計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)課件2第七講異方差性

第八講異方差性Heteroskedasticity一、異方差性的概念二、異方差性的后果三、異方差性的檢驗(yàn)四、解決異方差性的辦法——加權(quán)最小二乘法(WLS)五、案例對(duì)線性回歸模型提出了若干基本假設(shè)，只有在滿足這些基本假設(shè)的情況下，應(yīng)用普通最小二乘法才能得到無偏的、有效的參數(shù)估計(jì)量。但是，在實(shí)際的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)問題中，完全滿足這些基本假設(shè)的情況并不多見。如果違背了某一項(xiàng)基本假設(shè)，那么應(yīng)用普通最小二乘法估計(jì)模型就不能得到無偏的、有效的參數(shù)估計(jì)量，OLS法失效，這就需要發(fā)展新的方法估計(jì)模型。當(dāng)隨機(jī)誤差項(xiàng)違背同方差性假設(shè)時(shí)，即認(rèn)為存在異方差性問題。說

明一、異方差性的概念1、異方差的概念對(duì)于模型k

ki

i

X

Y

X

Xi

0

1

1i

2

2i（i=1,2,…,n）同方差性假設(shè)為i2

（i=1,2,…,n）如果出現(xiàn)iVar(

Var(

)

)

2i（i=1,2,…,n）即對(duì)于不同的樣本點(diǎn)i，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差不再是常數(shù)，則認(rèn)為出現(xiàn)了異方差性。這里需要再次重復(fù)強(qiáng)調(diào)的是，對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)i，隨機(jī)誤差項(xiàng)

i都是隨機(jī)變量，服從均值為0的正態(tài)分布；所謂異方差性，是指這些隨機(jī)變量服從不同方差的正態(tài)分布。同方差性異方差性2、異方差的類型同方差性假定的意義是指每個(gè)

i圍繞其0均值的變化，并不隨解釋變量Xi的變化而變化，不論解釋變量觀測(cè)值是大還是小，每個(gè)

i的方差保持相同，即

i2=常數(shù)在異方差的情況下，

i2已不是常數(shù)，它隨Xi的變化而變化，即

i2=f(Xi)異方差一般可歸結(jié)為三種類型：?jiǎn)握{(diào)遞增型：

i2隨Xi的增大而增大；單調(diào)遞減型：

i2隨Xi的增大而減小;復(fù)

雜

型：

i2與Xi的變化呈復(fù)雜形式。3、實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中的異方差性例如：在截面資料下研究居民家庭的儲(chǔ)蓄行為Yi=

0+

1Xi+

iYi和Xi分別為第i個(gè)家庭的儲(chǔ)蓄額和可支配收入。在該模型中，

i的同方差假定往往不符合實(shí)際情況。對(duì)高收入家庭來說，儲(chǔ)蓄的差異較大；低收入家庭的儲(chǔ)蓄則更有規(guī)律性（如為某一特定目的而儲(chǔ)蓄），差異較小。因此，

i的方差往往隨Xi的增加而增加，呈單調(diào)遞增型變化。例如：以絕對(duì)收入假設(shè)為理論假設(shè)、以截面數(shù)據(jù)作樣本建立居民消費(fèi)函數(shù)：Ci=

0+

1Yi+

i將居民按照收入等距離分成n組，取組平均數(shù)為樣本觀測(cè)值。一般情況下：居民收入服從正態(tài)分布，處于中等收入組中的人數(shù)最多，處于兩端收入組中的人數(shù)最少。而人數(shù)多的組平均數(shù)的誤差小，人數(shù)少的組平均數(shù)的誤差大。所以樣本觀測(cè)值的觀測(cè)誤差隨著解釋變量觀測(cè)值的增大而先減后增。如果樣本觀測(cè)值的觀測(cè)誤差構(gòu)成隨機(jī)誤差項(xiàng)的主要部分，那么對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差隨著解釋變量觀測(cè)值的增大而先減后增，出現(xiàn)了異方差性。例如：以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型Yi=A

