客觀、合理的評(píng)價(jià)學(xué)生綜合學(xué)習(xí)情況的數(shù)學(xué)模型

學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考合肥學(xué)院第六屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽論文?團(tuán)隊(duì)編號(hào)：?選擇賽題：【A】【B】注：用2B鉛筆將所選擇的題目涂黑?論文題目：客觀、合理的評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)狀況?參賽隊(duì)員個(gè)人信息：性別系別班級(jí)學(xué)生證號(hào)簽名丁學(xué)明男數(shù)理系10級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(1)班1007021017汪於先男數(shù)理系09級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(1)班0907021042張躍女?dāng)?shù)理系09級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(1)班0907021038注：前五欄為四號(hào)宋體，最后一欄用黑色中性筆簽名?？陀^、合理的評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)狀況摘要：測(cè)試成績對(duì)于學(xué)生、教師和教育管理者都很重要。傳統(tǒng)的對(duì)學(xué)生成績的評(píng)價(jià)，只是單純根據(jù)學(xué)生的“絕對(duì)分?jǐn)?shù)”或者“絕對(duì)排名”作為評(píng)價(jià)，這種評(píng)價(jià)方法只能表達(dá)量化出學(xué)生的基礎(chǔ)，而不能表達(dá)量化出學(xué)生學(xué)習(xí)的穩(wěn)定性、潛力、變化趨勢(shì)等等指標(biāo)。隨著教學(xué)改革的不斷深人,科學(xué)評(píng)價(jià)教學(xué)質(zhì)量極為重要?？荚囀菣z驗(yàn)教學(xué)質(zhì)量的重要手段。然而,考試成績能否真實(shí)地反映教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生水平試題是否科學(xué)、準(zhǔn)確,它們?cè)诙啻蟪潭壬鲜怯行У暮涂煽康?但還是局限的，有失公允的。本文通過科學(xué)合理的分析評(píng)價(jià)方法，不再單純依據(jù)學(xué)生的“絕對(duì)分?jǐn)?shù)”評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)狀況做出全面、客觀、合理的整體評(píng)價(jià)。問題一：對(duì)于全面、客觀、合理的評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，我們采用了二個(gè)模型：1、模糊層次分析模型：首先，為了表達(dá)學(xué)生成績進(jìn)步在整體評(píng)價(jià)中的作用，學(xué)生每個(gè)學(xué)期的成績和進(jìn)步情況。通過模糊層次分析方法得出最后求出各個(gè)因素的權(quán)重向量為：W二(0.024,0.040,0.069,0.117,0.188,0.188,0.375)接著利用模糊層次分析方法得出學(xué)生i學(xué)習(xí)狀況的綜合評(píng)定指標(biāo)如下：C二k*x+k*x+k*x+k*x+k*x+k*x+k*xi11i22i33i44i55i66i77i2、成績標(biāo)準(zhǔn)化模型：采用對(duì)數(shù)變換將負(fù)偏態(tài)的成績分布正態(tài)化，并用Matlab進(jìn)行了正態(tài)檢驗(yàn)。從而學(xué)生成績的差距分布更為合理，成績偏低的學(xué)生變換后將處于中等位置，得到適當(dāng)?shù)墓膭?lì)，改變了負(fù)偏態(tài)分布中較多學(xué)生成績集中在高分段或低分段的現(xiàn)象。然后，將正態(tài)分布?xì)w一化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，消除每個(gè)學(xué)期評(píng)價(jià)考核體系的不穩(wěn)定性因素，得到每個(gè)學(xué)生各學(xué)期的“有效成績”。并基于"有效成績"提出了等級(jí)評(píng)定子模型，確定了等級(jí)分?jǐn)?shù)線，更清楚的說明了每個(gè)學(xué)生在整體是的位置。問題二，要求對(duì)所有同學(xué)的成績進(jìn)行總體分析。根據(jù)對(duì)分析模型的總結(jié)，運(yùn)用描述統(tǒng)計(jì)分析的方法，經(jīng)過Matlab處理得到各學(xué)期分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)直方圖和其正態(tài)分布擬合曲線，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)。