客觀、合理的評價學生綜合學習情況的數(shù)學模型

學習文檔僅供參考學習文檔僅供參考學習文檔僅供參考學習文檔僅供參考合肥學院第六屆數(shù)學建模競賽參賽論文?團隊編號：?選擇賽題：【A】【B】注：用2B鉛筆將所選擇的題目涂黑?論文題目：客觀、合理的評價學生學習狀況?參賽隊員個人信息：性別系別班級學生證號簽名丁學明男數(shù)理系10級數(shù)學與應用數(shù)學(1)班1007021017汪於先男數(shù)理系09級數(shù)學與應用數(shù)學(1)班0907021042張躍女數(shù)理系09級數(shù)學與應用數(shù)學(1)班0907021038注：前五欄為四號宋體，最后一欄用黑色中性筆簽名?？陀^、合理的評價學生學習狀況摘要：測試成績對于學生、教師和教育管理者都很重要。傳統(tǒng)的對學生成績的評價，只是單純根據(jù)學生的“絕對分數(shù)”或者“絕對排名”作為評價，這種評價方法只能表達量化出學生的基礎，而不能表達量化出學生學習的穩(wěn)定性、潛力、變化趨勢等等指標。隨著教學改革的不斷深人,科學評價教學質(zhì)量極為重要?？荚囀菣z驗教學質(zhì)量的重要手段。然而,考試成績能否真實地反映教學質(zhì)量和學生水平試題是否科學、準確,它們在多大程度上是有效的和可靠的,但還是局限的，有失公允的。本文通過科學合理的分析評價方法，不再單純依據(jù)學生的“絕對分數(shù)”評價學生的學習狀況，對學生學習狀況做出全面、客觀、合理的整體評價。問題一：對于全面、客觀、合理的評價學生的學習狀況，我們采用了二個模型：1、模糊層次分析模型：首先，為了表達學生成績進步在整體評價中的作用，學生每個學期的成績和進步情況。通過模糊層次分析方法得出最后求出各個因素的權重向量為：W二(0.024,0.040,0.069,0.117,0.188,0.188,0.375)接著利用模糊層次分析方法得出學生i學習狀況的綜合評定指標如下：C二k*x+k*x+k*x+k*x+k*x+k*x+k*xi11i22i33i44i55i66i77i2、成績標準化模型：采用對數(shù)變換將負偏態(tài)的成績分布正態(tài)化，并用Matlab進行了正態(tài)檢驗。從而學生成績的差距分布更為合理，成績偏低的學生變換后將處于中等位置，得到適當?shù)墓膭?，改變了負偏態(tài)分布中較多學生成績集中在高分段或低分段的現(xiàn)象。然后，將正態(tài)分布歸一化為標準正態(tài)分布，消除每個學期評價考核體系的不穩(wěn)定性因素，得到每個學生各學期的“有效成績”。并基于"有效成績"提出了等級評定子模型，確定了等級分數(shù)線，更清楚的說明了每個學生在整體是的位置。問題二，要求對所有同學的成績進行總體分析。根據(jù)對分析模型的總結，運用描述統(tǒng)計分析的方法，經(jīng)過Matlab處理得到各學期分數(shù)統(tǒng)計直方圖和其正態(tài)分布擬合曲線，并對結果進行正態(tài)分布檢驗。通過結果顯示，我們得知，這612名學生的整體成績近似服從正態(tài)分布。通過建立的模型，進行求解時，采用電腦抽樣的方法，進行模型算例的計算，得到對不同的學生的綜合評價結果，有的同學總體成績較高，但相對不穩(wěn)定，總體評價為良好，并預測未來成績?nèi)匀粫幸欢ǖ牟▌?；有的同學進步較大，但基礎較差，綜合評價分析的結果也是良好，預測未來成績可能還會有較大幅度的提高；還有總體成績很一般，但一直在退步，且退步的幅度也比較大，綜合分析評價的結果為差，并預測在未來仍可能有繼續(xù)下降的趨勢等多種情況。關鍵詞：模糊層次分析成績標準化統(tǒng)計分析MATLAB問題重述現(xiàn)行的評價方法相比照較局限、主觀、有失公允，只能對學習基礎好的學生產(chǎn)生激勵作用，而不能對所有學生尤其是后進學生起到激勵作用，這種評價弊端開始被越來越多的人關注。評價學生學習狀況的目的是激勵優(yōu)秀學生努力學習取得更好的成績，同時鼓勵基礎相對薄弱的學生樹立信心，不斷進步。