1

K

2

L

3e

ii

i

i產(chǎn)出量為被解釋變量，選擇資本、勞動(dòng)、技術(shù)等投入要素為解釋變量，那么每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對(duì)產(chǎn)出量的影響被包含在隨機(jī)誤差項(xiàng)中。由于每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對(duì)產(chǎn)出量的影響程度不同，造成了隨機(jī)誤差項(xiàng)的異方差性。這時(shí)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差并不隨某一個(gè)解釋變量觀測(cè)值的變化而呈規(guī)律性變化，為復(fù)雜型的一種。二、異方差性的后果1、參數(shù)估計(jì)量非有效即同方差和無序列相關(guān)條件。當(dāng)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型出現(xiàn)異方差性時(shí)，其普通最小二乘法參數(shù)估計(jì)量仍然具有無偏性，但不具有有效性。而且，在大樣本情況下，參數(shù)估計(jì)量仍然不具有漸近有效性，這就是說參數(shù)估計(jì)量不具有一致性。因?yàn)樵谟行宰C明中利用了

2E(

)

I

i

ji)

0,

i

jCov(

,

Var(

)

2

,

i

1,2,

,

n2、變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義在變量的顯著性檢驗(yàn)中，t統(tǒng)計(jì)量（j=0,1,2,…,k）包含有隨機(jī)誤差項(xiàng)共同的方差

2

。

如果出現(xiàn)了異方差性，將使t統(tǒng)計(jì)量失真，并使某些原本顯著的解釋變量可能無法通過顯著性檢驗(yàn)，從而使t檢驗(yàn)失去意義。jjjj

j

j

j

j

jt

jj

2

(

X

X

)

1

?

2

cSe(

?

)

?

?3、模型的預(yù)測(cè)失效一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)；另一方面，在預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間中也包含有隨機(jī)誤差項(xiàng)共同的方差

2

。

所以，當(dāng)模型出現(xiàn)異方差性時(shí)，它的預(yù)測(cè)功能失效。三、異方差性的檢驗(yàn)1、檢驗(yàn)方法的共同思路既然異方差性就是相對(duì)于不同的解釋變量觀測(cè)值，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有不同的方差，那么：檢驗(yàn)異方差性，也就是檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與

解釋變量觀測(cè)值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。各種檢驗(yàn)方法正是在這個(gè)共同思路下發(fā)展起來的。問題在于：用什么來表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差？i似估計(jì)量”，用e~

表示。于是有一般的處理方法：首先采用

OLS

法估計(jì)模型，以求得隨機(jī)誤差項(xiàng)的估計(jì)量（注意，該估計(jì)量是不嚴(yán)格的），我們稱之為“近i

i

i~Var(

)

E(

)

e22i即用e~2

來表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差。e~

Y

(Y?

)i

i

i

0

ls2、圖示檢驗(yàn)法（1）用X-Y的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷看是否存在明顯的散點(diǎn)擴(kuò)大、縮小或復(fù)雜型趨勢(shì)（即不在一個(gè)固定的帶型域中）ei2~

~ei2XX同方差遞增異方差~ei2~ei2XX遞減異方差復(fù)雜型異方差（2）用X—e~2的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷i看是否形成一斜率為零的直線。3、解析法（1）戈德菲爾德-匡特（Goldfeld-Quandt）檢驗(yàn)☆G-Q檢驗(yàn)以F檢驗(yàn)為基礎(chǔ)，適用于樣本容量較大、異方差遞增或遞減的情況。G-Q檢驗(yàn)的思想：先將樣本一分為二，對(duì)子樣本①和子樣本②分別作回歸，然后利用兩個(gè)子樣本的殘差之比構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。由于該統(tǒng)計(jì)量服從F分布，因此假如存在遞增的異方差，則F遠(yuǎn)大于1；反之就會(huì)等于1（同方差）、或小于1（遞減方差）。G-Q檢驗(yàn)的步驟：①將n對(duì)樣本觀察值(Xi,Yi)按解釋變量觀察值Xi的大小排隊(duì)。②將序列中間的c=n/4個(gè)觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個(gè)子樣本，每個(gè)子樣本的樣本容量均為(n-c)/2