通過結(jié)果顯示，我們得知，這612名學(xué)生的整體成績近似服從正態(tài)分布。通過建立的模型，進(jìn)行求解時(shí)，采用電腦抽樣的方法，進(jìn)行模型算例的計(jì)算，得到對(duì)不同的學(xué)生的綜合評(píng)價(jià)結(jié)果，有的同學(xué)總體成績較高，但相對(duì)不穩(wěn)定，總體評(píng)價(jià)為良好，并預(yù)測(cè)未來成績?nèi)匀粫?huì)有一定的波動(dòng)；有的同學(xué)進(jìn)步較大，但基礎(chǔ)較差，綜合評(píng)價(jià)分析的結(jié)果也是良好，預(yù)測(cè)未來成績可能還會(huì)有較大幅度的提高；還有總體成績很一般，但一直在退步，且退步的幅度也比較大，綜合分析評(píng)價(jià)的結(jié)果為差，并預(yù)測(cè)在未來仍可能有繼續(xù)下降的趨勢(shì)等多種情況。關(guān)鍵詞：模糊層次分析成績標(biāo)準(zhǔn)化統(tǒng)計(jì)分析MATLAB問題重述現(xiàn)行的評(píng)價(jià)方法相比照較局限、主觀、有失公允，只能對(duì)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)好的學(xué)生產(chǎn)生激勵(lì)作用，而不能對(duì)所有學(xué)生尤其是后進(jìn)學(xué)生起到激勵(lì)作用，這種評(píng)價(jià)弊端開始被越來越多的人關(guān)注。評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的目的是激勵(lì)優(yōu)秀學(xué)生努力學(xué)習(xí)取得更好的成績，同時(shí)鼓勵(lì)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的學(xué)生樹立信心，不斷進(jìn)步。然而，現(xiàn)行的評(píng)價(jià)方式單純的根據(jù)“絕對(duì)分?jǐn)?shù)”評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，忽略了基礎(chǔ)條件的差異；只對(duì)基礎(chǔ)條件較好的學(xué)生起到促進(jìn)作用，對(duì)基礎(chǔ)條件相對(duì)薄弱的學(xué)生很難起到鼓勵(lì)作用。附件給出了612名學(xué)生連續(xù)四個(gè)學(xué)期的綜合成績。結(jié)合附件所給的數(shù)據(jù)，用數(shù)學(xué)建模的方法，對(duì)附件所個(gè)的學(xué)生做評(píng)價(jià)并排序。并根據(jù)你的評(píng)價(jià)結(jié)果對(duì)附件所給的學(xué)生做聚類或其它分析。問題分析當(dāng)代素質(zhì)教育體制下，評(píng)價(jià)學(xué)生的素質(zhì)只是根據(jù)“絕對(duì)分?jǐn)?shù)”，這種方法對(duì)于一些學(xué)習(xí)較差但仍努力學(xué)習(xí)的同學(xué)不免是一種打擊，因此，不能很好的反映一個(gè)學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)狀況。怎樣正確地、科學(xué)地評(píng)價(jià)學(xué)生考試成績,對(duì)于學(xué)校教學(xué)工作至關(guān)重要。想要客觀、合理的評(píng)價(jià)學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)狀況，首先要進(jìn)行綜合的學(xué)習(xí)狀況分析，對(duì)于問題二，參考所給數(shù)據(jù)，由于數(shù)據(jù)為離散性的，且數(shù)據(jù)較多，并且由實(shí)際經(jīng)驗(yàn)可預(yù)知，每學(xué)期的成績分布可能為正態(tài)分布。因此，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行有關(guān)的處理，運(yùn)用Matlab對(duì)其進(jìn)行直方圖的統(tǒng)計(jì)以及正態(tài)曲線的擬和，并進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)，通過結(jié)果，分析學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況。之后，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況進(jìn)行客觀、合理的綜合評(píng)價(jià)，針對(duì)這一問題，本文采用兩種評(píng)價(jià)方法為：模糊評(píng)價(jià)和動(dòng)態(tài)成績?cè)u(píng)價(jià)。