然而，現(xiàn)行的評價方式單純的根據(jù)“絕對分數(shù)”評價學生的學習狀況，忽略了基礎條件的差異；只對基礎條件較好的學生起到促進作用，對基礎條件相對薄弱的學生很難起到鼓勵作用。附件給出了612名學生連續(xù)四個學期的綜合成績。結合附件所給的數(shù)據(jù)，用數(shù)學建模的方法，對附件所個的學生做評價并排序。并根據(jù)你的評價結果對附件所給的學生做聚類或其它分析。問題分析當代素質(zhì)教育體制下，評價學生的素質(zhì)只是根據(jù)“絕對分數(shù)”，這種方法對于一些學習較差但仍努力學習的同學不免是一種打擊，因此，不能很好的反映一個學生的綜合學習狀況。怎樣正確地、科學地評價學生考試成績,對于學校教學工作至關重要。想要客觀、合理的評價學生的綜合學習狀況，首先要進行綜合的學習狀況分析，對于問題二，參考所給數(shù)據(jù)，由于數(shù)據(jù)為離散性的，且數(shù)據(jù)較多，并且由實際經(jīng)驗可預知，每學期的成績分布可能為正態(tài)分布。因此，對數(shù)據(jù)進行有關的處理，運用Matlab對其進行直方圖的統(tǒng)計以及正態(tài)曲線的擬和，并進行正態(tài)分布檢驗，通過結果，分析學生的學習狀況。之后，對學生的學習狀況進行客觀、合理的綜合評價，針對這一問題，本文采用兩種評價方法為：模糊評價和動態(tài)成績評價。模糊評價中，對所給出的數(shù)據(jù)進行相關處理，通過影響學生學習狀況的主要因素〔即：標準分，標準差，進步率〕，來對學生進行評價，對因素進行相關權重，并對每個因素進行相關處理分析，最終可以得到評價向量。動態(tài)成績評價中，通過對“絕對分數(shù)”和基礎差異因素進行動態(tài)求和，得到學生的最終綜合的動態(tài)成績，根據(jù)此成績對學生進行綜合評價。求解過程中，由于有零分數(shù)據(jù)的存在，且數(shù)據(jù)組數(shù)目相對于異樣數(shù)據(jù)較大，對于異樣數(shù)據(jù)進行排除處理，總體情況不會受到影響。問題假設1、在過去四學期以及未來的兩學期的考試中不會有人作弊。2、附件中說給數(shù)據(jù)中的異樣數(shù)據(jù)排除后，整體情況不會發(fā)生變動。3、每個學生都處于一個變動的狀態(tài)，在這一狀態(tài)下，變化幅度快慢的變化是相對漸變的，不會出現(xiàn)驟變的現(xiàn)象，并且是有規(guī)律可循的。3、在未來的兩學期內(nèi)，學生數(shù)量不會有較大的變化，從而保證整體情況的穩(wěn)定性，使得對總體的評價預測不會發(fā)生較大的偏差。學?；镜慕虒W基礎條件不會發(fā)生很大規(guī)模的改變，即不會增強或減少師資力量教學設施等，保證不會存在整體教學水平的變動而對個體的成績產(chǎn)生較大的影響。4、數(shù)據(jù)擬和曲線反映情況準確、可靠。5、學生的學習情況是連續(xù)的，不存在休學，缺考等狀況。符號說明xn學生第n學期的成績n=1,2,3,4xn學生每學期的進步程度n=5,6,7Zi學生i的綜合評定指數(shù)C1為實際學習成績C2為學習成績進步度Sij表示第i個學生第j學期的成績Tij表示第i個學生第j學期的進步度模型的分析、建立與求解問題一：評價學生的學習狀況模型一：模糊層次分析模型

1.模型準備：模糊層次分析法采用0.1?0.9標度法〔見附錄1〕,能夠準確地描述任意兩個因素之間關于某準則的相對重要程度。且由優(yōu)先判斷矩陣改造成的模糊一致矩陣滿足一致性條件，無須再做一致性檢驗，另外模糊層次分析法還解決了解的收斂速度及精度問題，具體步驟如下(1).建立優(yōu)先關系矩陣。優(yōu)先關系矩陣是每一層次中的因素針對于上層因素的相對重要性兩兩比較建立的矩陣，也稱為模糊互補矩陣，即、rin廠r...、rinii.R=(r)=:?.r丿nnijnr丿nnV1…其中r..