(tài)，因為這個工作狀態(tài)有一個振蕩特性適度而且過渡過程持續(xù)時間又較短。3.4二階系統(tǒng)（時域分析）

在根據(jù)給定的性能指標設(shè)計系統(tǒng)時，將一階系統(tǒng)與二階系統(tǒng)相比，通常選擇二階系統(tǒng)。這是因為二階系統(tǒng)容易得到較短的過渡過程時間（ts)，并且也能同時滿足對振蕩性能的要求。而且決定過渡過程特性的是瞬態(tài)響應(yīng)這部分。選擇合適的過渡過程實際上是選擇合適的瞬態(tài)響應(yīng)，也就是選擇合適的特征參數(shù)：第43頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

三、二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運行的首要條件，因此只有當動態(tài)過程收斂時，研究系統(tǒng)的動態(tài)性能才有意義。在許多情況下，系統(tǒng)所需要的性能指標一般以時域量值的形式給出。

通常，系統(tǒng)的性能指標，根據(jù)系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應(yīng)給出？（1）產(chǎn)生階躍輸入比較容易，而且從系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應(yīng)也比較容易求得對任何輸入的響應(yīng)。（2）一般認為，階躍輸入對系統(tǒng)來說是最嚴峻的工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)在階躍函數(shù)的作用下的動態(tài)性能滿足要求，那么系統(tǒng)在其他形式的函數(shù)作用下，其動態(tài)性能也令人滿足。第44頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

注意：因為完全無振蕩的單調(diào)過程的過渡過程時間太長，所以除了那些不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外，通常都允許系統(tǒng)有適度的振蕩，其目的是為了獲得較短的過渡過程時間。這就是在設(shè)計二階系統(tǒng)時，常使系統(tǒng)在欠阻尼＝0.4～0.8狀態(tài)下工作的原因。下面我們就以欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的過渡過程為例來討論二階系統(tǒng)的性能指標。第45頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

為了說明欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的過渡過程的特性，通常是采用下列性能指標來表示。穩(wěn)態(tài)值（期望值）第46頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

階躍響應(yīng)曲線從零第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間為上升時間。注：稱為二階系統(tǒng)的有阻尼固有頻率第47頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

響應(yīng)曲線達到第一峰值所需的時間定義為峰值時間。注：稱為二階系統(tǒng)的有阻尼固有頻率用求導(dǎo)數(shù)極值法求解。第48頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

階躍響應(yīng)曲線的最大值階躍響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)值阻尼比ξ越大，系統(tǒng)的超調(diào)量越小，響應(yīng)平穩(wěn)；阻尼比ξ越小，系統(tǒng)的超調(diào)量越大，響應(yīng)的平穩(wěn)性越差證明？第49頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

就是系統(tǒng)曲線在振蕩衰減過程中，系統(tǒng)的振蕩范圍達到規(guī)定的振蕩范圍時（±2％，±5％），第一個點對應(yīng)的時刻。（過渡過程時間）第50頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

所以在具體設(shè)計時，通常都是根據(jù)對最大超調(diào)量Mp的要求來確定阻尼。故，二階系統(tǒng)的特征參數(shù)Wn和決定了系統(tǒng)的調(diào)整時間ts，和最大超調(diào)量Mp;反過來，根據(jù)對ts和Mp的要求，也能確定二階系統(tǒng)的特征參數(shù)wn，。所以調(diào)整時間ts主要是根據(jù)系統(tǒng)的Wn來確定的。第51頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

在過渡過程時間0≤t≤ts內(nèi)，階躍響應(yīng)曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值的次數(shù)的一半定義為振蕩次數(shù)。第52頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

在上述動態(tài)性能指標中，tr和tp放映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，Mp和N放映了系統(tǒng)的運行平穩(wěn)性和阻尼程度，一般認為ts能同時放映響應(yīng)速度和阻尼程度。第53頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月具體來說：1）阻尼比ξ越大，系統(tǒng)的超調(diào)量越小，響應(yīng)平穩(wěn)；阻尼比ξ越小，系統(tǒng)的超調(diào)量越大，響應(yīng)的平穩(wěn)性越差；當ξ=0時，系統(tǒng)的響應(yīng)為：為頻率為ωn的等幅振蕩，系統(tǒng)無法進入平衡工作狀態(tài)，不能正常工作。另外，在ξ一定時，ωn越大，系統(tǒng)的振蕩頻率ωd越大，響應(yīng)的平穩(wěn)性較差。故ξ大，ωn小，系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性好。3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