模糊評(píng)價(jià)中，對(duì)所給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)處理，通過影響學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的主要因素〔即：標(biāo)準(zhǔn)分，標(biāo)準(zhǔn)差，進(jìn)步率〕，來對(duì)學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)，對(duì)因素進(jìn)行相關(guān)權(quán)重，并對(duì)每個(gè)因素進(jìn)行相關(guān)處理分析，最終可以得到評(píng)價(jià)向量。動(dòng)態(tài)成績?cè)u(píng)價(jià)中，通過對(duì)“絕對(duì)分?jǐn)?shù)”和基礎(chǔ)差異因素進(jìn)行動(dòng)態(tài)求和，得到學(xué)生的最終綜合的動(dòng)態(tài)成績，根據(jù)此成績對(duì)學(xué)生進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。求解過程中，由于有零分?jǐn)?shù)據(jù)的存在，且數(shù)據(jù)組數(shù)目相對(duì)于異樣數(shù)據(jù)較大，對(duì)于異樣數(shù)據(jù)進(jìn)行排除處理，總體情況不會(huì)受到影響。問題假設(shè)1、在過去四學(xué)期以及未來的兩學(xué)期的考試中不會(huì)有人作弊。2、附件中說給數(shù)據(jù)中的異樣數(shù)據(jù)排除后，整體情況不會(huì)發(fā)生變動(dòng)。3、每個(gè)學(xué)生都處于一個(gè)變動(dòng)的狀態(tài)，在這一狀態(tài)下，變化幅度快慢的變化是相對(duì)漸變的，不會(huì)出現(xiàn)驟變的現(xiàn)象，并且是有規(guī)律可循的。3、在未來的兩學(xué)期內(nèi)，學(xué)生數(shù)量不會(huì)有較大的變化，從而保證整體情況的穩(wěn)定性，使得對(duì)總體的評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)不會(huì)發(fā)生較大的偏差。學(xué)?；镜慕虒W(xué)基礎(chǔ)條件不會(huì)發(fā)生很大規(guī)模的改變，即不會(huì)增強(qiáng)或減少師資力量教學(xué)設(shè)施等，保證不會(huì)存在整體教學(xué)水平的變動(dòng)而對(duì)個(gè)體的成績產(chǎn)生較大的影響。4、數(shù)據(jù)擬和曲線反映情況準(zhǔn)確、可靠。5、學(xué)生的學(xué)習(xí)情況是連續(xù)的，不存在休學(xué)，缺考等狀況。符號(hào)說明xn學(xué)生第n學(xué)期的成績n=1,2,3,4xn學(xué)生每學(xué)期的進(jìn)步程度n=5,6,7Zi學(xué)生i的綜合評(píng)定指數(shù)C1為實(shí)際學(xué)習(xí)成績C2為學(xué)習(xí)成績進(jìn)步度Sij表示第i個(gè)學(xué)生第j學(xué)期的成績Tij表示第i個(gè)學(xué)生第j學(xué)期的進(jìn)步度模型的分析、建立與求解問題一：評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況模型一：模糊層次分析模型

1.模型準(zhǔn)備：模糊層次分析法采用0.1?0.9標(biāo)度法〔見附錄1〕,能夠準(zhǔn)確地描述任意兩個(gè)因素之間關(guān)于某準(zhǔn)則的相對(duì)重要程度。且由優(yōu)先判斷矩陣改造成的模糊一致矩陣滿足一致性條件，無須再做一致性檢驗(yàn)，另外模糊層次分析法還解決了解的收斂速度及精度問題，具體步驟如下(1).建立優(yōu)先關(guān)系矩陣。優(yōu)先關(guān)系矩陣是每一層次中的因素針對(duì)于上層因素的相對(duì)重要性兩兩比較建立的矩陣，也稱為模糊互補(bǔ)矩陣，即、rin廠r...、rinii.R=(r)=:?.r丿nnijnr丿nnV1…其中r..表示下層第i個(gè)元素相對(duì)于第j個(gè)元素的模糊關(guān)系，采用0.1-O.9標(biāo)度給予數(shù)量表示，ij且r+r=1。ijji(2).將優(yōu)先關(guān)系矩陣改造成模糊一致矩陣。記r=￡r,i=1,2,…,n,做變換TOC\o"1-5"\h\ziikk=1r—rr=-j+0.5，將優(yōu)先關(guān)系矩陣改造為模糊一致矩陣。ij2n111p/.vcn—1.根據(jù)w=——+Xr,(i=1,2,…,n),a>，推導(dǎo)出各因素權(quán)重值。in2anaij2j=1.將各層次間的重要性權(quán)值轉(zhuǎn)化為相對(duì)于總目標(biāo)的綜合權(quán)重。.根據(jù)考評(píng)結(jié)果得出優(yōu)劣次序。模型建立：(一).確立評(píng)價(jià)指標(biāo)體系。將學(xué)生學(xué)習(xí)情況的評(píng)價(jià)層定為目標(biāo)層，評(píng)價(jià)中主要涉及的兩個(gè)方面定為準(zhǔn)則層，以此建立如下表所示遞節(jié)層次結(jié)構(gòu)。