表示下層第i個元素相對于第j個元素的模糊關系，采用0.1-O.9標度給予數(shù)量表示，ij且r+r=1。ijji(2).將優(yōu)先關系矩陣改造成模糊一致矩陣。記r=￡r,i=1,2,…,n,做變換TOC\o"1-5"\h\ziikk=1r—rr=-j+0.5，將優(yōu)先關系矩陣改造為模糊一致矩陣。ij2n111p/.vcn—1.根據(jù)w=——+Xr,(i=1,2,…,n),a>，推導出各因素權重值。in2anaij2j=1.將各層次間的重要性權值轉化為相對于總目標的綜合權重。.根據(jù)考評結果得出優(yōu)劣次序。模型建立：(一).確立評價指標體系。將學生學習情況的評價層定為目標層，評價中主要涉及的兩個方面定為準則層，以此建立如下表所示遞節(jié)層次結構。表1學生學習狀況評價指標體系目標層準則層指標層學生學習情況綜合評價A學生實際成績B1第一學期成績c1第二學期成績C2第三學期成績C3第四學期成績C4學生成績進步情況B2第一學期進步度C5第一學期進步度C6第一學期進步度C7(二).構造優(yōu)先關系矩陣并計算各因素權重值。在層次結構表的基礎上建立優(yōu)先關系矩陣，然后將優(yōu)先關系矩陣改造為模糊一致矩陣如下：A-B的優(yōu)先關系矩陣:0.3'0.5丿(0.50.4)A-B模糊一致矩陣：c八：10.60.5丿'0.50.60.40.50.30.40.2、0.3B-C的優(yōu)先關系矩陣：10.70.60.50.4、0.80.70.60.5丿(0.50.450.40.350.550.50.450.40.60.550.50.45(0.50.50.3「(0.50.50.4]B2-C的優(yōu)先關系矩陣：0.50.50.3B2C的模糊-致矩陣：0.50.50.4[0.70.70.5丿[0.60.60.5丿Bi-C模糊一致矩陣:0.650.60.550.5丿由模型準備中的步驟〔3〕中的計算公式，我們?nèi)=(n-l)/2,可以算的B層相對于A層,更因素權值為叮(0.4‘0.6),C層相對于B層，各指標相對應上層相應因素的權值分別為:w=(0.2000,0.2333,0.2667,0.3000)，w=(0?3000，0.3000，0.4000)11121C0.23330.09332C30.26670.1067C0.30000.12004C0.30000.18005C0.30000.18006C70.40000.2400對于學生i學習狀況的綜合評定定量表示如下:C二k*x+k*x+k*x+k*x+k*x+k*x+k*xi11i22i33i44i55i66i77i〔四〕.再由各項指標結合附件中的數(shù)據(jù)以前20個學生為例，對他們成績的綜合評定如下表:學生序號一學期成績二學期成績?nèi)龑W期成績四學期成績進步度2進步度3進步度4綜合得分17974.82574.2976.98-4.175-0.5352.6930.263275.62573.40357180.59127574.845-2.22147.1877-5.746329.994362.120312559.21428668.50188768.865-2.9069.28760.3631127.303482.7583.20392976.50660480.870.45393-6.69734.363432.174576.183.11607177.57547283.2957.01607-5.54065.7195333.754678.27565.29464376.0472.49-12.9810.7454-3.5527.912776.32575.49285763.43566.505-0.8321-12.0583.0726.315860.9558.23214355.90094316.5-2.7179-2.3312-39.4017.889969.1576.35714371.05495373.647.20714-5.30222.5850530.0381075.17569.52678675.33679270