暑假七年級(jí)升八年級(jí)數(shù)學(xué)考點(diǎn)銜接（人教版）專(zhuān)題13 角平分線的性質(zhì)與判定原卷版

文檔來(lái)源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)聯(lián)系刪除僅供參考專(zhuān)題13角平分線的性質(zhì)與判定新知預(yù)習(xí)（一）角平分線的性質(zhì)（1）概念：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。（2）角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；數(shù)學(xué)語(yǔ)言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OMPB⊥ON∴PA=PB（二）角平分線的判定（1）判定定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB

∴∠MOP=∠NOP新知訓(xùn)練考點(diǎn)1：角平分線的性質(zhì)典例1：（2022秋·河南安陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分(1)DE平分∠ADC；(2)AD＝【變式1】（2023秋·河南三門(mén)峽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，連接MN．若MP平分∠AMN，(1)求證：OP平分∠AOB；(2)若MN=8，且△PMN與△OMN的面積分別是16和24，求線段OM與ON的長(zhǎng)度之和．【變式2】（2023春·安徽淮南·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知：△ABC的∠B、∠C的外角平分線交于點(diǎn)D．求證：AD是∠BAC的平分線．【變式3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，CE⊥AB，已知CB=CD，AC平分∠BAD(1)∠B(2)AD＋考點(diǎn)2：角平分線的判定典例2：（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)A，C，D在同一條直線上時(shí)，求證：AE=BD，AE⊥BD；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、C、D不在同一條直線上時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立，為什么；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接CF并延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G，∠AFG的大小固定嗎？若是，求出∠AFG的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1】（2022秋·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，連接BD，CE交于點(diǎn)F，連接AF．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)求證：∠BFA=∠AFE．【變式2】（2022秋·江蘇鹽城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，CE⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，且BC=DC，CF=CE．(1)求證：AC平分∠BAD(2)猜想AB+AD與AE之間的數(shù)量關(guān)系并證明；【變式3】（2022秋·安徽銅陵·八年級(jí)銅陵市第十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知△ABC和△CDE中，B，C，E在同一條直線上，AC=CB，∠ACB=60°，DC=EC，∠DCE=60°，BD與AE交于點(diǎn)F，連接CF．(1)求∠AFB的度數(shù)；(2)求證：CF平分∠BFE．考點(diǎn)3：角平分線性質(zhì)的綜合應(yīng)用典例3：（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在ΔABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點(diǎn)D．（1）求證：點(diǎn)D到三邊AB、BC、CA所在直線的距離相等；（2）連接AD，若∠BDC=40°，求∠DAC的度數(shù)．【變式1】（2023秋·河北張家口·八年級(jí)?？计谀┍緦W(xué)期我們學(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，那么，你是否還記得它們的具體內(nèi)容．（1）請(qǐng)把下面兩個(gè)定理所缺的內(nèi)容補(bǔ)充完整：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到______的距離相等．角平分線性質(zhì)定理的逆定理：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在______．（2）老師在黑板上畫(huà)出了圖形，把逆定理的已知、求證寫(xiě)在了黑板上，可是有些內(nèi)容不完整，請(qǐng)你把內(nèi)容補(bǔ)充完整．已知：如右圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分別為D、E，且PD=______．求證：點(diǎn)P在∠AOB的______上（3）請(qǐng)你完成證明過(guò)程：（4）知識(shí)運(yùn)用：如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)在要修建一個(gè)加油站，使加油站到三條公路的距離相等，加油站可選擇的位置共有______處．【變式2】（2022秋·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）如圖，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直線BD與AE交于點(diǎn)F，與AC交于點(diǎn)G，連接CF．（1）BD和AE的大小關(guān)系是__________，位置關(guān)系是__________；請(qǐng)給出證明．（2）求證：CF平分∠BFE．【變式3】（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，M、N分別為AB、AC邊上的點(diǎn)．（1）求證：DE＝DF；（2）若DM＝DN，△ADM和△ADN的面積分別為36和50，求△DME的面積．考點(diǎn)4：尺規(guī)作圖——角平分線典例4：（2022秋·海南海口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)．(1)實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)．①作∠DAC的平分線AM；連接BE，并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)G；②過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為F．(2)猜想與證明：猜想AG與BF有怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式1】（2022秋·江蘇泰州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，電信部門(mén)要在S區(qū)修建一座發(fā)射塔P．按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔P到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發(fā)射塔P應(yīng)建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置．（尺規(guī)作圖：只保留作圖痕跡，不寫(xiě)作圖過(guò)程）【變式2】（2022秋·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)．(1)利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；①作∠DAC的平分線AP；②連接BE并延長(zhǎng)交AP于點(diǎn)F．(2)猜想AF與BC位置和數(shù)量的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式3】（2023秋·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）按要求完成尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，并完成計(jì)算．已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=50°(1)作AB邊上的高CE，作∠CBA的平分線BG，CE與BG相交于點(diǎn)H．(2)求所作圖形中∠CHB的度數(shù)．考點(diǎn)5：角平分線與三角形全等綜合典例5：（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上兩點(diǎn)，∠EAF=45°．(1)若EA是∠BEF的角平分線，求證：FA是∠DFE的角平分線；(2)若BE=DF，求證：EF=BE+DF．【變式1】（2023春·四川南充·八年級(jí)四川省南充市高坪中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連接AE，過(guò)E作AE的垂線交∠BCD的外角平分線于F．(1)求證：AE=(2)如圖若E在BC的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立說(shuō)明理由．【變式2】（2022秋·河南安陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【建立模型】（1）填空：如圖①，點(diǎn)C是∠MON的平分線OP上一點(diǎn)，點(diǎn)A在OM上，用圓規(guī)在ON上截取OB=OA，連接AC、BC，可得△OAC≌△OBC，依據(jù)是（