表1學(xué)生學(xué)習(xí)狀況評(píng)價(jià)指標(biāo)體系目標(biāo)層準(zhǔn)則層指標(biāo)層學(xué)生學(xué)習(xí)情況綜合評(píng)價(jià)A學(xué)生實(shí)際成績B1第一學(xué)期成績c1第二學(xué)期成績C2第三學(xué)期成績C3第四學(xué)期成績C4學(xué)生成績進(jìn)步情況B2第一學(xué)期進(jìn)步度C5第一學(xué)期進(jìn)步度C6第一學(xué)期進(jìn)步度C7(二).構(gòu)造優(yōu)先關(guān)系矩陣并計(jì)算各因素權(quán)重值。在層次結(jié)構(gòu)表的基礎(chǔ)上建立優(yōu)先關(guān)系矩陣，然后將優(yōu)先關(guān)系矩陣改造為模糊一致矩陣如下：A-B的優(yōu)先關(guān)系矩陣:0.3'0.5丿(0.50.4)A-B模糊一致矩陣：c八：10.60.5丿'0.50.60.40.50.30.40.2、0.3B-C的優(yōu)先關(guān)系矩陣：10.70.60.50.4、0.80.70.60.5丿(0.50.450.40.350.550.50.450.40.60.550.50.45(0.50.50.3「(0.50.50.4]B2-C的優(yōu)先關(guān)系矩陣：0.50.50.3B2C的模糊-致矩陣：0.50.50.4[0.70.70.5丿[0.60.60.5丿Bi-C模糊一致矩陣:0.650.60.550.5丿由模型準(zhǔn)備中的步驟〔3〕中的計(jì)算公式，我們?nèi)=(n-l)/2,可以算的B層相對(duì)于A層,更因素權(quán)值為叮(0.4‘0.6),C層相對(duì)于B層，各指標(biāo)相對(duì)應(yīng)上層相應(yīng)因素的權(quán)值分別為:w=(0.2000,0.2333,0.2667,0.3000)，w=(0?3000，0.3000，0.4000)11121C0.23330.09332C30.26670.1067C0.30000.12004C0.30000.18005C0.30000.18006C70.40000.2400對(duì)于學(xué)生i學(xué)習(xí)狀況的綜合評(píng)定定量表示如下:C二k*x+k*x+k*x+k*x+k*x+k*x+k*xi11i22i33i44i55i66i77i〔四〕.再由各項(xiàng)指標(biāo)結(jié)合附件中的數(shù)據(jù)以前20個(gè)學(xué)生為例，對(duì)他們成績的綜合評(píng)定如下表:學(xué)生序號(hào)一學(xué)期成績二學(xué)期成績?nèi)龑W(xué)期成績四學(xué)期成績進(jìn)步度2進(jìn)步度3進(jìn)步度4綜合得分17974.82574.2976.98-4.175-0.5352.6930.263275.62573.40357180.59127574.845-2.22147.1877-5.746329.994362.120312559.21428668.50188768.865-2.9069.28760.3631127.303482.7583.20392976.50660480.870.45393-6.69734.363432.174576.183.11607177.57547283.2957.01607-5.54065.7195333.754678.27565.29464376.0472.49-12.9810.7454-3.5527.912776.32575.49285763.43566.505-0.8321-12.0583.0726.315860.9558.23214355.90094316.5-2.7179-2.3312-39.4017.889969.1576.35714371.05495373.647.20714-5.30222.5850530.0381075.17569.52678675.33679270.19-5.64825.81001-5.146827.7561184.07582.28928681.57924568.18-1.7857-0.71-13.39927.6251263.168.92857169.26886868.275.828570.3403-0.998927.9331377.162573.12578.9281.925-4.03755.7953.00532.2851476.57575.41785774.69386874.565-1.1571-0.724-0.128929.7111568.37571.1576.10377478.4352.7754.953772.3312331.5911670.570.78571474.5682.0450.285713.774297.48532.5721775.178.34285782.37141578.1653.242864.02856-4.206431.7861853.552.37142963.28563.615-1.128610.91360.3325.3931967.02572.48214375.08891573.995.457142.60677-1.098930.2032083.580.03928677.64572.9-3.4607-2.3943-4.74528.988由上表的計(jì)算結(jié)果可看出，5號(hào)同學(xué)的綜合得分最高，為33.754，說明其學(xué)習(xí)狀況在這20名同學(xué)中最好，而且其進(jìn)步度逐漸增大，說明其學(xué)習(xí)越來越努力，成績不斷在提高。