.19-5.64825.81001-5.146827.7561184.07582.28928681.57924568.18-1.7857-0.71-13.39927.6251263.168.92857169.26886868.275.828570.3403-0.998927.9331377.162573.12578.9281.925-4.03755.7953.00532.2851476.57575.41785774.69386874.565-1.1571-0.724-0.128929.7111568.37571.1576.10377478.4352.7754.953772.3312331.5911670.570.78571474.5682.0450.285713.774297.48532.5721775.178.34285782.37141578.1653.242864.02856-4.206431.7861853.552.37142963.28563.615-1.128610.91360.3325.3931967.02572.48214375.08891573.995.457142.60677-1.098930.2032083.580.03928677.64572.9-3.4607-2.3943-4.74528.988由上表的計算結果可看出，5號同學的綜合得分最高，為33.754，說明其學習狀況在這20名同學中最好，而且其進步度逐漸增大，說明其學習越來越努力，成績不斷在提高。而8號同學的綜合得分最低且為7.889，說明他在這20名同學中學習狀況最差，成績一直呈下滑趨勢，老師應該采取必要的措施，幫助該同學盡快擺脫這種狀況。所以，由以上模型，可以對所有的學生的四個學期的成績進行綜合評定，來說明他們的學習狀況。優(yōu)點：模糊層次分析法可以提高學生學習情況綜合評價指標權重值的科學性和可信性，從而能夠很好地反映學生的實際學習情況，防止了傳統(tǒng)的將各項分數(shù)相加求和的不合理性做法，從而使教育管理者能更好的了解學生學習狀態(tài)，有效的實施教學管理。缺點：此方法仍一定程度受主觀因素的影響，各項指標權重確實定有待進一步的改良。模型二：成績標準化模型2.1原始成績的標準化為了使得學生之間成績的差距分布更為合理，原來成績偏低的學生經(jīng)過變換后處于中等位置，從而使他們會得到適當?shù)墓膭?，樹立信心，不斷進步，并改變負偏態(tài)分布中有較多同學集中在高分段或低分段的情況，激勵成績較低的學生努力學習取得更好的成績，有必要將負偏態(tài)分布的學生成績通過數(shù)學手段變換為正態(tài)分布，而且變換成正態(tài)分布后，還會對數(shù)據(jù)處理帶來極大的方便。由于每個學期的評價體系存在一定的波動，例如考核中不可防止的難易程度的變化等因素會使各學期之間的同一學生成績?nèi)鄙僖欢ǖ谋容^性。例如某學生第一學期的成績?yōu)?2分，排名103位。而第二學期為85分，但是考慮到總體情況，第二學期考核偏易，排名112位，導致該學生排名比第一學期下滑。為了消除這些學期之間的差異，為此將正態(tài)分布再經(jīng)過變換為標準正態(tài)分布，使得同一學生在不同學期的成績具有更可靠的可比性。由此我們最終得到了標準化的成績，稱之為“有效成績”，并運用該成績對學生的學生狀況進行評價。下面講述如何將原始成績變換為標準化的成績。第一步：原始成績的正態(tài)化及其檢驗假設x0(i=l,2,……612)為612個學生的某一學期的原始成績,由將偏態(tài)分布變換為正i態(tài)分布的對數(shù)變換法，令：y=ln(100-xo)ii此時這些學生的變換成績yi滿足正態(tài)分布。由于該函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，原始成績高的反而變換成績低，為了與傳統(tǒng)習慣保持一致，再經(jīng)過下述變換x=2y-yx，ii，此時的i為正態(tài)化之后的成績。