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文檔簡介
定理3注:
1.二次型經(jīng)可逆變換
x
Cy后,
其秩不變,
但f
的矩陣由A變?yōu)锽
CT
AC;任給可逆矩陣C
,令B
CT
AC
,若A為對(duì)稱矩陣,則B
也為對(duì)稱矩陣,且r(B)
r(A).證A
為對(duì)稱矩陣,即有A
AT
,于是
(CT
AC
)T
CT
AT
C
CT
AC
B,BT即B
為對(duì)稱矩陣.
B
CT
AC
,又
A
(CT
)
1
BC
1
r(B)
r(
AC
)
r(
A),
r(
A)
r(BC
1
)
r(B).
r(A)
r(B).證畢.定理3注:
1.二次型經(jīng)可逆變換
x
Cy后,
其秩不變,
但f
的矩陣由A變?yōu)锽
CT
AC;任給可逆矩陣C
,令B
CT
AC
,若A為對(duì)稱矩陣,則B
也為對(duì)稱矩陣,且r(B)
r(A).定理3任給可逆矩陣C
,令B
CT
AC
,若A為對(duì)稱矩陣,則B
也為對(duì)稱矩陣,且r(B)
r(A).注:1.二次型經(jīng)可逆變換x
Cy后,其秩不變,但f的矩陣由A
變?yōu)锽
CT
AC;2.要使二次型f
經(jīng)可逆變換x
Cy
變成標(biāo)準(zhǔn)形,即要使CT
AC
成為對(duì)角矩陣,即222
221
1n
nk
y
.k
y
k
y
yT
CT
ACy
(
y1
,
y2
,
,
yn)
n
n
k
y
y2
y1
k1k2
定理4ni
,
j
1任給二次型
f
aij
xi
x
j
(a
ji
aij
),總有正交變換
x
Py,
使
f
化為標(biāo)準(zhǔn)形2221
1
2
2
n
nf
y
y
y
,其中1
,
2
,
,
n
是f
的矩陣A
(aij
)的特征值.證明提示:由于對(duì)任意的實(shí)對(duì)稱矩陣A,總存在正交矩
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