而8號(hào)同學(xué)的綜合得分最低且為7.889，說明他在這20名同學(xué)中學(xué)習(xí)狀況最差，成績一直呈下滑趨勢(shì)，老師應(yīng)該采取必要的措施，幫助該同學(xué)盡快擺脫這種狀況。所以，由以上模型，可以對(duì)所有的學(xué)生的四個(gè)學(xué)期的成績進(jìn)行綜合評(píng)定，來說明他們的學(xué)習(xí)狀況。優(yōu)點(diǎn)：模糊層次分析法可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)情況綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重值的科學(xué)性和可信性，從而能夠很好地反映學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況，防止了傳統(tǒng)的將各項(xiàng)分?jǐn)?shù)相加求和的不合理性做法，從而使教育管理者能更好的了解學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)，有效的實(shí)施教學(xué)管理。缺點(diǎn)：此方法仍一定程度受主觀因素的影響，各項(xiàng)指標(biāo)權(quán)重確實(shí)定有待進(jìn)一步的改良。模型二：成績標(biāo)準(zhǔn)化模型2.1原始成績的標(biāo)準(zhǔn)化為了使得學(xué)生之間成績的差距分布更為合理，原來成績偏低的學(xué)生經(jīng)過變換后處于中等位置，從而使他們會(huì)得到適當(dāng)?shù)墓膭?lì)，樹立信心，不斷進(jìn)步，并改變負(fù)偏態(tài)分布中有較多同學(xué)集中在高分段或低分段的情況，激勵(lì)成績較低的學(xué)生努力學(xué)習(xí)取得更好的成績，有必要將負(fù)偏態(tài)分布的學(xué)生成績通過數(shù)學(xué)手段變換為正態(tài)分布，而且變換成正態(tài)分布后，還會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)處理帶來極大的方便。由于每個(gè)學(xué)期的評(píng)價(jià)體系存在一定的波動(dòng)，例如考核中不可防止的難易程度的變化等因素會(huì)使各學(xué)期之間的同一學(xué)生成績?nèi)鄙僖欢ǖ谋容^性。例如某學(xué)生第一學(xué)期的成績?yōu)?2分，排名103位。而第二學(xué)期為85分，但是考慮到總體情況，第二學(xué)期考核偏易，排名112位，導(dǎo)致該學(xué)生排名比第一學(xué)期下滑。為了消除這些學(xué)期之間的差異，為此將正態(tài)分布再經(jīng)過變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，使得同一學(xué)生在不同學(xué)期的成績具有更可靠的可比性。由此我們最終得到了標(biāo)準(zhǔn)化的成績，稱之為“有效成績”，并運(yùn)用該成績對(duì)學(xué)生的學(xué)生狀況進(jìn)行評(píng)價(jià)。下面講述如何將原始成績變換為標(biāo)準(zhǔn)化的成績。第一步：原始成績的正態(tài)化及其檢驗(yàn)假設(shè)x0(i=l,2,……612)為612個(gè)學(xué)生的某一學(xué)期的原始成績,由將偏態(tài)分布變換為正i態(tài)分布的對(duì)數(shù)變換法，令：y=ln(100-xo)ii此時(shí)這些學(xué)生的變換成績yi滿足正態(tài)分布。由于該函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，原始成績高的反而變換成績低，為了與傳統(tǒng)習(xí)慣保持一致，再經(jīng)過下述變換x=2y-yx，ii，此時(shí)的i為正態(tài)化之后的成績。x/從圖3的頻次直方圖可以看出i基本符合正態(tài)分布。為了進(jìn)一步驗(yàn)證成績分布是否為正態(tài)分布，我們用matlab進(jìn)行了正態(tài)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如圖4所示，從圖中可以看出實(shí)際觀測(cè)值與期望值在中央橫線的一段，坐標(biāo)點(diǎn)落在中央橫線附近，在中央橫線的兩端則有一定的學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考偏離，但絕大部分偏離值均小于0.05,僅有個(gè)別點(diǎn)偏離較大?？梢?，學(xué)期1?4的成績呈現(xiàn)正態(tài)分布。o■/■■■::---■7'2o■/■■■::---■7'2瀉疔哦超邏:L.i:；:-磁W筲三M羅寸壬x圖3i的頻次直方圖NormalPranahlhtyFintNormalPranahlhtyFintPJctmalftrti出IrtyPlot學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考0-9350.99