x/從圖3的頻次直方圖可以看出i基本符合正態(tài)分布。為了進一步驗證成績分布是否為正態(tài)分布，我們用matlab進行了正態(tài)性檢驗，檢驗結果如圖4所示，從圖中可以看出實際觀測值與期望值在中央橫線的一段，坐標點落在中央橫線附近，在中央橫線的兩端則有一定的學習文檔僅供參考學習文檔僅供參考學習文檔僅供參考學習文檔僅供參考偏離，但絕大部分偏離值均小于0.05,僅有個別點偏離較大。可見，學期1?4的成績呈現(xiàn)正態(tài)分布。o■/■■■::---■7'2o■/■■■::---■7'2瀉疔哦超邏:L.i:；:-磁W筲三M羅寸壬x圖3i的頻次直方圖NormalPranahlhtyFintNormalPranahlhtyFintPJctmalftrti出IrtyPlot學習文檔僅供參考學習文檔僅供參考學習文檔僅供參考學習文檔僅供參考學習文檔僅供參考學習文檔僅供參考0-9350.99

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>1二一qdJD口”』止225335-4第三網(wǎng)正杰鶴D.10CuZilCuDOlPJcmalProbabil鵡Flot2.53鬆門學期正壽橙螫圖4四個學期的正態(tài)檢驗圖第二步：將正態(tài)分布標準化x1xf由于i已是正態(tài)分布，因而可由正態(tài)分布轉化為標準正態(tài)分布的相關公式，將i轉化到服從標準正態(tài)分布，得：ffx-xx=定義有效成績：ib2i=1,2，……612其中均值為x=1工x，=1工（2y-y）=1MyTOC\o"1-5"\h\z其中均值為ninini，i=1i=1i=1方差為2丄另（xi-x）=丄藝（y-了f萬差為o2=n-1in-1i。i-1i=1

此即我們所定義的有效成績。下表是我們應用EXCEL,由四學期原始成績計算的有效成績Xi（由于篇幅有限成績列表均只列出部分成績，計算過程及其它見附件）。圖4為有效成績x的頻次分布直方圖，可以看出它已很好的符合正態(tài)分布。i表2：有效成績學生序號學期1學期2學期3學期4總分10.6524554-0.1451857090.0196864720.0497142740.5766720.1965128-0.2937509630.893424606-0.2098942090.5862923-1.152195-1.4502229780.679121693-0.834160597-2.7574641.25424850.9494844990.2731271430.5915252063.06838550.25671820.9353728050.424352450.9882841682.60472860.5486194-1.0135578730.209256812-0.471843181-0.72752???6100.8955590.5074742410.1790072360.9804099052.562456111.99943091.6969433821.0353278580.5429677565.27467612-1.666376-0.3046388740.3161521941.600975952-0.05389此時應用有效成績已經(jīng)能夠對學生的學習情況進行公平、合理的評價，因為原始分數(shù)沒有比較的參照點，故而不可比。而有效成績以學生整體的平均分數(shù)作為比較的基準，以標準差作為單位，而且它的基本形式都是平均數(shù)為零、標準差為1。因而無論不同學期成績的平均分和標準差多么不同，一經(jīng)轉換為均值為零和標準差為1的標準分數(shù)，則不同學期成績所處的相對地位是平行的，從而有了可比性。這時學生學習狀況的評定不再是簡單的絕對分的比較，名次的提高，也即進步成為了決定學生成績的重要因素。從這些數(shù)據(jù)可以看出，有的同學總分排名較后，可有效成績排名卻來了個咸魚大翻身，一躍進入前列，而且，有的同學標準分總分甚至出現(xiàn)負分，這就說明該考生的分數(shù)低于平均分。