。③對(duì)每個(gè)子樣本分別求回歸方程，并計(jì)算各自的殘差平方1i和。將兩個(gè)殘差平方和中較小的一個(gè)規(guī)定為

e~2

，較大的一2i2個(gè)規(guī)定為

e~2

。二者的自由度均為n

c

k

1。02④提出假設(shè)：

H

：

21

2

12221

，

H

：

2122

與

分別為兩個(gè)子樣對(duì)應(yīng)的隨機(jī)項(xiàng)方差。⑤構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量22~

2~

2~

F

(

n

c

k

1,

n

c

k

1)2

2e

(

n

c

k

1)e

(

n

c

k

1)F

1i

2i⑥檢驗(yàn)。給定顯著性水平

，確定F分布表中相應(yīng)的臨界值F

（

1，

2）。若F＞F

（

1，

2），則存在異方差；反之，則不存在異方差。（2）戈里瑟（Gleiser）檢驗(yàn)與帕克（Park）檢驗(yàn)戈里瑟檢驗(yàn)與帕克檢驗(yàn)的思想：j2jiji選擇關(guān)于變量

X

的不同的函數(shù)形式（如

f

(

X)

X或ivji

ji2

f

(

X

)

X

e），對(duì)方程進(jìn)行估計(jì)并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)；如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在異方差性。e~

或ei2以|

|

~

為被解釋變量，以原模型的某一解釋變量X

j

為解釋變量，建立如下方程：ijii

|

f

(

X

)~|

e或ijiie)

f

(

X~2i=1,2,…,ni=1,2,

…,n（Gleiser）(Park)如Park檢驗(yàn)法中，對(duì)一般的方程形式：ijijiX

e2

vf

(X

)

通過i

ji

iln(e2~2)

ln

ln

X

v檢驗(yàn)

的顯著性，若存在統(tǒng)計(jì)上的顯著性，表明存在異方差性。注意：由于f(Xj)的具體形式未知，因此需要進(jìn)行各種形式的試驗(yàn)。四、解決異方差性的辦法——加權(quán)最小二乘法(WLS)Weighted

Least

Squares1、加權(quán)最小二乘法的基本思想加權(quán)最小二乘法是對(duì)原模型加權(quán)，使之變成一 個(gè)新的不存在異方差性的模型，然后采用普通 最小二乘法估計(jì)其參數(shù)。例如：在遞增異方差下，來自較小Xi的子樣本，其真實(shí)的總體方差較小，Yi與回歸線擬合值之

間的殘差ei的信度較大，應(yīng)予以重視;而來自較大Xi的子樣本，由于真實(shí)的總體方差較大，殘

差反映的信息應(yīng)打折扣。 加權(quán)最小二乘法就是對(duì)加了權(quán)重的殘差平方和實(shí)施OLS法：2對(duì)較小的殘差平方ei

賦予較大的權(quán)數(shù)，2對(duì)較大的殘差平方ei

賦予較小的權(quán)數(shù)。21

102?

?

k

ki

ii

iW

e

W

[Y

(

?

X

X

)]2、一個(gè)例子例如：如果在檢驗(yàn)過程中已經(jīng)知道：Var(

)

E(

2

)

2

f

(X

)

2i

i

i

ji即隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與解釋變量X

j

之間存在相關(guān)性。ji那么，可以用

f

(

X

)

去除原模型，使之變成如下形式的新模型：jijijiijiX

2i21i10f

(

X

)1f

(

X

)1f

(

X

)1f

(

X

)1X

Y

ijikijikf

(X

)f

(X

)

1

1

Xi=1,2,…,n在該模型中，存在

)

(iiiE(

)2

21f

(X

ji

))2Var(

)

1f

(X

ji

)1f

(X

ji

)Var(即同方差性。于是可以用普通最小二乘法估計(jì)其參數(shù)，得到關(guān)于參數(shù)

0

,

1,

,

k

的無偏的、有效的估計(jì)量。這就是加權(quán)最小二乘法。在這里，權(quán)數(shù)為

。1f

(

X

ji

)3、一般情況對(duì)于模型

Y=XB+N如果存在E

(

)