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>1二一qdJD口”』止225335-4第三網(wǎng)正杰鶴D.10CuZilCuDOlPJcmalProbabil鵡Flot2.53鬆門學(xué)期正壽橙螫圖4四個(gè)學(xué)期的正態(tài)檢驗(yàn)圖第二步：將正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化x1xf由于i已是正態(tài)分布，因而可由正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的相關(guān)公式，將i轉(zhuǎn)化到服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，得：ffx-xx=定義有效成績：ib2i=1,2，……612其中均值為x=1工x，=1工（2y-y）=1MyTOC\o"1-5"\h\z其中均值為ninini，i=1i=1i=1方差為2丄另（xi-x）=丄藝（y-了f萬差為o2=n-1in-1i。i-1i=1

此即我們所定義的有效成績。下表是我們應(yīng)用EXCEL,由四學(xué)期原始成績計(jì)算的有效成績Xi（由于篇幅有限成績列表均只列出部分成績，計(jì)算過程及其它見附件）。圖4為有效成績x的頻次分布直方圖，可以看出它已很好的符合正態(tài)分布。i表2：有效成績學(xué)生序號(hào)學(xué)期1學(xué)期2學(xué)期3學(xué)期4總分10.6524554-0.1451857090.0196864720.0497142740.5766720.1965128-0.2937509630.893424606-0.2098942090.5862923-1.152195-1.4502229780.679121693-0.834160597-2.7574641.25424850.9494844990.2731271430.5915252063.06838550.25671820.9353728050.424352450.9882841682.60472860.5486194-1.0135578730.209256812-0.471843181-0.72752???6100.8955590.5074742410.1790072360.9804099052.562456111.99943091.6969433821.0353278580.5429677565.27467612-1.666376-0.3046388740.3161521941.600975952-0.05389此時(shí)應(yīng)用有效成績已經(jīng)能夠?qū)W(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行公平、合理的評(píng)價(jià)，因?yàn)樵挤謹(jǐn)?shù)沒有比較的參照點(diǎn)，故而不可比。而有效成績以學(xué)生整體的平均分?jǐn)?shù)作為比較的基準(zhǔn)，以標(biāo)準(zhǔn)差作為單位，而且它的基本形式都是平均數(shù)為零、標(biāo)準(zhǔn)差為1。因而無論不同學(xué)期成績的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差多么不同，一經(jīng)轉(zhuǎn)換為均值為零和標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，則不同學(xué)期成績所處的相對(duì)地位是平行的，從而有了可比性。這時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的評(píng)定不再是簡單的絕對(duì)分的比較，名次的提高，也即進(jìn)步成為了決定學(xué)生成績的重要因素。從這些數(shù)據(jù)可以看出，有的同學(xué)總分排名較后，可有效成績排名卻來了個(gè)咸魚大翻身，一躍進(jìn)入前列，而且，有的同學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分總分甚至出現(xiàn)負(fù)分，這就說明該考生的分?jǐn)?shù)低于平均分。

捕:|正杰『怕的第二宇躺也方圖檢準(zhǔn)虎頤三翔翊茁囹；y淪仝；T匕芒捕:|正杰『怕的第二宇躺也方圖檢準(zhǔn)虎頤三翔翊茁囹；y淪仝；T匕芒圖5匚的頻次直方圖i下面為了能夠直觀的了解不同學(xué)生成績?cè)谡w中的位置，我們進(jìn)一步對(duì)成績進(jìn)行等級(jí)評(píng)定。2.2基于有效成績的等級(jí)評(píng)定在將原始成績化為符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)據(jù)之后，我們將建立一種評(píng)分制度一一標(biāo)準(zhǔn)化分?jǐn)?shù)為基礎(chǔ)的成績標(biāo)準(zhǔn)化評(píng)價(jià)模型。