）A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA【運(yùn)用模型】（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，試判斷BC和AC、AD之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．（提示：在CB上截取CE=CA【拓展延伸】（3）如圖③，在△ABC中，∠A=60°，CD、BE分別是∠ACB、∠ABC的平分線，CD、BE交于點(diǎn)F，若CE=4，BD=3，請(qǐng)直接寫(xiě)出BC的長(zhǎng)．【變式3】（2023秋·山東聊城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，點(diǎn)A、D在y軸正半軸上，點(diǎn)B、C分別在x軸上，CD平分∠ACB與y軸交于D點(diǎn)，∠CAO+∠BDO=90°．(1)求證：AC=BC；(2)如圖2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為5，0，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，且∠DEA=∠DBO①求證：BD=DE；②求BC+EC的長(zhǎng)．新知檢測(cè)一、單選題1．（2023秋·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D．若S△ACD＝6，AC＝6，則點(diǎn)D到AB的距離為（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠MON=30°，且OP平分∠MON，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥OM變ON于點(diǎn)Q，若點(diǎn)P到OM的距離為2，則OQ的長(zhǎng)為（

）．A．4 B．-3 C．2 D．13．（2022秋·湖北恩施·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC的角平分線交于點(diǎn)P，PD⊥BC，PD=2，△ABC的周長(zhǎng)為17，則△ABC的面積為（

）A．17 B．34 C．18 D．214．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ΔABC中，AC=BC???,???A．40° B．45° C．50° D．60°5．（2022春·湖北黃岡·八年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，以頂點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于12EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)D．若BD=3，AC=12，則A．36 B．18 C．15 D．96．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）小明同學(xué)只用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺就可以作出一個(gè)角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，小明說(shuō)：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（

）A．在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上B．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等C．三角形的三條高交于一點(diǎn)D．三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)7．（2023秋·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)P到△ABC三邊的距離相等，DE∥AC，AB=8.1cm，BC=6cm，△BDE的周長(zhǎng)為（）cmA．12 B．14.1 C．16.2 D．7.058．（2023春·湖南常德·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，若AB∥CD，AP、CP分別平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=3cmA．3cm B．6cm C．9cm D．12cm9．（2023秋·四川涼山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上，點(diǎn)P到OA邊的距離等于5，點(diǎn)Q是OB邊上的任意一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．PQ>5 B．PQ≥5 C．PQ<5 D．PQ≤510．（2023秋·廣西北?！ぐ四昙?jí)期中）下列命題的逆命題成立的是（

）A．對(duì)頂角相等B．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等C．如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等D．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上11．（2022秋·山西朔州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）黃河社區(qū)是由AB，AC，A．三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)處 B．三條中線的交點(diǎn)處C．三條高線的交點(diǎn)處 D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處12．（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD=5，AB=16，則△ABD的面積是（A．15 B．30 C．40 D．6013．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在Rt△ABC中，AB>BC>AC．用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在邊BC上確定一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A，BA．B．C．D．14．（2023秋·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N．再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D．若CD＝3，AB＝10，則△ABDA．10 B．15 C．30 D．2015．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，O是Rt△ABC的角平分線的交點(diǎn)，OD//AC,AC=5,BC=12,AB=13，則OD等于（

）A．2 B．3 C．1 D．4二、填空題16．（2023秋·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=5cm，那么D點(diǎn)到直線AB的距離是____cm．17．（2023秋·江蘇淮安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)P，PM⊥AC于點(diǎn)M.若PM＝6cm，則點(diǎn)P到AB的距離為_(kāi)___cm．18．（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在ΔABC中，∠A=40°，⊙O截ΔABC三邊所得的線段相等，那么∠BOC的度數(shù)是___________．19．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？贾軠y(cè)）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥BC，垂足為E．△ABC的面積為35，AB=8．BC20．（2023秋·江蘇南通·八年級(jí)啟東市長(zhǎng)江中學(xué)校考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，以大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD=3，AB=8，則△ABD的面積是21．（2023秋·重慶綦江·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，BD平分∠ABC，M在BD上，ME⊥AB，F(xiàn)是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，若ME=4，則MF的最小值為_(kāi)___．22．（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P到∠AOB兩邊的距離相等，若∠POB＝30°，則∠AOB＝__________．23．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）補(bǔ)全“求作∠AOB的平分線”的作法：①在OA和OB上分別截取OD、OE，使OD=OE.②分別以D、E為圓心，以_____________為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C．③作射線OC即為∠AOB的平分線．24．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若AC=6，AB=10，△ABC的面積為24，則CD25．（2022·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于D，交BC于E；②分別以D，E為圓心，以大于12DE的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F③作射線BF交AC于G．如果AB＝9，BC＝12，△ABG的面積為18，則△CBG的面積為_(kāi)____．三、解答題26．（2022秋·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）尺規(guī)作圖并完成證明：如圖，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=BE，AD=BC，∠ADE=∠BED．(1)尺規(guī)作圖：作∠DCE的平分線CF，交DE于點(diǎn)F；(2)證明：CF⊥DE．證明：∵∠ADE=∠BED，∴，∴．在△ADC和△BCE中，∵AC=BEAD=BC(①)，∴△ADC≌△BCE．∴．又∵CF是∠DCE的角平分線，∴CF⊥DE．27．（2023秋·江西·八年級(jí)校考期中）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，∠ABC的平分線BG，交AD于點(diǎn)E,EF⊥AB，垂足為F．（1）若∠BAD=25°，求∠C的度數(shù)．（2）求證：EF=ED．28．（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，