2）調(diào)節(jié)時間ts的計算公式為近似表達式，事實上，ξ小，系統(tǒng)響應(yīng)時收斂速度慢，調(diào)節(jié)時間長，若ξ過大，系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，調(diào)節(jié)時間也較長。因此ξ應(yīng)取適當?shù)臄?shù)值，ξ=0.707時的典型二階系統(tǒng)稱為最佳二階系統(tǒng)，此時超調(diào)量為4.3%,調(diào)節(jié)時間為3/ωn。第54頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：設(shè)典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：根據(jù)題意3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

第55頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

解

二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：因0<<1，所以系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)。根據(jù)給定的參數(shù)可以得出所以

上升時間：峰值時間：第56頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月最大超調(diào)量：調(diào)節(jié)時間：振蕩次數(shù)：3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

第57頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月例3：設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。要求系統(tǒng)的性能指標為Mp=20%,tp=1s。試確定系統(tǒng)的K和KA值,并計算性能指標tr、ts和N。控制系統(tǒng)框圖3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

第58頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月解首先,根據(jù)要求的Mp求取相應(yīng)的阻尼比：解得=0.456。其次,由已知條件tp=1s和已求出的=0.456，求無阻尼自然振蕩頻率ωn,即3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

解得ωn=3.53rad/s。第59頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月由圖可得二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：得K=12.5,KA=0.178。與標準形式

比較,求K和KA值。比較上兩式得3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

由圖可得二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：第60頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

最后計算tr、ts和N：第61頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

第62頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)（性能指標）

第63頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月“準確”是對控制系統(tǒng)提出的一個重要性能要求。對于實際的系統(tǒng)來說，輸出量常常不能絕對精確地達到所期望的數(shù)值，期望的數(shù)值與實際輸出的差就是所謂的誤差。3.6系統(tǒng)誤差分析與計算(準確性)

3.6.1系統(tǒng)的誤差與偏差第64頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6系統(tǒng)誤差分析與計算

(準確性)

理想輸出實際輸出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后的誤差，因此不討論過渡過程的情況。只有穩(wěn)態(tài)的系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。3.6.2誤差的一般計算（穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差）第65頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6系統(tǒng)誤差分析與計算(準確性)

因為：12把式代入式得：21所以：由終值定理得到的穩(wěn)態(tài)偏差計算公式偏差傳遞函數(shù)第66頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月求xi(t)=1(t),xi(t)=t,時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差。例1：設(shè)單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：(T>0)解：偏差傳遞函數(shù)為：閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（1）（2）（3）3.6系統(tǒng)誤差分析與計算(準確性)

第67頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6系統(tǒng)誤差分析與計算（與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差）

設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：其中：K稱為系統(tǒng)的開環(huán)增益，

υ為系統(tǒng)串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。υ=0，系統(tǒng)稱為0型系統(tǒng)，υ=1，系統(tǒng)稱為1型系統(tǒng)，υ=2，系統(tǒng)稱為2型系統(tǒng)，…3.6.3與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差第68頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月有系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為：（1）單位階躍信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差：對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，可用終值定理來求。3.6系統(tǒng)誤差分析與計算（與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差）

令系統(tǒng)靜態(tài)位置偏差系數(shù)第69頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為：(2)單位斜坡信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差：對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，可用終值定理來求。系統(tǒng)靜態(tài)速度偏差系數(shù)有令3.6系統(tǒng)誤差分析與計算（與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差）

第70頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)靜態(tài)加速度偏差系數(shù)有則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為：（3）單位加速度信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差：對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，可用終值定理來求。令3.6系統(tǒng)誤差分析與計算（與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差）

第71頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6系統(tǒng)誤差分析與計算（與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差）

