數(shù)分相關(guān)大一下第九章復(fù)習(xí)

￥n=1⒉Sn

=

a1

+

a2

+

+

an若lim

Sn

=

S

,稱級數(shù)收斂;否則稱發(fā)散.第n個部分和⒈

an

=a1

+a2

+

+an

+

無窮級數(shù)nfi

￥⒊級數(shù)收斂的必要條件：￥nfi

￥n

=1若

an收斂，則

lim

an

=

0.￥n=1nfi

￥等價敘述為：

若lim

an

?

0,則

an發(fā)散.

￥

￥￥

￥

若

nn=1

n=1nn=1

n=1b

發(fā)散.a

發(fā)散，則⒈

比較法：設(shè)$N

,當(dāng)n

>

N時,

0

￡

an

￡

bn

,

則

若

bn收斂，則

an收斂.￥n

=

1

a

n

,

a

n?0

——正項級數(shù){Sn

}有界.定理：正項級數(shù)

an收斂￥n=1２.比較法極限形式：a如lim

n

=

l,則nfi

￥

bn￥

￥①

若0

<l

<+￥

,則

an與

bn同斂散;n=1

n=1②￥

￥對兩個正項級數(shù)

an和

bn

,n=1

n=1￥

￥若l

=

0,

則

bn收斂

an收斂;n=1

n=1③￥

￥若l

=

+￥

,

則

bn發(fā)散

an發(fā)散.n=1

n=1３.Cauchy

積分判別法設(shè)x

?1時,f

(x)?0且遞減,1與無窮積分

+￥f

(x)dx同斂散.￥n=1則無窮級數(shù)

f

(n)常用于比較的個級數(shù)：⑴

等比級數(shù)￥r

?1發(fā)散.r

<1收斂,n=1

r

n

,⑵1

,￥

n=1n

p⑶p

￡

1發(fā)散,

p

>

1收斂.1,,

￥

n=k￥

n=2n

ln

n(ln

ln

n)

pn(ln

n)

p１P級數(shù)一、Cauchy

判別法⒈

設(shè)an

?

0,若$0

<

q

<

1,

使n

>

N時有n

an

￡

q

<

1.則

a

n收斂；若對無窮多個

n,有n

an

?

1,則

an發(fā)散.⒉

極限形式n

nnfi

￥設(shè)a

?

0,且lim

sup

n

a

=

q,

則

na

發(fā)散q

>

1,

q

<1,

an收斂⒊推論：

q

>1,發(fā)散

q

<1,收斂若lim

n

an

=

q,則

nfi

￥0nnnn

a

發(fā)散.

a

an+1

?

1,

a

收斂.

a若n

?n

時,

1.二、D'Alembert判別法設(shè)an

>

0,

n

=

1,2,

.

an+1

￡

q

<

1,2.

極限形式：nnnfi

￥則

a

收斂.a若lim

sup

an+1

=

q

<

1,①②

若lim

infnfi

￥則

an發(fā)散.n+1

=

q'>

1,ana

q

>1,

發(fā)散

q

<1,收斂.an3.

推論：

若lim

an+1

=

q,nfi

￥三、Raabe

判別法①0nn+1n-1)?r

>1,

則

a

收斂.aa若n

>

n

時,

n(②0nn+1n-

1)

￡

1,

則

a

發(fā)散.aa若n

>

n

時,

n(設(shè)an

>

0,

n

=

1,2,

.取b

=

1

(

p

>

1)，npn極限形式

l

<1時發(fā)散.

l

>1時收斂.

an+1lim

n(

an

-

1)

=

l,nfi

￥naan),

n

fi

￥1+ +

o(設(shè)a

>

0,

滿足

=

1

+n+11

bn n

ln

n n

ln

n￥

￥n=1

n=1則當(dāng)b

>1時,

an收斂;b

<1時

an發(fā)散.等價形式為：

b

<1發(fā)散.nan+1lim

n

ln

n(an

-1

-1

)=b

,

b

>1收斂.nfi

￥1n(ln

n)

pn相比較(p

>1)四、Gauss判別法

用a

與⒈熟練掌握：比較判別法及其極限形式,

Cauchy判別法,D’Alembert判別法.⒉

掌握：Cauchy積分判別法⒊

了解Raabe和Gauss判別法.達(dá)