0Cov

(

)

E

(

)

2

W其中

W

w

n

w

1w

2

即存在異方差性。那么，由于W是一正定矩陣，存在一可逆矩陣D，使得W

DD

顯然

n

w

w

w2

1

D

n

wwD

1

1

1

12w1

即D

1Y

D

1X

D

1

Y*

X*

*該模型具有同方差性。因?yàn)镋(

*

*

)

E(D

1

D

1

)

D

1E(

)D

1

D

1

2WD

1

D

1

2DD

D

1

2I用D-1左乘原模型兩邊，可以得到一個(gè)新的模型：于是，可以用普通最小二乘法估計(jì)新模型，得到參數(shù)估計(jì)量，為：

(X*

X*

)

1

X*

Y*

1

1

1

1

1

(X

D

D

X)

X

D

D

Y

(X

W

1X)

1X

W

1Y這就是原模型的加權(quán)最小二乘估計(jì)量，它是無偏、有效的。這里權(quán)矩陣為D-1，它來自于矩陣W

。4、如何得到權(quán)矩陣W？

n

e

~

e~

e~D?

2

1

en~

1

e~

1

e~

1

21D?

1

2n

e~2

e~2

e~2

1

W?

從前面的推導(dǎo)過程可以看出，W來自于原模型的殘差項(xiàng)N的方差-協(xié)方差矩陣，因此仍然可以對(duì)原模型首先采用OLS法，得到隨機(jī)誤差項(xiàng)的近似估計(jì)量，以此構(gòu)成權(quán)矩陣的估計(jì)量。即5、加權(quán)最小二乘法的具體步驟i③

選擇加權(quán)最小二乘法，以1

e~

序列作為權(quán)，進(jìn)行估計(jì)得到參數(shù)估計(jì)量。實(shí)際上是以1

e~

乘原模型的兩邊，得到一個(gè)新模型（新i模型隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差為1），采用普通最小二乘法估計(jì)新模型。①選擇普通最小二乘法估計(jì)原模型，得到隨機(jī)誤差項(xiàng)i的近似估計(jì)量e~

；i②

建立1

e~

的數(shù)據(jù)序列；注意在實(shí)際建模過程中，人們通常并不對(duì)原模型進(jìn)行異方差性檢驗(yàn)，而是直接選擇加權(quán)最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時(shí)。如果確實(shí)存在異方差，則被有效地消除了；

如果不存在異方差性，則加權(quán)最小二乘法等價(jià)于普通最小二乘法。五、案例—1—某地區(qū)居民儲(chǔ)蓄模型某地區(qū)31年來居民收入與儲(chǔ)蓄額數(shù)據(jù)表單位：萬元年份居民收入

(X)儲(chǔ)蓄

(Y)年份居民收入

(X)儲(chǔ)蓄

(Y)年份居民收入

(X)儲(chǔ)蓄

(Y)19688777264197917663950199029560210519699210105198018575779199128150160019709954901981195358191992321002250197110508131198221163122219933250024201972109791221983228801072199435250257019731191210719842412715781995335001720197412747406198525604165419963600019001975134995031986265001400199736200210019761426943119872767018291998382002300197715522588198828300220019781673089819892743020171、普通最小二乘估計(jì)直接使用OLS法，得到：Y?

665.60

0.0846X（-5.87）

（18.04）R2=0.91822、異方差檢驗(yàn)05001

0001

5002

0002

5003

0000500010

000150

002000

02500

03000

035000

4000

04

5000XY（1）圖示檢驗(yàn)⑵G-Q檢驗(yàn)①求兩個(gè)子樣本（n1

=n2

=12）回歸方程的殘差平方和

RSS1與RSS2

；對(duì)第1

個(gè)子樣本（

1968~1979）：1Y?