捕:|正杰『怕的第二宇躺也方圖檢準虎頤三翔翊茁囹；y淪仝；T匕芒捕:|正杰『怕的第二宇躺也方圖檢準虎頤三翔翊茁囹；y淪仝；T匕芒圖5匚的頻次直方圖i下面為了能夠直觀的了解不同學生成績在整體中的位置，我們進一步對成績進行等級評定。2.2基于有效成績的等級評定在將原始成績化為符合標準正態(tài)分布的數(shù)據(jù)之后，我們將建立一種評分制度一一標準化分數(shù)為基礎的成績標準化評價模型。

服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)概率曲線具有對稱性，其數(shù)據(jù)按概率落人一定范圍內(nèi)，如下表所示。范圍卩土0.5ap±1.0a卩土1.5ap±1.64a卩土1.96a卩土2.58a概率38%68%86%90%95%99%卩：為總體算術平均值b:為總體標準差實際教學中，對考試成績約定俗成地選用90分、80分、70分、60分作為等級分數(shù)線，評定成績的優(yōu)秀、良好、中等、合格與不臺格。我們根據(jù)落入卩土10Q和卩土1.64a內(nèi)外的概率來確定成績的等級，取落人卩土1.0b內(nèi)的概率為68%，落入卩土1.64a外的概率為10％，落入余下的概率為22％，則可確定優(yōu)秀、不合格各占50％，良好、臺格各占11％，中等占68%。各等級的對應分數(shù)線為概率等級分數(shù)線DP〕，經(jīng)對數(shù)變換的成績數(shù)據(jù)復原成原始分數(shù)，即為各等級的分數(shù)。經(jīng)計算可得各等級分數(shù)線表，如下所示：學期等級學期1學期2學期3學期4優(yōu)秀〔5%〕88.1388.3688.5088.90良好〔11%〕80.2582.3483.0084.00中等〔68%〕68.2569.5470.0070.68合格〔11%〕58.3058.0059.4659.50不合格〔5%〕58.30以下58.00以下59.46以下59.50以下學習文檔僅供參考學習文檔僅供參考學習文檔僅供參考學習文檔僅供參考以第一學期的為例，原始分數(shù)高于88.13的認定為優(yōu)秀，而低于60.30的認定為不合格，但在這種評定標準中優(yōu)秀與不合格所占比例較小，大部分的人集中在中等層次，從來相對于一般的評定標準更多的人上升到了合格或中等。但這一評定標準是建立在整體成績?yōu)檎龖B(tài)分布的基礎上的，從而當出現(xiàn)因為試卷人為的過于簡單而了導致大量學生的成績偏高時，運用該評定方法則可以提高不合格或合格的分數(shù)線，維持整體的正態(tài)分布，從而保證了評價的合理、公平。問題二：學生成績總體分析參考附件數(shù)據(jù)，運用Matlab對數(shù)據(jù)進行圖形處理，得出下列圖:各學期分數(shù)統(tǒng)計直方圖和其正態(tài)分布擬合曲線學期一100908070605040學期一100908070605040302010102030405060708090100110學期二學期三學期四由上圖可知，四學期的成績整體符合正態(tài)分布，對其進行正態(tài)性檢驗：學期分數(shù)分布正態(tài)性檢驗圖學期一學期二Data學期三學期四學期一學期二Data學期三學期四由上圖可知，這612個離散點非?？拷鼉A斜直線段，圖形為線性的，因此可得出結論：學生的成績整體近似服從正態(tài)分布，即“中間大，兩頭小”，根據(jù)教育學和統(tǒng)計學相關理論學生的成績應接近正態(tài)分布，即靠近平均成績的學生比較多，成績特別優(yōu)秀或者特別差的人很少，這就是621名學生成績的整體成績情況。模型評價問題一中，模型一：模糊層次分析法模糊層次分析法可以提高學生學習情況綜合評價指標權重值的科學性和可信性，從而能夠很好地反映學生的實際學習情況，防止了傳統(tǒng)的將各項分數(shù)相加求和的不合理性做法，從而使教育