服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)概率曲線具有對(duì)稱性，其數(shù)據(jù)按概率落人一定范圍內(nèi)，如下表所示。范圍卩土0.5ap±1.0a卩土1.5ap±1.64a卩土1.96a卩土2.58a概率38%68%86%90%95%99%卩：為總體算術(shù)平均值b:為總體標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)際教學(xué)中，對(duì)考試成績約定俗成地選用90分、80分、70分、60分作為等級(jí)分?jǐn)?shù)線，評(píng)定成績的優(yōu)秀、良好、中等、合格與不臺(tái)格。我們根據(jù)落入卩土10Q和卩土1.64a內(nèi)外的概率來確定成績的等級(jí)，取落人卩土1.0b內(nèi)的概率為68%，落入卩土1.64a外的概率為10％，落入余下的概率為22％，則可確定優(yōu)秀、不合格各占50％，良好、臺(tái)格各占11％，中等占68%。各等級(jí)的對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)線為概率等級(jí)分?jǐn)?shù)線DP〕，經(jīng)對(duì)數(shù)變換的成績數(shù)據(jù)復(fù)原成原始分?jǐn)?shù)，即為各等級(jí)的分?jǐn)?shù)。經(jīng)計(jì)算可得各等級(jí)分?jǐn)?shù)線表，如下所示：學(xué)期等級(jí)學(xué)期1學(xué)期2學(xué)期3學(xué)期4優(yōu)秀〔5%〕88.1388.3688.5088.90良好〔11%〕80.2582.3483.0084.00中等〔68%〕68.2569.5470.0070.68合格〔11%〕58.3058.0059.4659.50不合格〔5%〕58.30以下58.00以下59.46以下59.50以下學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考學(xué)習(xí)文檔僅供參考以第一學(xué)期的為例，原始分?jǐn)?shù)高于88.13的認(rèn)定為優(yōu)秀，而低于60.30的認(rèn)定為不合格，但在這種評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)中優(yōu)秀與不合格所占比例較小，大部分的人集中在中等層次，從來相對(duì)于一般的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)更多的人上升到了合格或中等。但這一評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)是建立在整體成績?yōu)檎龖B(tài)分布的基礎(chǔ)上的，從而當(dāng)出現(xiàn)因?yàn)樵嚲砣藶榈倪^于簡單而了導(dǎo)致大量學(xué)生的成績偏高時(shí)，運(yùn)用該評(píng)定方法則可以提高不合格或合格的分?jǐn)?shù)線，維持整體的正態(tài)分布，從而保證了評(píng)價(jià)的合理、公平。問題二：學(xué)生成績總體分析參考附件數(shù)據(jù)，運(yùn)用Matlab對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行圖形處理，得出下列圖:各學(xué)期分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)直方圖和其正態(tài)分布擬合曲線學(xué)期一100908070605040學(xué)期一100908070605040302010102030405060708090100110學(xué)期二學(xué)期三學(xué)期四由上圖可知，四學(xué)期的成績整體符合正態(tài)分布，對(duì)其進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)：學(xué)期分?jǐn)?shù)分布正態(tài)性檢驗(yàn)圖學(xué)期一學(xué)期二Data學(xué)期三學(xué)期四學(xué)期一學(xué)期二Data學(xué)期三學(xué)期四由上圖可知，這612個(gè)離散點(diǎn)非?？拷鼉A斜直線段，圖形為線性的，因此可得出結(jié)論：學(xué)生的成績整體近似服從正態(tài)分布，即“中間大，兩頭小”，根據(jù)教育學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)相關(guān)理論學(xué)生的成績應(yīng)接近正態(tài)分布，即靠近平均成績的學(xué)生比較多，成績特別優(yōu)秀或者特別差的人很少，這就是621名學(xué)生成績的整體成績情況。模型評(píng)價(jià)問題一中，模型一：模糊層次分析法模糊層次分析法可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)情況綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重值的科學(xué)性和可信性，從而能夠很好地反映學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況，防止了傳統(tǒng)的將各項(xiàng)分?jǐn)?shù)相加求和的不合理性做法，從而使教育