823

.58

0.0954

X(-

4.864)

(7.300)R

2

=0.842,1RSS=2

ie=162899.2對(duì)第

2

個(gè)子樣本（

1987~

1998

）：2Y?=

1141

.07

+ 0

.0294

X（

1

.60

7

）（

1

.337

）R

2

=0

.15172iRSS

=

e

2

=769899

.2②計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量

F=RSS2/RSS1=769899.2/162899.2=4.726③查表在5%的顯著性水平下，第1和第2自由度均為（31-7）/2-2=10的F分布臨界值為F0.05(10,10)=2.97由于 F=4.72

>

F0.05(10,10)=

2.97因此，否定兩組子樣本方差相同的假設(shè)，從而該總體隨機(jī)誤差項(xiàng)存在遞增異方差。⑶Park檢驗(yàn)對(duì)直接使用

OLS

法估計(jì)的殘差項(xiàng)的平方~

2ie進(jìn)行如下一般形式的回歸：ln

e~

2

ln

X

i

vi得：i

i

i

17.99

2.81ln

X

v~ln

ei2t

（-2.89）

(4.48)R

2

=0.4093顯然，lnXi前的參數(shù)在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，表明原模型存在異方差。3、異方差模型的估計(jì)①設(shè)異方差2i

2

2

Xi，以

f

(

X

i

)

X

i

去除原模型兩邊，得新模型*1*0

X

Y

*i其中Y

*

Y

/

Xi*，

X

1/

X

，i*

/

X運(yùn)用OLS

法得Y?*

708.5

X

*

0.086(-10.21)

(20.63)R

2

=0.7825則原模型估計(jì)為：Y?

708.5

0.086

X(-10.21)

(20.63)R2

=0.7825與OLS估計(jì)結(jié)果相比較，擬合效果更差。為什么？關(guān)于異方差形式的假定可能存在問題。②如果用估計(jì)的ei2~

作為矩陣W

的主對(duì)角線元素，即相當(dāng)于i用1

/

|

e~

|

為權(quán)重進(jìn)行加權(quán)最小二乘估計(jì)（WLS），則有Y?

686

.06

0.0857

X(-29.14)

(43.59)R

2

=0.9925與OLS估計(jì)結(jié)果相比較，擬合效果更好。五、案例—2—中國(guó)消費(fèi)函數(shù)模型中國(guó)消費(fèi)函數(shù)模型（二元模型）根據(jù)消費(fèi)模型的一般形式，選擇消費(fèi)總額為被解釋變量，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值和前一年的消費(fèi)總額為解釋變量，變量之間關(guān)系為簡(jiǎn)單線性關(guān)系，選取1981年至1996年統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為樣本觀測(cè)值。中國(guó)消費(fèi)數(shù)據(jù)表單位：億元年 份

消費(fèi)總額

國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值

前一年消費(fèi)額年 份

消費(fèi)總額國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值前一年消費(fèi)額1981330949012976198910556164669360198236385489330919901136218320105561983402160763638199113146212801136219844694716440211992159522586413146198557738792469419932018234501159521986654210133577319942721647111201821987745111784654219953452959405272161988936014704745119964017268498345291、OLS估計(jì)結(jié)果Dependent

Variable:

CONSMethod:

Least

SquaresDate:

03/01/03 Time:

00:46Sample:

1981

1996Included

observations:

16VariableCoefficientStd.

Errort-StatisticProb.C540.528684.301536.4118480.0000GDP0.4809480.02186122.000350.0000CONS10.1985450.0474094.1879690.0011R-squared0.999773Mean

dependent

var13618.94Adjusted

R-squared0.999739S.D.

dependent

var11360.47S.E.

of

regression183.6831Akaike

info

criterion13.43166Sum

squared

resid438613.2Schwarz

criterion13.57652Log

likelihood-104.4533F-statistic28682.51Durbin-Watson

stat1.450101Prob(F-statistic)0.0000002、WLS估計(jì)結(jié)果D

ependen

t

V

ariab

le:

C

O

N

SM

eth

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:

L

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S

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aresD

ate:

03

/01

/03

Tim

e:

00:4

7S

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p

le:

1981

1996In

clu

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s:

1

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series:

EV

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.C518

.288120.5

262025

.2

50080

.0000G

D

P0