2.從表中可看出：0型系統(tǒng)對于單位階躍輸入是有差系統(tǒng),并且無法跟蹤斜坡信號、加速度信號；1.系統(tǒng)型次越高，穩(wěn)態(tài)偏差越?。婚_環(huán)增益越大，穩(wěn)態(tài)偏差越小。Ⅰ型系統(tǒng)由于含有一個積分環(huán)節(jié),所以對于單位階躍輸入是無差的,但對單位斜坡輸入是有差的,并且無法跟蹤加速度信號;Ⅱ型系統(tǒng)由于含有兩個積分環(huán)節(jié),所以對于單位階躍輸入和單位斜坡輸入都是無差的,但對單位加速度信號是有差的。第72頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可知當輸入控制信號是上述典型信號的線性組合時，當系統(tǒng)輸入信號為：輸出量的穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)是他們分別作用時穩(wěn)態(tài)誤差之和，即：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為：3.6系統(tǒng)誤差分析與計算（與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差）

第73頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月例2：已知某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求系統(tǒng)輸入分別為1(t),10t,3t2時,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。得開環(huán)放大倍數(shù)K=2.5，由于此系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)。3.6系統(tǒng)誤差分析與計算歸一化處理解由勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析可知,該系統(tǒng)是穩(wěn)定的(這里從略)。首先將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)化為：第74頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)表3-1得，當r(t)=1(t)時,穩(wěn)態(tài)誤差ess=0；3.6系統(tǒng)誤差分析與計算

當r(t)=10t時,穩(wěn)態(tài)誤差：當r(t)=時，穩(wěn)態(tài)誤差ess=∞。第75頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月例3：已知某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

求當系統(tǒng)作用斜坡函數(shù)輸入時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess＝0.01時的K值。得開環(huán)放大倍數(shù)為：K/5，由于此系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)。3.6系統(tǒng)誤差分析與計算解由勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析可知,該系統(tǒng)是穩(wěn)定的(這里從略)。由于系統(tǒng)是單位反饋系統(tǒng)，所以：首先將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)化為：在斜坡函數(shù)輸入時：第76頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月例4

已知兩個系統(tǒng)分別如圖(a)、(b)所示。輸入均為r(t)=4+6t+3t2，試分別計算兩個系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。3.6系統(tǒng)誤差分析與計算

解:要計算系統(tǒng)在輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可分別計算系統(tǒng)在輸入r1(t)=4、輸入r2(t)=6t、輸入r3(t)=下的穩(wěn)態(tài)誤差ess1、ess2、ess3、然后讓其相加。(a)(b)第77頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：標準的加速度信號為t2/2,所以本題中的3t2是標準輸入的6倍。3.6系統(tǒng)誤差分析與計算第78頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月例5已知單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：求斜坡函數(shù)輸入和拋物線函數(shù)輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差。解：將系統(tǒng)化為單位反饋系統(tǒng)的標準形式：相同3.6系統(tǒng)誤差分析與計算P124第79頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月所以，該系為II型系統(tǒng)，其靜態(tài)偏差系數(shù)分別為：單位斜坡信號輸入的穩(wěn)態(tài)偏差為：單位拋物線信號輸入時的穩(wěn)態(tài)偏差為：3.6系統(tǒng)誤差分析與計算第80頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6系統(tǒng)誤差分析與計算

有干擾時系統(tǒng)誤差：3.6.4與干擾有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差第81頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6系統(tǒng)誤差分析與計算

有干擾的系統(tǒng)偏差：3.6.4與干擾有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差第82頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月E1(s)E(s)3.6系統(tǒng)誤差分析與計算

第83頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為例6：系統(tǒng)的負載變換往往主要是系統(tǒng)的干擾。對于圖示系統(tǒng)，若擾動為單位階躍函數(shù)時,試求該擾動N(s)對系統(tǒng)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差的影響。3.6系統(tǒng)誤差分析與計算

xi(s)X0(s)-N(s)+++解：當Xi(s)=0,N(s)=0時，系統(tǒng)誤差為第84頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月若擾動為單位階躍函數(shù)時,則：對于積分環(huán)節(jié)的個數(shù)大于和等于1的系統(tǒng)，G(0)H(0)－>∞，擾動不影響穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，穩(wěn)態(tài)誤差為0。3.6系統(tǒng)誤差分析與計算

可見，開環(huán)傳遞函數(shù)G(0)H(0)越大，由階躍擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差就越小。第85頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月r(s)E(s)C(s)-N(s)n(t)=1(t)時，穩(wěn)態(tài)偏差為：系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)偏差為例7：對于圖示系統(tǒng)，試求r(t)=t，n(t)=1(t)時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：在r(t)=t，穩(wěn)態(tài)偏差在擾動信號作用下的誤差表達式為：3.6系統(tǒng)誤差分析與計算

系統(tǒng)為1型二階系統(tǒng)，是穩(wěn)定的。第86頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月一.用MATLAB求系統(tǒng)時間響應(yīng)例1已知系統(tǒng)框圖如圖所示3.8利用MATLAB分析時間響應(yīng)

系統(tǒng)方框圖其中，試用MATLAB程序，求得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。通過MATLAB提供的函數(shù)step()和impulse(),可以方便地求出各階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)和單位脈沖函數(shù)作用下的輸出響應(yīng)。lsim()用于對生成對任意輸入的時間響應(yīng)。第87頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月clearallnum=[77];den=[conv(conv([10],[13]),[145])];g=tf(num,den);gg=feedback(g,1,-1);[y,t,x]=step(gg);plot(t,y);系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線3.8利用MATLAB分析時間響應(yīng)

MATLAB程序：P69conv：可以用來實現(xiàn)多項式之間的乘法運算第88頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月例2系統(tǒng)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)在時間常數(shù)不同取值時的單位脈沖響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)和任意輸入響應(yīng)。接下來的主要工作：＝0，＝0.0125、＝0.025時，分別應(yīng)用impulse函數(shù)和step函數(shù)可得系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)和系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)。1其次對于任意輸入，例如在正弦輸入作用下，應(yīng)用lsim函數(shù)可求得＝0.025時系統(tǒng)的時間響應(yīng)。23.8利用MATLAB分析時間響應(yīng)

第89頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月clearall;t=[0:0.01:0.8];%仿真時間區(qū)域的劃分%三種tao值下的系統(tǒng)模型nG=[50];tao=0;dG=[0.051+50*tao50];G1=tf(nG,dG);tao=0.0125;dG=[0.051+50*tao50];G2=tf(nG,dG);tao=0.025;dG=[0.051+50*tao50];G3=tf(nG,dG)%系統(tǒng)脈沖，階躍時間響應(yīng)[y1,T]=impulse(G1,t);[y1a,T]=step(G1,t);[y2,T]=impulse(G2,t);[y2a,T]=step(G2,t);[y3,T]=impulse(G3,t);[y3a,T]=step(G3,t);1MATLAB程序：3.8利用MATLAB分析時間響應(yīng)

第90頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月%生成圖形subplot(121),plot(T,y1,'--',T,y2,'-.',T,y3,'-')legend('tao=0','tao=0.0125','tao=0.025')%標注圖例xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)');gridon;%標簽，并增加網(wǎng)格subplot(122),plot(T,y1a,'--',T,y2a,'-.',T,y3a,'-')legend('tao=0','tao=0.0125','tao=0.025')gridon;xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)');3.8利用MATLAB分析時間響應(yīng)

第91頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.8利用MATLAB分析時間響應(yīng)

第92頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月clearall;%仿真時間區(qū)段劃分及其輸入。t=[0:0.01:1];u=sin(2*pi.*t);%求系統(tǒng)模型tao=0.025;nG=[50];dG=[0.051+50*tao50];G=tf(nG,dG);%求系統(tǒng)響應(yīng)y=lsim(G,u,t);%產(chǎn)生圖形。plot(t,u,'-.',t,y,'-',t,u'-y,-.','linewidth',1)legend('u(t)','xo(t)','e(t)')grid;xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)');3.8利用MATLAB分析時間響應(yīng)

2求正弦函數(shù)的輸入響應(yīng)。第93頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月3.8利用MATLAB分析時間響應(yīng)

第94頁，課件共99頁，創(chuàng)作于2023年2月例3系統(tǒng)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)在時間常數(shù)